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Matemática => Lógica, Conjuntos, Lenguajes Formales => Teoría de Conjuntos => Mensaje iniciado por: Sintesis en 13 Octubre, 2020, 11:15 am

Título: Conjunto cociente de una relación de equivalencia en los enteros
Publicado por: Sintesis en 13 Octubre, 2020, 11:15 am
Buenas, estaba intentando encontrar este conjunto cociente pero no sabia si esta bien hecho o si le falta algo, es el primero que hago con una relación definida en los enteros.

\( (a,b)\in{R}\Leftrightarrow{x-y=3k: k \in{\mathbb{Z}}} \)

Sea \( a\in{\mathbb{Z}} \) y \( K_a=\left\{{{x\in{\mathbb{Z}}: x\sim{a}}}\right\} \)

\( x\sim{a}\Longleftrightarrow{x-a=3k:k\in{\mathbb{Z}}}\Longleftrightarrow{x=3k+a:k\in{\mathbb{Z}}} \)

\( \forall{a,k}\in{\mathbb{Z}}:\left\{{\left\{{3k+a}\right\}}\right\}=\frac{\mathbb{Z}}{\sim{}} \)

Título: Re: Conjunto cociente de una relación de equivalencia en los enteros
Publicado por: Luis Fuentes en 13 Octubre, 2020, 11:20 am
Hola

Buenas, estaba intentando encontrar este conjunto cociente pero no sabia si esta bien hecho o si le falta algo, es el primero que hago con una relación definida en los enteros.

\( (a,b)\in{R}\Leftrightarrow{x-y=3k: k \in{\mathbb{Z}}} \)

Sea \( a\in{\mathbb{Z}} \) y \( K_a=\left\{{{x\in{\mathbb{Z}}: x\sim{a}}}\right\} \)

\( x\sim{a}\Longleftrightarrow{x-a=3k:k\in{\mathbb{Z}}}\Longleftrightarrow{x=3k+a:k\in{\mathbb{Z}}} \)

\( \forall{a,k}\in{\mathbb{Z}}:\left\{{\left\{{3k+a}\right\}}\right\}=\frac{\mathbb{Z}}{\sim{}} \)

Técnicamente está bien. Quizá deberías de dejar claro cuantas clases hay: tres clases, ¿cuáles son?.

Saludos.
Título: Re: Conjunto cociente de una relación de equivalencia en los enteros
Publicado por: Sintesis en 13 Octubre, 2020, 11:52 am
Hola

Buenas, estaba intentando encontrar este conjunto cociente pero no sabia si esta bien hecho o si le falta algo, es el primero que hago con una relación definida en los enteros.

\( (a,b)\in{R}\Leftrightarrow{x-y=3k: k \in{\mathbb{Z}}} \)

Sea \( a\in{\mathbb{Z}} \) y \( K_a=\left\{{{x\in{\mathbb{Z}}: x\sim{a}}}\right\} \)

\( x\sim{a}\Longleftrightarrow{x-a=3k:k\in{\mathbb{Z}}}\Longleftrightarrow{x=3k+a:k\in{\mathbb{Z}}} \)

\( \forall{a,k}\in{\mathbb{Z}}:\left\{{\left\{{3k+a}\right\}}\right\}=\frac{\mathbb{Z}}{\sim{}} \)

Técnicamente está bien. Quizá deberías de dejar claro cuantas clases hay: tres clases, ¿cuáles son?.

Saludos.

¿Puede ser tomar como los representantes de las clases como los posibles restos de la división de los enteros por 3?

Por \( 3|x-a  \)

\( \frac{Z}{\sim{}} = \left\{{\overline 0, \overline 1, \overline 2}\right\} \)

Gracias, saludos.
Título: Re: Conjunto cociente de una relación de equivalencia en los enteros
Publicado por: Luis Fuentes en 13 Octubre, 2020, 11:55 am
Hola

¿Puede ser tomar como los representantes de las clases como los posibles restos de la división de los enteros por 3?

Por \( 3|x-a  \)

\( \frac{Z}{\sim{}} = \left\{{\overline 0, \overline 1, \overline 2}\right\} \)

Si.

Saludos.