Rincón Matemático
Matemática => Análisis Matemático => Cálculo de Varias Variables => Mensaje iniciado por: weimar en 22 Noviembre, 2020, 03:57 pm
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Determine el flujo del rotacional $$F(x,y,z)=(y^2,-x,1)$$ a traves de la superficie $$z=1-x^2$$ con $$x\geq{0} , y\geq{0}, x+y\leq{1} $$ y la direccion de la normal apuntando para abajo.
Bueno , aplique el Teorema de stokes y tenemos la curva : $$\alpha(t)=(t,1-t,1-t^2) , t \in [0,1] \Longrightarrow{ \alpha'(t)=(1,-1,-2t)}$$
y $$F(\alpha(t))=((1-t)^2,-t,1)$$ luego el flujo del rotacional por stokes seria $$\int_{0}^{1}((1-t)^2-t)dt=-\frac{1}{6}$$
Pero si calculo por la definicion de flujo y parametrizo la superficie con $$rot(F)=(0,0,-1-2y) , \varphi(x,y)=(x,y,1-x^2)$$
el resultado me da:
$$\iint_{S}rot(F).ndS=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1-x}(1+2y)dydx=\frac{5}{6}$$ donde esta mi error :-\ :-\ :-\ :banghead: :banghead:
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Hola Corregido
La curva cerrada completa esta formada por los tramos
\[ (0,t,1),\qquad 0\leq t\leq 1 \]
\[ (t,1-t,1-t^2),\qquad 0\leq t\leq 1 \]
\[ (1-t,0,{\bf\color{red}1-(t-1)^2}),\qquad 0\leq t\leq 1 \]
(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=115027.0;attach=22455)
Saludos
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Hola
La curva cerrada completa esta formada por los tramos
\[ (0,t,1),\qquad 0\leq t\leq 1 \]
\[ (t,1-t,1-t^2),\qquad 0\leq t\leq 1 \]
\[ (1-t,0,1-t^2),\qquad 0\leq t\leq 1 \]
(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=115027.0;attach=22455)
Saludos
Hola, gracias por tu tiempo :aplauso: .
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Hola,
Lo rojo es $$1-(1-t)^2$$
Hola
La curva cerrada completa esta formada por los tramos
\[ (0,t,1),\qquad 0\leq t\leq 1 \]
\[ (t,1-t,1-t^2),\qquad 0\leq t\leq 1 \]
\[ (1-t,0,\color{red}1-t^2\color{black}),\qquad 0\leq t\leq 1 \]
(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=115027.0;attach=22455)
Determine el flujo del rotacional $$F(x,y,z)=(y^2,-x,1)$$ a traves de la superficie $$z=1-x^2$$ con $$x\geq{0} , y\geq{0}, x+y\leq{1} $$ y la direccion de la normal apuntando para abajo.
Bueno , aplique el Teorema de stokes y tenemos la curva : $$\alpha(t)=(t,1-t,1-t^2) , t \in [0,1] \Longrightarrow{ \alpha'(t)=(1,-1,-2t)}$$
y $$F(\alpha(t))=((1-t)^2,-t,1)$$ luego el flujo del rotacional por stokes seria $$\int_{0}^{1}((1-t)^2-t)dt=-\frac{1}{6}$$
Pero si calculo por la definicion de flujo y parametrizo la superficie con $$rot(F)=(0,0,-1-2y) , \varphi(x,y)=(x,y,1-x^2)$$
el resultado me da:
$$\iint_{S}rot(F).ndS=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1-x}(1+2y)dydx=\frac{5}{6}$$ donde esta mi error
Ya sé lo que ha pasado. De las integrales asociadas a las tres curvas, anulaste el valor de dos de ellas. ¡Pero sólo es nula una de ellas!
Entonces $$\displaystyle \iint_S \nabla \times F\cdot \mathbf{ds}=\oint_C F\cdot\mathbf{dr}=\dfrac{5}{6}$$ (con la normal hacia abajo)
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Hola,
Lo rojo es $$1-(1-t)^2$$
Hola
La curva cerrada completa esta formada por los tramos
\[ (0,t,1),\qquad 0\leq t\leq 1 \]
\[ (t,1-t,1-t^2),\qquad 0\leq t\leq 1 \]
\[ (1-t,0,\color{red}1-t^2\color{black}),\qquad 0\leq t\leq 1 \]
...
Gracias Bobby, lo había corregido en papel y al ponerlo en el mensaje lo dejé mal.
Lo que me pareció es que weimar solo había integrado un tramo y espero mi respuesta le haya hecho notar que le faltaba integrar por el resto de tramos.
Saludos
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Gracias Bobby, lo había corregido en papel y al ponerlo en el mensaje lo dejé mal.
Lo que me pareció es que weimar solo había integrado un tramo y espero mi respuesta le haya hecho notar que le faltaba integrar por el resto de tramos.
Saludos
Un saludo a los dos, y gracias.