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Matemática => Análisis Matemático => Cálculo Avanzado (espacios métricos - convergencia uniforme - Integral de Stieltjes) => Mensaje iniciado por: Bobby Fischer en 28 Octubre, 2020, 07:29 pm

Título: Convergencia puntual y uniforme
Publicado por: Bobby Fischer en 28 Octubre, 2020, 07:29 pm
Hola,

Tengo que ver la convergencia puntual y uniforme de \( f_n(x)=\inf\, \Big\{n,\dfrac{1}{x}\Big\} \) en \( (0,+\infty) \)

Para la convergencia puntual: \( f(x)=\displaystyle \lim_{n\to +\infty}f_n(x)=\lim_{n\to +\infty}\inf\, \Big\{n,\dfrac{1}{x}\Big\}=\dfrac{1}{x} \)

Hay convergencia uniforme si y sólo si \( \displaystyle\lim_{n\to +\infty}M_n=0 \), siendo \( M_n=\displaystyle\sup_{x\in (0,+\infty)}\Big|\inf\, \Big\{n,\dfrac{1}{x}\Big\}-\dfrac{1}{x}\Big| \)

Ahora aquí cómo se procede. Tengo una gran dificultad para entender límites con ínfimos y supremos. Es una losa con la que cargo desde hace ya tiempo.
Título: Re: Convergencia puntual y uniforme
Publicado por: Masacroso en 28 Octubre, 2020, 07:45 pm
Hola,

Tengo que ver la convergencia puntual y uniforme de \( f_n(x)=\inf\, \Big\{n,\dfrac{1}{x}\Big\} \) en \( (0,+\infty) \)

Para la convergencia puntual: \( f(x)=\displaystyle \lim_{n\to +\infty}f_n(x)=\lim_{n\to +\infty}\inf\, \Big\{n,\dfrac{1}{x}\Big\}=\dfrac{1}{x} \)

Hay convergencia uniforme si y sólo si \( \displaystyle\lim_{n\to +\infty}M_n=0 \), siendo \( M_n=\displaystyle\sup_{x\in (0,+\infty)}\Big|\inf\, \Big\{n,\dfrac{1}{x}\Big\}-\dfrac{1}{x}\Big| \)

Ahora aquí cómo se procede. Tengo una gran dificultad para entender límites con ínfimos y supremos. Es una losa con la que cargo desde hace ya tiempo.

Piensa que \( \left| \inf\{n,x^{-1}\}-x^{-1} \right| \) puede tener dos valores: o bien es cero, cuando \( \inf\{n,x^{-1}\}=x^{-1} \), o bien es \( \left| n-x^{-1} \right| \), cuando \( \inf\{n,x^{-1}\}=n \), es decir, cuando \( n< x^{-1} \).
Título: Re: Convergencia puntual y uniforme
Publicado por: geómetracat en 28 Octubre, 2020, 07:47 pm
Pues lo que se hace normalmente es ver si puedes acotar superiormente el valor absoluto por algo independiente de \( x \) que tienda a \( 0 \) cuando \( n \to +\infty \), si es que converge uniformemente. Y si no converge uniformemente, basta con encontrar una sucesión \( x_n \) de manera que el valor absoluto de \( M_n \) evaluado en \( x_n \) no converja a \( 0 \) (es equivalente a acotar \( M_n \) inferiormente por una sucesión que no converge a \( 0 \)).

En tu problema nos encontramos en el segundo caso: la convergencia no es uniforme. Entonces la idea es, para un \( n \) fijado, toma por ejemplo \( x_n=\frac{1}{n+1} \), de manera que \( M_n \geq |\inf \{\frac{1}{x_n}, n\} - \frac{1}{x_n}|= |n-(n+1)|=1 \).
Por tanto, \[ \lim_{n\to \infty} M_n \geq 1 \] y la convergencia no es uniforme.

PS: Se adelantó Masacroso.
Título: Re: Convergencia puntual y uniforme
Publicado por: Bobby Fischer en 28 Octubre, 2020, 08:19 pm
Gracias.

Piensa que \( \left| \inf\{n,x^{-1}\}-x^{-1} \right| \) puede tener dos valores: o bien es cero, cuando \( \inf\{n,x^{-1}\}=x^{-1} \), o bien es \( \left| n-x^{-1} \right| \), cuando \( \inf\{n,x^{-1}\}=n \), es decir, cuando \( n< x^{-1} \).

Esto ya lo había intentado pero no lo veo. Qué conclusión puede sacarse de ahí.

Saludos.
Título: Re: Convergencia puntual y uniforme
Publicado por: Masacroso en 28 Octubre, 2020, 08:39 pm
Gracias.

Piensa que \( \left| \inf\{n,x^{-1}\}-x^{-1} \right| \) puede tener dos valores: o bien es cero, cuando \( \inf\{n,x^{-1}\}=x^{-1} \), o bien es \( \left| n-x^{-1} \right| \), cuando \( \inf\{n,x^{-1}\}=n \), es decir, cuando \( n< x^{-1} \).

Esto ya lo había intentado pero no lo veo. Qué conclusión puede sacarse de ahí.

Saludos.

Que el supremo es siempre positivo, ya que para cualquier valor de \( n\in \mathbb N\setminus\{0\} \) siempre va a existir un valor de \( x\in (0,\infty ) \) tal que \( n<x^{-1} \), o lo que es lo mismo, siempre va a haber un \( x>0 \) tal que \( x<\frac1{n} \). El supremo es el "valor máximo" que puede alcanzar \( \left| n-x^{-1} \right| \) para \( x>0 \). ¿Cuál es ese valor? Infinito, ya que \( x \) puede ser arbitrariamente pequeño.

Lo importante de estos ejercicios es justamente esa confusión que tienes al resolverlo, esa sensación de "no saber por dónde cogerlo", eso te hace empezar a desgranar en detalle punto por punto, primero lo que hay entre las barras de valor absoluto, luego los valores que pueda tomar el supremo, etc...

Añado: otro punto importante de los supremos y los ínfimos en intervalos es que siempre existe una sucesión que converge a esos supremos o ínfimos. En este caso la sucesión \( \{x_m^{-1}\}_{m\in \mathbb N} \) definida por \( x_m:=\frac1{mn} \), para un \( n \) dado fijo, diverge a infinito, y por tanto \( \lim_{m\to\infty}|n-x_m^{-1}|=\infty  \), con lo que concluimos que el supremo es infinito.

Corregidos algunos errores muy tontos :P.
Título: Re: Convergencia puntual y uniforme
Publicado por: Bobby Fischer en 28 Octubre, 2020, 09:21 pm

Que el supremo es siempre positivo, ya que para cualquier valor de \( n\in \mathbb N\setminus\{0\} \) siempre va a existir un valor de \( x\in (0,\infty ) \) tal que \( n<x^{-1} \), o lo que es lo mismo, siempre va a haber un \( x>0 \) tal que \( x<\frac1{n} \). El supremo es el "valor máximo" que puede alcanzar \( \left| n-x^{-1} \right| \) para \( x>0 \). ¿Cuál es ese valor? Infinito, ya que \( x \) puede ser arbitrariamente pequeño.

Lo importante de estos ejercicios es justamente esa confusión que tienes al resolverlo, esa sensación de "no saber por dónde cogerlo", eso te hace empezar a desgranar en detalle punto por punto, primero lo que hay entre las barras de valor absoluto, luego los valores que pueda tomar el supremo, etc...

Añado: otro punto importante de los supremos y los ínfimos en intervalos es que siempre existe una sucesión que converge a esos supremos o ínfimos. En este caso la sucesión \( \{x_m^{-1}\}_{m\in \mathbb N} \) definida por \( x_m:=\frac1{mn} \), para un \( n \) dado fijo, diverge a infinito, y por tanto \( \lim_{m\to\infty}|n-x_m^{-1}|=\infty  \), con lo que concluimos que el supremo es infinito.

Corregidos algunos errores muy tontos :P.

Permíteme que rebobine un momento.

\( \inf \Big\{n,\dfrac{1}{x}\Big\}=\begin{cases}n & \text{si} & n\le1/x\\
1/x & \text{si} & n>1/x\end{cases} \)

Sigo sin entender qué te permite decantarte por una de las dos opciones. (Perdona la reiteración, no siento gusto en repetirme.)

Edit: Creo que el argumento de encontrar la sucesión lo veo más o meno claro. El tuyo y el de geómetracat.
Título: Re: Convergencia puntual y uniforme
Publicado por: Masacroso en 28 Octubre, 2020, 09:34 pm
Permíteme que rebobine un momento.

\( \inf \Big\{n,\dfrac{1}{x}\Big\}=\begin{cases}n & \text{si} & n\le1/x\\
1/x & \text{si} & n>1/x\end{cases} \)

Sigo sin entender qué te permite decantarte por una de las dos opciones. (Perdona la reiteración, no siento gusto en repetirme.)

Edit: Creo que el argumento de encontrar la sucesión lo veo más o meno claro. El tuyo y el de geómetracat.

Creo que la forma de "explicarlo" en mi respuesta anterior no ha sido demasiado clara. Una cosa que puedes hacer es lo mismo que has hecho para \( \inf\{n, 1/x\} \) pero ahora para \( |\inf\{n,1/x\}-1/x| \), eso te clarifica la función sobre la que quieres ver cuál es el supremo respecto de \( x \) para un \( n \) dado fijo.
Título: Re: Convergencia puntual y uniforme
Publicado por: Bobby Fischer en 28 Octubre, 2020, 10:59 pm
Bien, creo que ya lo he entendido.

Gracias.