Rincón Matemático

Revista, Técnicas, Cursos, Problemas => Discusiones semi-públicas => Mensaje iniciado por: victorguevara21 en 08 Octubre, 2009, 08:35 pm

Título: EjercicioUAQ
Publicado por: victorguevara21 en 08 Octubre, 2009, 08:35 pm
Hola alumnos de la Maestría en Docencia. Aquí les dejo unos ejercicios para que los resulevan por este medio!!

1.- Considerar el siguiente sistema de ecuaciones:

\(  ax + by = 0  \)
\(  cx + dy = 0  \)

a) Demostrar que si \(  x = x_0  \), \(  y = y_0  \) es cualquier solución del sistema y \(  k   \) es cualquier constante, entonces, \(  x = kx_0  \), \(  y = ky_0  \) también es una solución.

b) Demostrar que si \(  x = x_0  \), \(  y = y_0  \), \(  x = x_1  \), \(  y = y_1  \) son dos soluciones cualesquiera, entonces, \(  x = x_0 + x_1  \), \(  y = y_0 + y_1  \) también es una solución.

2.- Considerar el siguiente sistema de ecuaciones:

(I) \(  ax + by = k  \)     (II)  \(  ax + by = 0  \)
     \(  cx + dy = l  \)             \(  cx + dy = 0  \)

a) Demostrar que si \(  x = x_1  \), \(  y = y_1  \) y \(  x = x_2  \), \(  y = y_2  \) son soluciones de (I), entonces, \(  x = x_1 - x_2  \), \(  y = y_1 - y_2  \) es solución de (II).

b) Demostrar que si \(  x = x_1  \), \(  y = y_1  \), es una solución de (I) y \(  x = x_0  \), \(  y = y_0  \) es una solución de (II), entonces, \(  x = x_1 + x_0  \), \(  y = y_1 + y_0  \) es una solución de (I).

Suerte.  ;)
Título: Re: EjercicioUAQ
Publicado por: aladan en 08 Octubre, 2009, 11:32 pm
Hola  victorguevara21

Bienvenido al foro.

Conviene que leas las reglas, el titulo que has puesto no indica nada del tema que tratan los ejercicios.

1.a.- Que \( (x_0,y_0) \) sea solución del sistema, implica:

\( ax_0+by_0=0 \)

\( cx_0+dy_0=0 \)

si multiplicas miembro amiembro las ecuaciones anteriores por \( k \):

\( a(kx_0)+b(ky_0)=0 \)

\( c(kx_0)+d(ky_0)=0 \)

con lo que vemos que \( (kx_0,ky_0) \) tambien es solución del sistema

1.b.- Para este genera las ecuaciones que implican las soluciones que te dan suma primera y tercera y podrás demostrar lo que se pide.

2.a.- En el I

\( ax_1+by_1=k \) (1)

\( cx_1+d_1=l \) (2)

\( ax_2+by_2=k \) (3)

\( cx_2+d_2=l \) (4)

Resta las ecuaciones (1)-(3)    y (2)-(4) y dime que conclusiones obtienes

Aplica este método para 2.c

Saludos
Título: Re: EjercicioUAQ
Publicado por: victorguevara21 en 09 Octubre, 2009, 08:25 pm
Muchas gracias Aladan por la aportación!!!

Creo que ya con esas ideas sale el ejercicio.

Saludos.. Te estaré escribiendo por si algo más sucede.
Título: Re: EjercicioUAQ
Publicado por: elpeso56 en 12 Octubre, 2009, 04:43 pm
Hola Victor, anoto mi aportación sobre las demostraciones para la clase de Algebra Lineal de la Maestrìa en Didáctica.

1. Sea el sistema de ecuaciones \( \left\{
\begin{array}{c}
ax+by=0 \\
cx+dy=0%
\end{array}%
\right \)

a) Demostrar que si \( x=x_{0} \), \( y=y_{0} \) es cualquier solución y \( k\in R \) entonces \( x=kx_{0} \) y \( y=ky_{0} \), también lo es.


Como \( ( x,y) =( x_{0},y_{0}) \) es una solución del sistema, entonces lo satisface,

es decir  \( \left\{
\begin{array}{c}
ax_{0}+by_{0}=0 \\
cx_{0}+dy_{0}=0%
\end{array}%
\right \)

Por demostrar que el par ordenado \( \left( x,y\right) =\left(kx_{0},ky_{0}\right) \) también es solución.

\( \Rightarrow \) al sustituir \( \left( x,y\right) =\left(kx_{0},ky_{0}\right) \) tenemos que \( \left\{
\begin{array}{c}
a\left( kx_{0}\right) +b\left( ky_{0}\right) =0 \\
c\left( kx_{0}\right) +d\left( ky_{0}\right) =0%
\end{array} \)    \( \Rightarrow \left\{
\begin{array}{c}
k\left( ax_{0}+by_{0}\right) =0 \\
k\left( cx_{0}+dy_{0}\right) =0%
\end{array} \)     \( \Rightarrow \left\{
\begin{array}{c}
k\left( 0\right) =0 \\
k\left( 0\right) =0%
\end{array}%
\right \)

Luego, también se satisface el sistema de ecuaciones,
por lo tanto, \( x=kx_{0} \), \( y=ky_{0} \), también es solución.



b) Demostrar que si \( (x_{0},y_{0}) \) y \( (x_{1},y_{1}) \) son soluciones cualesquiera, entonces \( x=x_{0}+x_{1} \) y \( y=y_{0}+y_{1} \) también lo es.

Ya que \( ( x_{0},y_{0}) \) es solución \( \Rightarrow \left\{
\begin{array}{c}
ax_{0}+by_{0}=0 \\
cx_{0}+dy_{0}=0%
\end{array}%
\right \) se satisface.

De igual manera ocurre con \( ( x_{1},y_{1}) \)  \( \Rightarrow \left\{
\begin{array}{c}
ax_{1}+by_{1}=0 \\
cx_{1}+dy_{1}=0%
\end{array}%
\right \) se satisface.

\( \Rightarrow \left\{
\begin{array}{c}
\underset{0}{\underbrace{\left( ax_{0}+by_{0}\right) }}+\underset{0}{%
\underbrace{\left( ax_{1}+by_{1}\right) }}=0 \\
\underset{0}{\underbrace{\left( cx_{0}+dy_{0}\right) }}+\underset{0}{%
\underbrace{\left( cx_{1}+dy_{1}\right) }}=0%
\end{array}%
\right. \Rightarrow  \left\{
\begin{array}{c}
a\left( x_{0}+x_{1}\right) +b\left( y_{0}+y_{1}\right) =0 \\
c\left( cx_{0}+x_{1}\right) +d\left( y_{0}+y_{1}\right) =0%
\end{array}%
\right \)

Luego, \( x=x_{0}+x_{1} \) y \( y=y_{0}+y_{1} \) también es solución del sistema.

2. Considerar los sistemas de ecuaciones \( (I)\left\{
\begin{array}{c}
ax+by=k \\
cx+dy=l%
\end{array}%
\right \) y \( (II) \left\{
\begin{array}{c}
ax+by=0 \\
cx+dy=0%
\end{array}%
\right \)

a) Demostrar que si \( x=x_{1} \), \( y=\allowbreak y_{1} \) y \( x=x_{2} \), \( y=y_{2}
 \) son soluciones de \( \left( I\right) \), entonces \( x=x_{1}-x_{2} \), \( y=y_{1}-y_{2} \) es una solución de \( (II) \).

Como \( (x,y)=( x_{1},y_{1}) \) y \( (x,y)=( x_{2},y_{2}) \) son soluciones del sistema \( (I) \), entonces satisfacen a las ecuaciones, es decir,


\( \begin{array}{c}
ax_{1}+by_{1}=k \\
cx_{1}+dy_{1}=l%
\end{array}%
 \)  y \( \begin{array}{c}
ax_{2}+by_{2}=k \\
cx_{2}+dy_{2}=l%
\end{array}%
\Rightarrow
\begin{array}{c}
\underset{k}{\underbrace{\left( ax_{1}+by_{1}\right) }}-\underset{k}{%
\underbrace{\left( ax_{2}+by_{2}\right) }}=k-k \\
\underset{l}{\underbrace{\left( cx_{1}+dy_{1}\right) }}-\underset{l}{%
\underbrace{\left( cx_{2}+dy_{2}\right) }}=l-l%
\end{array}%
 \)

\( \Rightarrow
\begin{array}{c}
a\left( x_{1}-x_{2}\right) +b\left( y_{1}-y_{2}\right) =0 \\
c\left( x_{1}+x_{2}\right) -d\left( y_{1}-y_{2}\right) =0%
\end{array}%
 \)

Por lo tanto, \( x=x_{1}-x_{2} \) y  \( y=y_{1}-y_{2} \) es solución de la ecuación \( (II) \).

b) Demostrar que si \( x=x_{1} \), \( y=y_{1} \) es una solución de \( (I) \) y \( x=x_{0} \), \( y=y_{0} \) es una solución de \( (II) \), entonces \( x=x_{1}+x_{0} \),  \( y=y_{1}+y_{0} \) es una solución de \( (I) \).

Como \( x=x_{1} \), \( y=y_{1} \) es solución de \( (I) \)  \( \Rightarrow \begin{array}{c}
ax_{1}+by_{1}=k \\
cx_{1}+dy_{1}=l%
\end{array}%
 \),

igualmente ocurre con \( x=x_{0} \), \( y=y_{0} \) y \( (II) \) \( \Rightarrow \begin{array}{c}
ax_{0}+by_{0}=0 \\
cx_{0}+dy_{0}=0%
\end{array}%
 \).

\( \Rightarrow \begin{array}{c}
\underset{k}{\underbrace{\left( ax_{1}+by_{1}\right) }}+\underset{0}{%
\underbrace{\left( ax_{0}+by_{0}\right) }}=k+0 \\
\underset{l}{\underbrace{\left( cx_{1}+dy_{1}\right) }}+\underset{0}{%
\underbrace{\left( cx_{0}+dy_{0}\right) }}=l+0%
\end{array}%
\Rightarrow
\begin{array}{c}
a\left( x_{1}+x_{0}\right) +b\left( y_{1}+y_{0}\right) =k \\
c\left( x_{1}+x_{0}\right) +d\left( y_{1}+y_{0}\right) =l%
\end{array}%
 \)

Luego, \( x=x_{1}+x_{0} \), \( y=y_{1}+y_{0} \) es solución de \( (I) \) .

Aportación de Ellis Peñaloza
Título: Re: EjercicioUAQ
Publicado por: Hedi en 13 Octubre, 2009, 02:43 am
Hola Ellis

Pues ya resolviste los ejercicios yo apenas entre hoy al foro
Título: Re: EjercicioUAQ
Publicado por: victorguevara21 en 13 Octubre, 2009, 03:25 pm
Muy buena la aportación Elis... Y como dice Hedi, ya los resolviste. Ahora los que no participaron tienen la tarea de aportar para el próximo ejercicio. SALUDOS A TODOS. ;)