Rincón Matemático

Matemática => Análisis Matemático => Cálculo de Varias Variables => Mensaje iniciado por: weimar en 22 Noviembre, 2020, 03:57 pm

Título: Flujo del rotacional
Publicado por: weimar en 22 Noviembre, 2020, 03:57 pm
Determine el flujo del rotacional  $$F(x,y,z)=(y^2,-x,1)$$  a traves de la superficie $$z=1-x^2$$ con $$x\geq{0} , y\geq{0}, x+y\leq{1} $$ y la direccion de la normal apuntando para abajo.

Bueno , aplique el Teorema de stokes y tenemos la curva : $$\alpha(t)=(t,1-t,1-t^2) , t \in [0,1]  \Longrightarrow{ \alpha'(t)=(1,-1,-2t)}$$
 y $$F(\alpha(t))=((1-t)^2,-t,1)$$ luego el flujo del rotacional por stokes seria  $$\int_{0}^{1}((1-t)^2-t)dt=-\frac{1}{6}$$

Pero si calculo por la definicion de flujo y parametrizo la superficie con $$rot(F)=(0,0,-1-2y) , \varphi(x,y)=(x,y,1-x^2)$$

 el resultado me da:

$$\iint_{S}rot(F).ndS=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1-x}(1+2y)dydx=\frac{5}{6}$$ donde esta mi error  :-\ :-\ :-\ :banghead: :banghead:
Título: Re: Flujo del rotacional
Publicado por: ingmarov en 22 Noviembre, 2020, 07:29 pm
Hola          Corregido

La curva cerrada completa esta formada por los tramos

\[ (0,t,1),\qquad 0\leq t\leq 1 \]


\[ (t,1-t,1-t^2),\qquad 0\leq t\leq 1 \]


\[ (1-t,0,{\bf\color{red}1-(t-1)^2}),\qquad 0\leq t\leq 1 \]

(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=115027.0;attach=22455)


Saludos
Título: Re: Flujo del rotacional
Publicado por: weimar en 23 Noviembre, 2020, 01:22 pm
Hola

La curva cerrada completa esta formada por los tramos

\[ (0,t,1),\qquad 0\leq t\leq 1 \]


\[ (t,1-t,1-t^2),\qquad 0\leq t\leq 1 \]


\[ (1-t,0,1-t^2),\qquad 0\leq t\leq 1 \]

(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=115027.0;attach=22455)


Saludos


Hola,  gracias por tu tiempo   :aplauso: .
Título: Re: Flujo del rotacional
Publicado por: Bobby Fischer en 25 Noviembre, 2020, 01:37 pm
Hola,

Lo rojo es $$1-(1-t)^2$$

Hola

La curva cerrada completa esta formada por los tramos

\[ (0,t,1),\qquad 0\leq t\leq 1 \]


\[ (t,1-t,1-t^2),\qquad 0\leq t\leq 1 \]


\[ (1-t,0,\color{red}1-t^2\color{black}),\qquad 0\leq t\leq 1 \]

(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=115027.0;attach=22455)


Determine el flujo del rotacional  $$F(x,y,z)=(y^2,-x,1)$$  a traves de la superficie $$z=1-x^2$$ con $$x\geq{0} , y\geq{0}, x+y\leq{1} $$ y la direccion de la normal apuntando para abajo.

Bueno , aplique el Teorema de stokes y tenemos la curva : $$\alpha(t)=(t,1-t,1-t^2) , t \in [0,1]  \Longrightarrow{ \alpha'(t)=(1,-1,-2t)}$$
 y $$F(\alpha(t))=((1-t)^2,-t,1)$$ luego el flujo del rotacional por stokes seria  $$\int_{0}^{1}((1-t)^2-t)dt=-\frac{1}{6}$$

Pero si calculo por la definicion de flujo y parametrizo la superficie con $$rot(F)=(0,0,-1-2y) , \varphi(x,y)=(x,y,1-x^2)$$

 el resultado me da:

$$\iint_{S}rot(F).ndS=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1-x}(1+2y)dydx=\frac{5}{6}$$ donde esta mi error 

Ya sé lo que ha pasado. De las integrales asociadas a las tres curvas, anulaste el valor de dos de ellas. ¡Pero sólo es nula una de ellas!

Entonces $$\displaystyle \iint_S \nabla \times F\cdot \mathbf{ds}=\oint_C F\cdot\mathbf{dr}=\dfrac{5}{6}$$ (con la normal hacia abajo)
Título: Re: Flujo del rotacional
Publicado por: ingmarov en 25 Noviembre, 2020, 04:42 pm
Hola,

Lo rojo es $$1-(1-t)^2$$

Hola

La curva cerrada completa esta formada por los tramos

\[ (0,t,1),\qquad 0\leq t\leq 1 \]


\[ (t,1-t,1-t^2),\qquad 0\leq t\leq 1 \]


\[ (1-t,0,\color{red}1-t^2\color{black}),\qquad 0\leq t\leq 1 \]
...

Gracias Bobby, lo había corregido en papel y al ponerlo en el mensaje lo dejé mal.
Lo que me pareció es que weimar solo había integrado un tramo y espero mi respuesta le haya hecho notar que le faltaba integrar por el resto de tramos.

Saludos
Título: Re: Flujo del rotacional
Publicado por: Bobby Fischer en 25 Noviembre, 2020, 07:40 pm
Gracias Bobby, lo había corregido en papel y al ponerlo en el mensaje lo dejé mal.
Lo que me pareció es que weimar solo había integrado un tramo y espero mi respuesta le haya hecho notar que le faltaba integrar por el resto de tramos.

Saludos

Un saludo a los dos, y gracias.