Rincón Matemático

Matemática => Análisis Matemático => Cálculo de Varias Variables => Mensaje iniciado por: abeelperez en 09 Noviembre, 2020, 09:03 pm

Título: Todo subespacio de dimensión finita tiene la propiedad de aproximación óptima
Publicado por: abeelperez en 09 Noviembre, 2020, 09:03 pm

Hola, quisiera saber si podéis resolver el siguiente ejercicio, me he quedado estancado. Toda ayuda es buena. Allá va:

Un subespacio M de un espacio normado(E,|| ||) se dice que tiene la propiedad de aproximación óptima si para cada [tex]x\in E [\tex] existe p(x) [tex] \in [\tex] M tal que:
[tex]\parallel[\tex]x-p(x)[tex]\parallel[\tex]=min{[tex]\parallel[\tex]x-y[tex]\parallel[\tex]: y[tex]\in [\tex] M}
Demuestre que todo subespacio finito dimensional tiene esta propiedad.
Si Pm es el conjunto de los polinomios de grado [tex]\leq[\tex] m y f:[0,1][tex]\longrightarrow \mathbb{R}[\tex] es continua,
demuestre que existe q [tex] \in [\tex]Pm tal que para todo q [tex]\in [\tex]Pm se cumple:
max{[tex] \mid f(t)-q(t)[\tex]: t[tex] \in [\tex][0,1]}[tex]\leq[\tex]max{[tex]\mid f(t)-p(t)[\tex]: t[tex]\in [\tex][0,1]}


Gracias por adelantado. Adjunto foto por si no ha quedado bien escribiéndolo.

Título: Re: Demostración
Publicado por: delmar en 09 Noviembre, 2020, 09:54 pm

Hola abeelperez

Bienvenido al foro

Tienes que aprender el LATEX, de lo contrario no se entiende nada, en las reglas esta prohibido adjuntar imágenes en lugar de escribir las fórmulas con LATEX, hay un tutorial en el foro.

Te ayudo con el primer problema :

Si E es un espacio de dimensión finita por ejemplo n y M es un subespacio, también ha de tener dimensión finita por ejemplo m y se cumple que \( m\leq{n} \). En todo caso existe siempre una base de E denominándola \( B=\left\{{b_1,b_2, ...,b_m,..b_n}\right\} \) tal que \( \left\{{b_1,b_2, ...,b_m}\right\} \) es una base de M, en esas condiciones cualquier elemento de E por ejemplo \( e=\displaystyle\sum_{i=1}^n{c_i \ b_i}=\displaystyle\sum_{i=1}^m{c_i  \ b_i}+\displaystyle\sum_{i=m+1}^n{c_i \ b_i} \), considerando un elemento genérico de M por ejemplo \( y=\displaystyle\sum_{i=1}^m{\alpha_i \ b_i} \), se tiene que \( \left\|{e-y}\right\|=\left\|{\displaystyle\sum_{i=1}^m{(c_i- \alpha_i)b_i}+\displaystyle\sum_{i=m+1}^n{c_i \ b_i}}\right\| \), analizando, esta expresión toma su valor mínimo cuando \( \displaystyle\sum_{i=1}^m{(c_i- \alpha_i)b_i}=O\Rightarrow{\exists{y_{min}}\in{M} \ / \ \left\|{e-y}\right\|} \) es mínima, para ese caso \( y_{min}=\displaystyle\sum_{i=1}^m{c_i \ b_i} \)

Saludos