Rincón Matemático

Matemática => Geometría sintética (Euclídea, Plana) => Geometría y Topología => Triángulos => Mensaje iniciado por: Luis Fuentes en 07 Marzo, 2006, 05:02 pm

Título: Un problema olímpico de geometría
Publicado por: Luis Fuentes en 07 Marzo, 2006, 05:02 pm
Hola

 Un probemilla que "cayó" en alguna olimpíada matemática:

 Probar que los lados de un triángulo en el cual el círculo inscrito corta a una de las medianas en tres partes iguales son proporcionales a 5,10 y 13.

 Solución: El problema se resuelve simpl....  >:D ¿propuestas?.

Saludos.
Título: Re: Un problema olímpico de geometría
Publicado por: Joaquin_mx en 14 Marzo, 2006, 12:05 am
Hola el_manco.

ya intenté a esto, seguramente la respuesta es fácil, y en dos o tres consideraciones se demuestra, pero no doy.....y por no quedarme con la duda, lo hice con regla y compás y "aparentemente" se cumple, quise demostrarlo con triángulos semejantes y demás, pero me sale que primero tengo que demostrar que el baricentro pertenece a la circunferencia inscrita y de ahí lo demás seria fácil, bueno aquí no se que consagración tomar ???, bueno luego lo hice con consideraciones trigonométricas y en resumidas cuentas me da lo que he graficado, que es mera aproximación y aunque hago reducir el error aun con eso, el segmento "intermedio" (de la mediada) siempre sale menor , a ver si se entiende la siguiente maraña:

(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=2507.0;attach=1102)

saludos.

p.d. si tienes la demostración te la agradeceré...y es que si no, no voy a poder dormir ;D

Título: Re: Un problema olímpico de geometría
Publicado por: Luis Fuentes en 14 Marzo, 2006, 12:11 pm
Hola

   ¡¡¡Precioso tu gráfico, Joaquin_mx!!

   Pista 1: utiliza "potencia de un punto respecto a una circunferencia".

Saludos.
Título: Re: Un problema olímpico de geometría
Publicado por: Nineliv en 05 Octubre, 2006, 01:38 pm
Hola.

Bueno, lo primero un dibujo.

(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=2507.0;attach=1117)
Pongo AV = 3d.
Hago la potencia de A respecto de la circunferencia: \( AT^2 = AE\cdot AF = 2d^2 \Rightarrow AT = \sqrt{2} d \).

También con la potencia de V: \( VR^2 = VE\cdot VF = 2d^2 \Rightarrow VR = AT \).

Como TC = CR, el triángulo ACV es isósceles. De aquí
\( \begin{equation}a=BC = 2b \tag{$\spadesuit$}\end{equation} \)
Y también:
\( \begin{equation}c= AS+BS=AT+BR=\sqrt{2}d + 2b-CR = b + 2\sqrt{2}d \tag{$\clubsuit$}\end{equation} \)
Para determinar el tercer lado he usado que la mediana apoyada en el lado a vale
\( AV = 3d= \dfrac{\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}}{2} \).

Sustituyendo en esta expresión los valores \( (\spadesuit) \) y \( (\clubsuit) \) llegamos a la ecuación \( 5d^2-2\sqrt{2}bd=0 \). Obtenemos \( d=2\sqrt{2}b/5 \), y así, \( c = 13b/5 \).


¿Hay una solución más simple?
Título: Re: Un problema olímpico de geometría
Publicado por: Luis Fuentes en 05 Octubre, 2006, 02:52 pm
Hola

 Yo no conozco otra más simple. Este problema me lo planteó mi hermano. Está preparando opsiciones para profesor de secundaria. En la academia se armaron un "cristo" para resolverlo. La solución que yo le di está adjunta.

Saludos.

Título: Re: Un problema olímpico de geometría
Publicado por: Nineliv en 05 Octubre, 2006, 03:27 pm
Hola.

Como pusiste
Hola
 Solución: El problema se resuelve simpl....  >:D ¿propuestas?.
me hiciste sospechar... pensé que me estaba complicando la vida.

   Te cuento; estoy estudiando desde hace relativamente poco geometría sintética por mi cuenta porque nunca he tenido la oportunidad de estudiarla dentro de un plan de estudios. Por eso, no soy todavía consciente de si un resultado es sofisticado o no. Por ejemplo, la fórmula para calcular la mediana para mí es aún sorprendente y aunque sale de aplicar el teorema del coseno (creo), no sé si es elemental o no. Ese resultado lo conocí el año pasado.

Saludos.  ;D

P.D: ¿Aprobó? Ojalá que sí.  ;)
Título: Re: Un problema olímpico de geometría
Publicado por: tierra en 18 Abril, 2011, 11:47 pm
Hola

 Yo no conozco otra más simple. Este problema me lo planteó mi hermano. Está preparando opsiciones para profesor de secundaria. En la academia se armaron un "cristo" para resolverlo. La solución que yo le di está adjunta.

Saludos.



No entiendo nada, pero menuda belleza. Espero que el cristal no se haya roto, el resultado parece de carpintero.