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Matemática => Álgebra => Mensaje iniciado por: Zionira en 21 Octubre, 2020, 11:07 am

Título: Aritmética de enteros, duda con ejercicio con mcm.
Publicado por: Zionira en 21 Octubre, 2020, 11:07 am
Hola, buenos días, tengo un problema con la forma de resolver este problema:
El enunciado del problema dice lo siguiente:
Venus, la Tierra y Marte tardan 225, 365 y 687 días respectivamente en girar alrededor del Sol. ¿Cada
cuánto tiempo están en la misma posición que hoy?
Yo lo he resuelto con la definición de mcm elemental, es decir, basada en la descomposición de factores primos del número.
\( 225 = 3^2\cdot{5^2} \)
\( 687 = 3\cdot229 \)
\( 365 = 5\cdot73 \)
Por tanto \( mcm(687, 225, 365) = 3^2\cdot5^2\cdot73\cdot229 = 365 \cdot3^2\cdot5\cdot229 = 10305  \) años.
Pero no sé si mi planteamiento es el correcto y además si es el más adecuado pues no se me ocurre otra forma de hacerlo, siendo que esta puede llevar mucho tiempo. Gracias de antemano. Un saludo.
Título: Re: Aritmética de enteros, duda con ejercicio con mcm.
Publicado por: geómetracat en 21 Octubre, 2020, 11:23 am
Sí, tu planteamiento y resolución es correcta.

Sobre maneras más rápidas de hacerlo, si los números fueran grandes de forma que fuera muy complicado obtener la factorización en primos, una alternativa sería calcular el mcm a partir de los mcd's, que puedes calcular rápido usando el algoritmo de Euclides (pero cuidado, porque la relación entre el mcm y el mcd para más de dos números es más complicada que \( ab=mcm(a,b)mcd(a,b) \)). Pero para los números que manejas es mucho mejor que lo hagas como has hecho este, encontrando la factorización en primos.
Título: Re: Aritmética de enteros, duda con ejercicio con mcm.
Publicado por: Zionira en 21 Octubre, 2020, 11:37 am
Sí, tu planteamiento y resolución es correcta.

Sobre maneras más rápidas de hacerlo, si los números fueran grandes de forma que fuera muy complicado obtener la factorización en primos, una alternativa sería calcular el mcm a partir de los mcd's, que puedes calcular rápido usando el algoritmo de Euclides (pero cuidado, porque la relación entre el mcm y el mcd para más de dos números es más complicada que \( ab=mcm(a,b)mcd(a,b) \)). Pero para los números que manejas es mucho mejor que lo hagas como has hecho este, encontrando la factorización en primos.
Muchas gracias, lo tendré en cuenta. Ma has resuelto mis dudas.  :aplauso: ;D
Título: Re: Aritmética de enteros, duda con ejercicio con mcm.
Publicado por: ciberalfil en 21 Octubre, 2020, 11:40 am
Bueno, el método parece correcto, piensa que en ese tiempo cada planeta habrá dado un número entero de vueltas, y por lo tanto se encontrará en la misma posición que hoy. Tan solo hay un problema y es que el cálculo del mcm es incorrecto. A mi me sale:

\( mcm(225,\ 365,\ 687) = 3^2\times{}5^2\times{}73\times{}229= 3.761.325 \)

Título: Re: Aritmética de enteros, duda con ejercicio con mcm.
Publicado por: geómetracat en 21 Octubre, 2020, 12:03 pm
Sí, no está muy bien indicado, pero son \( 3761325 \) días \( = 10305 \) años.
Título: Re: Aritmética de enteros, duda con ejercicio con mcm.
Publicado por: ciberalfil en 21 Octubre, 2020, 12:17 pm
Bueno, es que en mi opinión no es correcto decir que el mcm es un número de días o de años. El mcm es un número, es un cálculo matemático, y los cálculos matemáticos solo manejan números, no días ni años. Sería más correcto hacer el cálculo matemático por un lado:

\( \cancel{mcm(225,\ 365,\ 687) = 3^2\times{}5^2\times{}73\times{}229= 10305\ años}\qquad mcm(225,\ 365,\ 687) = 3^2\times{}5^2\times{}73\times{}229= 3.761.325 \)

 y el cálculo astronómico por otro:

\( 3.761.325\ días = 10.305\ años. \)

Salu2
Título: Re: Aritmética de enteros, duda con ejercicio con mcm.
Publicado por: geómetracat en 21 Octubre, 2020, 12:28 pm
Sí, estoy de acuerdo.