Rincón Matemático

Disciplinas relacionadas y temas generales => Docencia => Mensaje iniciado por: Numerarius en 25 Mayo, 2005, 03:56 pm

Título: Lógica borrosa
Publicado por: Numerarius en 25 Mayo, 2005, 03:56 pm
Quería hablar un poco de la lógica borrosa, es decir de la lógica que en vez de 2 tiene n valores de verdad.

En principio, me parece que, para aprender lógica borrosa, lo mejor es tener una base sólida de lógica clásica (bivalente).

Dentro de las lógicas no clásicas, la intuicionista me parece interesante porque se relaciona con una postura fundamental en los debates sobre fundamentos de la matemática. La lógica trivalente me parece muy similar a la intuicionista.

Ninguna de las dos me parece que sea tan interesante como la lógica bivalente. Además, eliminan la posibilidad de argumentos por reducción a absurdo, por lo que resultan mucho más limitadas.

En cuanto a la lógica borrosa o lógica difusa me parece bastante estéril. En principio, llevándola al absurdo, ya que entre 0 y 1 hay infinitos reales (por ser R denso) en lógica difusa una proposición podría adoptar infinitos valores de verdad.

No veo qué se ganaría con esto. Quizá para mentes postmodernas y no dogmáticas sea muy interesante. A mí me resulta bastante pesado.

Creo que la lógica y la filosofía de la ciencia debe funcionar con lógica bivalente. Es cierto que por muchos cuervos negros que vea nunca puedo afirmar con seguridad que todos los cuervos son negros, mientras que basta un cuervo blanco para desmentir el enunciado, pero no veo cómo se arregla eso con la lógica multivalente.

Yo puedo afirmar la conjetura de Goldbach se cumple hasta el número 100000, aunque no pueda afirmar que se cumple para todos los números. O puedo afirmar que, hasta ahora, todas las observaciones del mundo subatómico indican que la física cuántica es verdadera.

Además, sigue habiendo propiedades que son verdaderas en todo mundo posible, como las tautologías o los teoremas matemáticos. No tiene sentido decir que 2+2=4 tiene un valor de verdad de 0.998.
Título: Re: Lógica borrosa
Publicado por: peret en 25 Mayo, 2005, 05:48 pm
Hola,

Veamos no es que sea un experto pero algo he leido. La lógica borrosa aplicada a los fundamentos de la matemática, o propiamente al razonamiento matemático puede parecer estéril. Pero no nació para eso. Se aplica con bastante éxito en informática (entre otros campos imagino) con la modelación de acciones en la que resulta muy interesante, sistemas expertos, visión artificial, reconociento de imágenes, campos en el que el comportamiento humano no es tan bivalente y más abierto, ¿o acaso cuando ves alguien asignas un 1 o un 0 en tu particular gusto...?
Título: Re: Lógica borrosa
Publicado por: argentinator en 20 Enero, 2006, 12:39 am
Si deseas calificar a las personas como altas o bajas, no puedes usar lógica bivalente. Debes hacer un modelo con lógica borrosa.
La interpretación de esos resultados depende del modelo al que lo apliques.
La lógica misma es un modelo para cuestiones de la vida que se adaptan al álgebra de Boole.

El problema de usar la lógica para analizar la lógica misma es una cuestión que debiera discutirse más profundamente, desde un punto de vista filosófico. A mí no me parece tan claro que deba usarse lógica bivalente para la matemática o la ciencia.
El intuicionismo no necesariamente debe ser trivalente, puede tener más valores de verdad, porque no es necesario exigir que todas las proposiciones que no son ni V no F tengan que ser del mismo tipo, o pertenecer a un mismo valor de verdad.

Yo no conozco el intuicionismo a fondo, pero me puedo imaginar teorías lógicas donde se debiliten las hipótesis del intuicionismo al nivel de polivalencia que te estoy exponiendo.

Ahora bien, hay otra cuestión, y es que cuando la gente desarrolla los fundamentos de la lógica, usa dentro la metalógica unas formas de inferencia, que ellos llaman ''evidentes por sí mismas'', o quien sabe qué. A mi me parece que allí están usando una lógica booleana bivalente.

Desde la lógica bivalente se pueden definir álgebras de lógica, con lógicas multivalentes de comportamiento cualquiera.
Pero me parece que siempre están usando en el fondo la lógica bivalente para probar todo eso.
Si yo me paro en una lógica difusa, con axiomas bien extraños, ¿podría probar que es cierta UNA matemática que usa lógica bivalente?

Me refiero a que, inconscientemente, no cambiamos nunca el enfoque o la forma de pensar, y SÍ debiéramos hacerlo. Si cambiamos la lógica, debemos tambien cambiar nuestras leyes de pensamiento.
Cuando dicen que el intuicionismo es una lógica polivalente, lo están diciendo desde modelos construidos a partir de una lógica bivalente de algún FORMALISTA.

El verdadero intuicionista tal vez no pueda hacer tales definiciones.
La lógica bivalente de los formalistas puede, en cierto modo, estudiarse a si misma.
Pero si yo parto de una lógica no formalista, ¿puedo siempre analizarla desde si misma, sin pasar jamas por una MENTALIDAD FORMALISTA BIVALENTE?

Me imagino unos extraterrestres que tuvieran una manera de pensar diferente a la nuestra en grado sumo. En algún momento construirían una abstracción que le llamaría lógica BIVALENTE. ¿Demostrarían ellos con su propia lógica incomprensible para nosotros, que son ciertas las mismas proposiciones que hemos probado nosotros dentro de una teoría formalista de lógica bivalente?
Título: Re: Lógica borrosa
Publicado por: Numerarius en 14 Febrero, 2006, 12:19 pm
A mí me parece que unos extraterrestres que trataran de demostrar verdades sobre las matemáticas, demostrarían aproximadamente las mismas que nosotros. Por una razón evidente: las matemáticas son ciertas.
Título: Re: Lógica borrosa
Publicado por: argentinator en 14 Febrero, 2006, 02:15 pm
  A mi ninguna afirmación matemática me parece evidentemente cierta.
   Decir que la matemática es cierta es tener confianza en aquello que la humanidad ha desarrollado como pensamiento abstracto, y hemos denominado matemática.
   Confiar ciegamente en un producto humano es una apología sin fundamento. Además, uno piensa a través de sus prejuicios, que ha adquirido en su formación matemática, y entonces cree que vive en un mundo que no es cuestionable, porque todo se vuelve evidente ahí adentro. Pero si siempre cantamos en la misma nota, es fácil caer en la creencia de que es la única nota que hay para entonar.
   Las leyes del razonamiento, tal como se las acepta, no son convincentes para mi, desde ningún punto de vista. Es solo un juego de reglas aceptado, y transmitido academicamente de generación en generación.
   también es cierto que ese ''jueguito'' ha contribuido enormemente al desarrollo científico de la humanidad, pero no creo que sea el único camino en el dominio de la razón. Lo que ocurre es que mees difícil concebir nuevos caminos, porque no están desarrollados, y hay que empezar de 0, como alguna vez ocurrió con la lógica bivalente que actualmente está tan desarrollada.
 
  La verdad es que yo, en el fondo, DESEARIA que las matemáticas, o algo muy parecido, fuera la verdad ultima, porque es lo que me gusta. Pero creer en la certidumbre de ella solo por ese sentimiento no me parece objetivo.
  Nuestro pensamiento está condicionado, creo yo, por el mundo mismo que nos tocó vivir y evolucionar.

   Además, cuanto mas se cuestionan los fundamentos de la lógica, mas inverosímil parecen (al menos para mi) cualquier cosa que pretenda tomarse como sólida o confiable desde un principio.
  Cuando pasas de una hipótesis a una tesis, sabes que por un numero finito de pasos has transformado la hipótesis en la tesis según las leyes de la lógica booleana.
  Pero si adoptáramos otras reglas, ¿adonde llegaríamos? ¿podríamos encontrar nuevos modos de razonamiento válidos en algún sentido? ¿Y cambiando la mentalidad con que enfocamos las cosas de raíz?
 
 
Título: Re: Lógica borrosa
Publicado por: Numerarius en 14 Febrero, 2006, 03:05 pm
Argentinator. No me parece fácil encontrar reglas lógicas que sean sencillas y al mismo tiempo verdaderas (o por lo menos útiles). Prueba a inventar un sistema diferente al de la lógica de predicados. Es muy difícil, casi imposible.

La lógica intuicionista, por ejemplo, tiene los mismos axiomas que la lógica bivalente, salvo uno, el tercio excluso. Todos los teoremas de la lógica intuicionista son verdaderos en la lógica bivalente, pero hay teoremas de la lógica bivalente que no son verdaderos en lógica intuicionista.

En cierto modo, la lógica intuicionista se parece a la geometría no euclidiana. Ya que todos los axiomas de la lógica bivalente excepto uno son verdaderos en ella.

Sin embargo, el resultado de negar el tercio excluso es que no se pueden hacer reducciones a absurdo, lo cual es poco alentador.

Título: Re: Lógica borrosa
Publicado por: sebasuy en 14 Febrero, 2006, 03:33 pm
Hola Numerarius

Sí, sería como la geometría absoluta de la lógica...
Pero hecho de incluir el tercio excluso solamente porque si no se limita el uso que hacen los matemáticos con él, no me parece una justificación, por sí sola, para aceptarlo.

El no poder inventar un sistema lógico alternativo de los predicados no significa que sea el único posible ni el mejor. Ni siquiera te animaste a decir que es imposible, si no que es "casi imposible".

Yo concuerdo con las palabras de argentinator y no me sorprenden para nada, pues las matemáticas que usamos --independientemente de la concepción platónica discutida en el otro thread-- son mal o bien, las construidas a lo largo de los siglos por los diferentes matemáticos, más allá de los períodos de buena o escasa información matemática.
Las matemáticas, su enseñanza, su divulgación y su construcción no escapan a las concepciones sociales y a la historia. Siempre hablamos del "legado de Euclides, Arquímides, Euler, Gauss, Poincaré, Hilbert...". ¿Qué pasaría si hubiésemos empezado de 0, como dice argentinator?
En otro thread decía que tantas veces tenemos que confiar en la "comunidad matemática". Durante un cierto tiempo se pensó que el Último Teorema de Fermat estaba demostrado. Luego encontraron errores (se volvió conjetura)... Luego parece que los subsanaron (otra vez es teorema). Quizás vuelva a hacerse conjetura, no lo sé. Recordar el enfoque epistemológico de Kuhn sobre la ciencia, a eso me refiero.

Pensemos en un arquitecto, que acepta seguir con la construcción de una obra que ya tiene algo de los cimientos o el terreno. El arquitecto puede innovar, agregando y sacando puertas, etc. etc. etc., pero está limitado por un entorno que él quizás no hubiese elegido, por ejemplo...

SebasUy
Título: Re: Lógica borrosa
Publicado por: argentinator en 14 Febrero, 2006, 03:47 pm

  Cuando decis que 2+2=4 solo puede ser V o F, es porque la aritmetica se ha construido sobre la logica bivalente.
  Las teorias matamticsa bajo el amparo de una logica polivalente aun no se han construido.

  Sin embargo, no me parece tan descabellado, porque la logica no necesariamente debe interpretarse como V o F, en el sentido de verdad que estamos habituados en nuestro pensar filosofico. La verdad absoluto, como se la imaginan los filsoofos, parece ser de esamanera, o algo es verda o no.
  Pero la logica es solo un modelo para el razonamiento, que tambien sirve para modelar otros problemas.
 

 En la teoria de circuitos electricos, se utiliza la misma algebra de Boole que usamos en la logica matematica, y la interpretacion no es verdad o falsedad, sino que son bits de informacion, 0 o 1.

  Una logica multivaluda puede servir para ''bits'' de informacion de mas de de 2 estados, modelar situaciones que tiene graduaciones intermedias, y que funcionan de una manera tal que pueden modelarse con un algebra logica, como la de Boole, pero para n estados.

  Si se quiere, la teoria de probailidades puede verse como una ''logica'' de estados intermedios, aunque no en el sentido estrictamente logico, pero uno puede realizar ''inferencias'' probabilisticas, pasando por valores de probabilidad entre 0 y 1, y esto tiene interpretaciones que varian con el contexto.

 La logica borrosa parece ser diferente a la teoria de probabilidad, pero igual pued tener sentido en las aplciaciones.

 Y en cuanto a la mateamtica misma, creo que podria tener sentido, si alguna mente avispada le encuentra la vuelta al asunto. En matematicas hay proposiciones dificiles de probar, y en tal caso, a veces no se puede saber si son ciertas o no. Pero a lo mejor podriamos darles a ellas un valor de verda entre 0 y 1, y a medida que vayamos probando que su valor de verdad se acerca a 1, estariamos cada vez mas seguros de que algun dia podriamos demostrarla completamente.
   Al poner una graduacion en la escala de verdad, aun en la logica bivalente, podriamos tener algun tipo de informacion de las proposiciones aun no demostradas. Pero lamentablemente no sme ocurre como hacer esto con precision.
Título: Re: Lógica borrosa
Publicado por: sebasuy en 14 Febrero, 2006, 03:55 pm
Y en cuanto a la mateamtica misma, creo que podría tener sentido, si alguna mente avispada le encuentra la vuelta al asunto. En matemáticas hay proposiciones dificiles de probar, y en tal caso, a veces no se puede saber si son ciertas o no. Pero a lo mejor podríamos darles a ellas un valor de verda entre 0 y 1, y a medida que vayamos probando que su valor de verdad se acerca a 1, estariamos cada vez mas seguros de que algún dia podríamos demostrarla completamente.

Se me ocurre que en Teoría de Números hay muchos ejemplos (con la ayuda de un computador). También en Topología con el Teorema de los 4 colores. O sea, esto se hace ya, ¿estoy en lo cierto?
Pero, el matemático no va a estar contento hasta que encuentre una "verdadera" demostración. Los valores entre 0 y 1 son, para el matemático valores de "plausibilidad", que sólo lo alientan a seguir trabajando...

SebasUy
Título: Re: Lógica borrosa
Publicado por: argentinator en 14 Febrero, 2006, 03:58 pm
 La verdad, no estoy enterado de si a esas proposiciones se les han adjudicado concretamente valores de ''plausibilidad'' entre 0 y 1. Tengo la  impresion de que los matematicos tienen la ''sensacion'' de que ciertas cosas pueden ser ciertas, pero que no hay una teoria formal sobre esa ''sensacion''.

 Si en realidad hay algo escrito al respecto, me gustaria tener la posibilidad de leerlo.
  Alguien conoce alguna fuente?