Rincón Matemático

Información General => Geogebra => Consultas y comentarios => Mensaje iniciado por: locoporlasmates en 30 Abril, 2009, 02:57 pm

Título: El rincón de los líos
Publicado por: locoporlasmates en 30 Abril, 2009, 02:57 pm
HOLA, NECESITO RESOLVER ESTE PROBLEMA

Un hotel tiene infinitas puertas numeradas así: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... Todas ellas están


abiertas. Pero llega alguien y comenzando desde el principio las cierra ordenadamente de 2


en 2, la 2, la 4, la 6, etc. Contento de su hazaña se va a dormir. Pero otro viene después que


decide cambiar la posición de las puertas de 3 en 3; empieza también por el principio y


yendo de 3 en 3 la que está abierta la cierra y la que está cerrada la abre. Divertido también


por lo que ha hecho se va a dormir. Sin embargo otro viene después y comenzando


también desde el principio, va cambiando la posición de las puertas de 4 en 4; de manera


que la que está abierta la cierra y la que está cerrada la abre. Cuando termina, viene otro que


altera la posición de las puertas de 5 en 5; abre las cerradas y cierra las abiertas. Y luego


otro que hace lo propio, pero de 6 en 6. Y luego otro de 7 en 7. Y así hasta el infinito,


porque en el hotel había infinitos bromistas.


Tú, que eres el conserje del hotel, estás durmiendo tan tranquilo y no te has enterado de


todos estos líos. ¿Qué puertas crees que estarán abiertas y qué puertas estarán cerradas


cuando te despiertes por la mañana?.

GRACIAS!!
Título: Re: El rincón de los líos
Publicado por: topo23 en 30 Abril, 2009, 04:06 pm
Esta relacionado con la paridad de la cantidad de divisores de cada numero mayores que 1.

Por ejemplo la puerta 12, va a cambiar su estado para 2, 3, 4, 6, 12 (o sea 5 veces), si originalmente estaba abierta entonces va a terminar cerrada.

Otro ejemplo 49, va a cambiar su estado para 7, 49, si originalmente estaba abierta va a seguir abierta.

Título: Re: El rincón de los líos
Publicado por: Teón en 30 Abril, 2009, 04:09 pm
Quedarán cerradas todas las puertas, salvo las numeradas con cuadrados perfectos.
Si tengo tiempo lo demuestro.
Saludos.
Título: Re: El rincón de los líos
Publicado por: Teón en 30 Abril, 2009, 04:48 pm
Para que una puerta quede abierta, el número de pasadas por la misma, debe ser par, como se comienza por la segunda puerta, esto sucederá cuando el número de divisores sea impar, eso es:

\(  \textsf{si } n=\prod_{i=1}^{k}p_i^{\alpha_i} \) donde los \( p_i \) son los divisores primos de n.

El número de divisores \( \nu(n) \) de n es:

\( \nu(n)=\prod_{i=1}^{k}(\alpha_i+1) \)

para que \( \nu(n) \) sea impar, todos los \( \alpha_i \) deberán ser pares, es decir, n es un cuadrado perfecto.
Saludos.