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Matemática => Análisis Matemático => Cálculo de Varias Variables => Mensaje iniciado por: weimar en 15 Noviembre, 2020, 03:52 pm

Título: Teorema de Gauss
Publicado por: weimar en 15 Noviembre, 2020, 03:52 pm
Sea $$S$$ parte de la esfera $$x^2+y^2+z^2=1$$ conprendida entre los planos $$z=0$$ y $$z=y \geq{0}.  $$  Calcular
$$\int \int_{S}F.ndS $$  donde $$n$$ es la normal unitaria a $$S$$ con tercera coordenada siempre positiva y el campo  dado por $$F(x,y,z)=(\frac{\ln(1+y^2)}{2+\cos z},1,2z)$$

Hola, hice lo siguiente: Aplicando el teorema de Gauss , tenemos que $$\mbox{ div}(F)=2$$ y usando cambio de variables a coordenadas esfericas $$x=\rho \cos \theta \sin \phi , y=\rho \sin \theta \sin \phi ,z=\rho \cos \phi ,    \rho\in [0,1], \theta \in [0,\pi], \phi\in [\frac{3\pi}{4},\pi].$$ Sustituyendo en la integral nos da que :

$$ \int \int_{S}F.ndS=  \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{1} \int_{3\pi/4}^{\pi} 2 \rho^2 \sin \phi d\phi d\rho d\theta = \frac{2\pi}{3}(1-\frac{1}{\sqrt{2}})$$

Pero la respuesta sale : $$\pi(\frac{1}{3}+\frac{\sqrt{2}}{4})-\frac{2}{3}$$ donde esta el error  :banghead: :banghead: :banghead:
 

Título: Re: Teorema de Gauss
Publicado por: robinlambada en 15 Noviembre, 2020, 04:21 pm
Hola:
Sea $$S$$ parte de la esfera $$x^2+y^2+z^2=1$$ conprendida entre los planos $$z=0$$ y $$z=y \geq{0}.  $$  Calcular
$$\int \int_{S}F.ndS $$  donde $$n$$ es la normal unitaria a $$S$$ con tercera coordenada siempre positiva y el campo  dado por $$F(x,y,z)=(\frac{\ln(1+y^2)}{2+\cos z},1,2z)$$

Hola, hice lo siguiente: Aplicando el teorema de Gauss , tenemos que $$\mbox{ div}(F)=2$$ y usando cambio de variables a coordenadas esfericas $$x=\rho \cos \theta \sin \phi , y=\rho \sin \theta \sin \phi ,z=\rho \cos \phi ,    \rho\in [0,1], \theta \in [0,\pi], \phi\in [\frac{3\pi}{4},\pi].$$ Sustituyendo en la integral nos da que :

$$ \int \int_{S}F.ndS=  \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{1} \int_{3\pi/4}^{\pi} 2 \rho^2 \sin \phi d\phi d\rho d\theta = \frac{2\pi}{3}(1-\frac{1}{\sqrt{2}})$$

Pero la respuesta sale : $$\pi(\frac{1}{3}+\frac{\sqrt{2}}{4})-\frac{2}{3}$$ donde esta el error  :banghead: :banghead: :banghead:


A bote pronto , según la parametrización que has elegido , el dominio de  \( \phi\ \) es: \( \phi\in [\dfrac{\pi}{4},\displaystyle\frac{\pi}{2}] \)

Saludos.
P.D.: mira el documento adjunto, lo único que cambia del documento es \( \phi\ \) por \( \theta \), el ángulo \( \phi\ \) se debe medir desde el semieje positivo Z en sentido horario.
Título: Re: Teorema de Gauss
Publicado por: weimar en 15 Noviembre, 2020, 05:02 pm
Hola, es verdad , bueno siendo asi tenemos :

$$ \int \int_{S}F.ndS=  \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{1} \int_{\pi/4}^{\pi/2} 2 \rho^2 \sin \phi d\phi d\rho d\theta = \frac{2\pi}{3}(\frac{1}{\sqrt{2}})  $$ que sigue siendo diferente de la respuesta  ???
Título: Re: Teorema de Gauss
Publicado por: robinlambada en 15 Noviembre, 2020, 05:47 pm
Hola, es verdad , bueno siendo asi tenemos :

$$ \int \int_{S}F.ndS=  \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{1} \int_{\pi/4}^{\pi/2} 2 \rho^2 \sin \phi d\phi d\rho d\theta = \frac{2\pi}{3}(\frac{1}{\sqrt{2}})  $$ que sigue siendo diferente de la respuesta  ???
Me parece que la clave puede estar en  que  no se puede aplicar directamente el teorema de la divergencia solamente.
Sea $$S$$ parte de la esfera $$x^2+y^2+z^2=1$$ conprendida entre los planos $$z=0$$ y $$z=y \geq{0}.  $$  Calcular
$$\int \int_{S}F.ndS $$  donde $$n$$ es la normal unitaria a $$S$$ con tercera coordenada siempre positiva y el campo  dado por $$F(x,y,z)=(\frac{\ln(1+y^2)}{2+\cos z},1,2z)$$

Pues me descoloca un poco lo que marqué en rojo. Entonces con la divergencia no tiene por que salir , ya que el vector unitario perpendicular al plano \( z=0 \) sería \( (0,0,-1) \) sentido hacia los valores negativos de z.

Prueba a calcularlo directamente con la integral de superficie.

Saludos.
Título: Re: Teorema de Gauss
Publicado por: ingmarov en 15 Noviembre, 2020, 06:23 pm
Hola Una corrección, cambié sec por csc

S mal no recuerdo, el teorema de divergencia se aplica cuando la superficie es cerrada, por lo que con la integral

...

$$ \int \int_{S}F.ndS=  \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{1} \int_{\pi/4}^{\pi/2} 2 \rho^2 \sin \phi d\phi d\rho d\theta = \frac{2\pi}{3}(\frac{1}{\sqrt{2}})...


Ups, se está integrando en una región distinta a la pedida, creo que los límites para \[ \phi \] debeían ser de \[ arctan({\bf csc}({\bf\theta})) \] hasta \[ \frac{\pi}{2} \]


se está calculando el fujo del campo sobre la cara curva de la región y sobre las dos caras planas.


La cara en z=0 si el vector n debe apuntar hacia afuera de la región estará apuntando hacia abajo z<0 por lo que esta cara debería quedar excluida. Luego la superficie ya no es cerrada.

Son algunas ideas, hace tiempos no practico estas cosas.




Saludos
Título: Re: Teorema de Gauss
Publicado por: weimar en 15 Noviembre, 2020, 08:36 pm
Hola, bueno entonces cerre la superficie y tenho que calcular las 2 integrales a seguir:

$$ \int \int_{S_1}F.n_1 dS $$ con $$S_1: z=0, x^2+y^2=1$$ asi paremtrizando y haciendo calculos resulta $$  \int \int_{S_1}F.n_1 dS=0$$

Por otro lado

$$\int \int_{S_2}F.n_2 dS$$ con $$S_2: x^2+2y^2=1, z=y$$ parametrizando por $$\chi(r,\theta)=(r \cos \theta,r/2 \sin \theta,r/2 \sin \theta), (r,\theta)\in[0,1]\times[0,\pi]$$ Luego $$\int_{0}^{\pi} \int_{0}^{1}  (-r/2+ r^2/2 \sin \theta)dr d\theta=1/3-\pi/4$$ Por tanto

$$\int \int_{S}F.n dS= \frac{\pi \sqrt{2}}{3}+\frac{\pi}{4}-\frac{1}{3},$$  solo que no coincide con la respuesta, donde estara mi error :banghead:
Título: Re: Teorema de Gauss
Publicado por: robinlambada en 15 Noviembre, 2020, 10:39 pm
Solo pide calcular el flujo sobre la superficie de la esfera, así lo entiendo yo ahora, no sobre el plano \(  z=0 \) ni sobre el plano \( z=y \)

El flujo sobre el plano z=0 es cero como bien has calculado.

Solo debes restarle al calculo de la divergencia que calculaste, el del fljo del plano \( z=y \)

Fíjate que \( \displaystyle\frac{\pi}{3} \) es la cuarta parte del volumen de la esfera de radio unidad, que es la que tienes,
pero como la divergencia te da 2 y el casquete esferico que debes calcular su volumen es la octava parte del volumen de la esfera, pero al multiplicarlo por 2 que es la divergencia. Te da que la integral de volumen es \( \displaystyle\frac{\pi}{3} \)
A esto tienes que restarle el flujo de los planos,como hemos visto ambos el flujo en z=0 es cero y el fujo en elplano z=y

No lo he calculado del todo , pues se me hace tarde, a ver si mañana lo termino, llego a:

\( F(y=z)=\displaystyle\int_{-1}^{1}\displaystyle\int_{0}^{t((x)}(-1+2y)dydx \), con \(  t(x)=\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{1-x^2}{2}} \)

\( F(y=z)=-\displaystyle\int_{-1}^{1}\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{1-x^2}{2}}dx+\displaystyle\int_{-1}^{1}\left({\displaystyle\frac{1-x^2}{2}}\right)dx \)

Si no me he equivocado la 2ª integral queda \( \displaystyle\frac{2}{3} \) (*)pero el signo menos debería ser positivo

Falta terminar la primera. (pero tiene pinta de ser lo que fata \( -\pi\dfrac{\sqrt{2}}{4} \), el factor \( \pi \) puede venir de un cambio de coordenadas a trigonometrica )

Saludos.

P.D.: ruego revisión (corregido el signo del resultado)


Título: Re: Teorema de Gauss
Publicado por: robinlambada en 15 Noviembre, 2020, 11:11 pm
Efectivamente \( \displaystyle\int_{-1}^{1}\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{1-x^2}{2}}dx=\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2}}{4}\pi \)

Pero debería salir con signo cambiado.

Saludos
Título: Re: Teorema de Gauss
Publicado por: weimar en 16 Noviembre, 2020, 12:14 am
Hola, entonces esta mal esto:
$$ \int \int_{S}F.ndS=  \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{1} \int_{\pi/4}^{\pi/2} 2 \rho^2 \sin \phi d\phi d\rho d\theta = \frac{2\pi}{3}(\frac{1}{\sqrt{2}})  $$  ???
Pues como dices en tus calculos debe ser un octavo del volumen de la esfera multiplicado por dos, que es: $$\frac{\pi}{3}$$

Por otro lado en la parte de :  $$\varphi(x,y)=(x,y,y)  \Rightarrow{ \varphi_{x}\times \varphi_{y}=(0,-1,1)}$$ ese producto vectorial debe ser paralelo an vector $$k=(0,0,1)$$ siendoa si cual debo tomar : $$(0,-1,1)$$ o $$(0,1,-1)$$  :-\ :-\ :-\
Título: Re: Teorema de Gauss
Publicado por: ingmarov en 16 Noviembre, 2020, 03:29 pm
Hola

Hola, entonces esta mal esto:
$$ \int \int_{S}F.ndS=  \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{1} \int_{\pi/4}^{\pi/2} 2 \rho^2 \sin \phi d\phi d\rho d\theta = \frac{2\pi}{3}(\frac{1}{\sqrt{2}})  $$  ???
...

Eso está mal por dos razones:
1. No puedes aplicar teorema de divergencia a una superficie abierta como es la superficie de la esfera comprendida entre los planos dados.

2. Si te pidieran el flujo del campo en el sólido formado por la esfera y los planos dados, esos límites no corresponden a la región que te habrían descrito. (No es lo que te han pedido)
Tus límites consideran la región similar la la imagen siguiente:

 


Esa región no está comprendida entre los planos dados, es decir tus límites de integración estarían mal.

Saludos

Título: Re: Teorema de Gauss
Publicado por: weimar en 16 Noviembre, 2020, 04:39 pm
Hola, muy bien,  y como serian entonces esos limites de integracion ?  y porque?
Título: Re: Teorema de Gauss
Publicado por: ingmarov en 16 Noviembre, 2020, 04:55 pm
A ver, espero no estar equivocado,

\[ y=z\quad\Rightarrow\quad \rho sen(\theta)sen(\phi)=\rho cos(\phi)\quad\Rightarrow\quad \phi=arctan(csc(\theta)) \]


\[ \int \int_{S}F.ndS=  \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{1} \int_{\bf arctan(csc(\theta))}^{\pi/2} F\cdot dv  \] 

Creo que así se integraría para la región pedida. Ese único cambio no se ve muy "amistoso", pero ese creo debería ser.

Añado

Veo que la idea de Robinlambada es muy razonable, utiliza el teorema de divergencia para calcular el flujo del campo en todo el sólido y a este resultado le restará el flujo del campo en las caras planas, resultando el flujo en la cara curva que es lo que realmente pide el problema, me lo apunto para otra ocasión, gracias Robin.



Saludos
Título: Re: Teorema de Gauss
Publicado por: weimar en 16 Noviembre, 2020, 05:14 pm
Muy bien gracias, entendi como sacaste los limites por la condicion del problema, pero ahora si quiero calcular digamos:
$$ \int_{\mbox{arctg(cosec } \theta)}^{\pi/2}\sin \phi d \phi =-\cos \phi \Big |_{\mbox{arctg(cosec } \theta)}^{\pi/2}=\cos (\mbox{arctg(cosec} \theta))=$$

Como calcularia esse valor  :-\ :-\ :-\
Título: Re: Teorema de Gauss
Publicado por: ingmarov en 16 Noviembre, 2020, 05:26 pm
Muy bien gracias, entendi como sacaste los limites por la condicion del problema, pero ahora si quiero calcular digamos:
$$ \int_{\mbox{arctg(cosec } \theta)}^{\pi/2}\sin \phi d \phi =-\cos \phi \Big |_{\mbox{arctg(cosec } \theta)}^{\pi/2}=\cos (\mbox{arctg(cosec} \theta))=$$

Como calcularía ese valor  :-\ :-\ :-\

Sí, tampoco me parece que convenga.

¿El problema te sugiere utilizar el teorema de divergencia?
Título: Re: Teorema de Gauss
Publicado por: robinlambada en 16 Noviembre, 2020, 05:29 pm
Muy bien gracias, entendi como sacaste los limites por la condicion del problema, pero ahora si quiero calcular digamos:
$$ \int_{\mbox{arctg(cosec } \theta)}^{\pi/2}\sin \phi d \phi =-\cos \phi \Big |_{\mbox{arctg(cosec } \theta)}^{\pi/2}=\cos (\mbox{arctg(cosec} \theta))=$$

Como calcularia esse valor  :-\ :-\ :-\
Observa que:
\( \displaystyle\frac{\sen^2 x}{\sen ^2 x}+\displaystyle\frac{cos ^2 x}{\sen ^2 x}=\displaystyle\frac{1}{\sen ^2 x} \)


\( 1+\displaystyle\frac{1}{\tan^2 x}=\displaystyle\frac{1}{\sen ^2 x}\rightarrow{}\displaystyle\frac{1}{\sen x}=\sqrt[ ]{1+\displaystyle\frac{1}{\tan^2 x}} \)


Saludos.


Título: Re: Teorema de Gauss
Publicado por: Fernando Revilla en 16 Noviembre, 2020, 06:05 pm
Calcular $$\int \int_{S}F.ndS $$

Tecleando [tex=break]\iint_{S}F\cdot ndS[/tex] obtendrás la más estética \[ \iint_{S}F\cdot ndS \].
Título: Re: Teorema de Gauss
Publicado por: weimar en 16 Noviembre, 2020, 07:14 pm
Muy bien gracias, entendi como sacaste los limites por la condicion del problema, pero ahora si quiero calcular digamos:
$$ \int_{\mbox{arctg(cosec } \theta)}^{\pi/2}\sin \phi d \phi =-\cos \phi \Big |_{\mbox{arctg(cosec } \theta)}^{\pi/2}=\cos (\mbox{arctg(cosec} \theta))=$$

Como calcularia esse valor  :-\ :-\ :-\
Observa que:
\( \displaystyle\frac{\sen^2 x}{\sen ^2 x}+\displaystyle\frac{cos ^2 x}{\sen ^2 x}=\displaystyle\frac{1}{\sen ^2 x} \)



\( 1+\displaystyle\frac{1}{\tan^2 x}=\displaystyle\frac{1}{\sen ^2 x}\rightarrow{}\displaystyle\frac{1}{\sen x}=\sqrt[ ]{1+\displaystyle\frac{1}{\tan^2 x}} \)


Saludos.

Hola , sustituyendo queda asi:

$$\cos (\mbox{arctg(cosec} \theta))= \cos (  \arctan  (\sqrt {1+\frac{1}{\tan^2 \theta } } ))=   $$

tambien se que $$\theta \in [0,\pi]$$ es un angulo que varia en ese intervalo, que valor de $$\theta $$ puedo tomar ??




Título: Re: Teorema de Gauss
Publicado por: ingmarov en 16 Noviembre, 2020, 07:47 pm
No sé como resolver esa integral, pero el volumen de ese trozo de esfera es, como ya mencionaron

\[ V=\dfrac{\frac{4\pi}{3}}{8} \]

Por lo que la integral debe resultar  \[ \dfrac{\pi}{3} \]  (porque se multiplica por el dos que resulta de calcular la divergencia)

A este resultado se le ha de restar el flujo en las caras planas de la región.

Saludos
Título: Re: Teorema de Gauss
Publicado por: weimar en 16 Noviembre, 2020, 08:20 pm
Hola, si entendí esa parte que era la octava parte del sólido esférico, solo que quería resolverlo usando integrales, pero normal no hay problema, veo que se complica mucho.
Por otro lado en la otra parte  para calcular el flujo, hice el siguiente cálculo

$$\iint_{S_2}F \cdot n_2 dS$$ con $$S_2: x^2+2y^2=1, z=y$$ parametrizando por $$\chi(r,\theta)=(r \cos \theta,r/2 \sin \theta,r/2 \sin \theta), (r,\theta)\in[0,1]\times[0,\pi]$$ Luego $$\int_{0}^{\pi} \int_{0}^{1}  (-r/2+ r^2/2 \sin \theta)dr d\theta=1/3-\pi/4$$  solo que no coincide con  la respuesta , ¿dónde estará mi error?  :banghead:


Título: Re: Teorema de Gauss
Publicado por: robinlambada en 16 Noviembre, 2020, 09:19 pm
Hola.
Hola, si entendí esa parte que era la octava parte del sólido esférico, solo que quería resolverlo usando integrales, pero normal no hay problema, veo que se complica mucho.
Por otro lado en la otra parte  para calcular el flujo, hice el siguiente cálculo

$$\iint_{S_2}F \cdot n_2 dS$$ con $$S_2: x^2+2y^2=1, z=y$$ parametrizando por $$\chi(r,\theta)=(r \cos \theta,r/\color{red}2\color{black} \sin \theta,r/\color{red}2\color{black} \sin \theta), (r,\theta)\in[0,1]\times[0,\pi]$$ Luego $$\int_{0}^{\pi} \int_{0}^{1}  (-r/2+ r^2/2 \sin \theta)dr d\theta=1/3-\pi/4$$  solo que no coincide con  la respuesta , ¿dónde estará mi error?  :banghead:

En la parametrización hay un pequeño error (lo que marqué en rojo).

Sería: $$\chi(r,\theta)=(r \cos \theta,\frac {r}{\sqrt[ ]{2}} \sin \theta,\frac{r}{\sqrt[ ]{2}} \sin \theta)$$
Título: Re: Teorema de Gauss
Publicado por: robinlambada en 16 Noviembre, 2020, 09:33 pm
Y la integral sería:

\(   \displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{2}} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{1}  (-r+ 2\displaystyle\frac{r^2 }{\sqrt[ ]{2}}\sin \theta)dr d\theta=2/3-\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2}\pi}{4} \)
Título: Re: Teorema de Gauss
Publicado por: weimar en 16 Noviembre, 2020, 11:44 pm
Es verdad, muy agradecido  :aplauso:
Título: Re: Teorema de Gauss
Publicado por: robinlambada en 17 Noviembre, 2020, 03:08 pm
A ver, espero no estar equivocado,

\[ y=z\quad\Rightarrow\quad \rho sen(\theta)sen(\phi)=\rho cos(\phi)\quad\Rightarrow\quad \phi=arctan(csc(\theta)) \]


\[ \int \int_{S}F.ndS=  \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{1} \int_{\bf arctan(csc(\theta))}^{\pi/2} F\cdot dv  \] 

Creo que así se integraría para la región pedida. Ese único cambio no se ve muy "amistoso", pero ese creo debería ser.
No, no es nada amistosa, pero los límites de integración son correctos
Según wolfram da:
(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=114953.0;attach=22437)

Me daba error al intentar hacer la integral triple, así que solo calcule la parte angular introduciendo  el 2 de la divergencia y da lo esperado es decir \( \pi \)

Solo falta integrar la parte del radio \( \displaystyle\int_{0}^{1}r^2 dr=\displaystyle\frac{1}{3} \)
Citar
Añado

Veo que la idea de Robinlambada es muy razonable, utiliza el teorema de divergencia para calcular el flujo del campo en todo el sólido y a este resultado le restará el flujo del campo en las caras planas, resultando el flujo en la cara curva que es lo que realmente pide el problema, me lo apunto para otra ocasión, gracias Robin.

Saludos


Aunque un poco tarde, de nada, gracias por tu observación necesaria sobre los límites de integración.  ;)