Rincón Matemático

Matemática => Lógica, Conjuntos, Lenguajes Formales => Teoría de Conjuntos => Mensaje iniciado por: w a y s en 07 Octubre, 2020, 12:46 am

Título: Demostrar $$\mathcal{P}(A)\cap\mathcal{P}(B)=\mathcal{P}(A\cap B)$$
Publicado por: w a y s en 07 Octubre, 2020, 12:46 am
Hola, traigo una demostración, ya la he resuelto y me gustaría que ,por favor, alguien me dijera si está bien escrita.

  Demuestra que\( \mathcal{P}(A)\cap\mathcal{P}(B)=\mathcal{P}(A\cap B) \)

Usaré la doble inclusión.

  Supongamos que \( X \in \mathcal{P}(A)\cap\mathcal{P}(B)  \), entonces \(  X \in \mathcal{P}(A)  \) y \( X \in \mathcal{P}
  (B). \)Puesto que \(  X \in \mathcal{P}(A)  \) y \( X \in \mathcal{P}(B) \) se tiene que \( X \subset A \) y \( X \subset
  B \),luego \( X \subset A\cap B \). Por lo tanto se tiene que \( X \in \mathcal{P}(A\cap B) \). Como para todo \( X \in
  \mathcal{P}(A)\cap\mathcal{P}(B) \) se verifica que \( X \in \mathcal{P}(A\cap B) \), queda demostrado que \( \mathcal{P}
  (A)\cap\mathcal{P}(B) \subset \mathcal{P}(A\cap B) \).

  Por otra parte si \( X \in \mathcal{P}(A\cap B) \), entonces \( X \subset A\cap B \), luego \( X \subset A \) y \( X \subset
  B \), de manera que \( X \in \mathcal{P}(A) \) y \( X \in \mathcal{P}(B) \). Por lo tanto concluimos que \( X \in \mathcal{P}
  (A)\cap\mathcal{P}(B) \). Como para todo \( X \in \mathcal{P}(A\cap B) \) se tiene que \( X \in
  \mathcal{P}(A)\cap\mathcal{P}(B) \), queda demostrado que \( \mathcal{P}(A\cap B) \subset  \mathcal{P}(A)\cap\mathcal{P}(B) 
   \) . De esta doble inclusión deducimos que \( \mathcal{P}(A)\cap\mathcal{P}(B)=\mathcal{P}(A\cap B) \),
  que es lo que queríamos  demostrar.


¿Está esto bien demostrado?,¿se le ocurre a alguien alguna otra manera de demostrarlo?

Muchas gracias de antemano, un saludo.
 
Título: Re: Demostrar $$\mathcal{P}(A)\cap\mathcal{P}(B)=\mathcal{P}(A\cap B)$$
Publicado por: mathtruco en 07 Octubre, 2020, 01:17 am
Correcto  :aplauso:

No creo que haya otra forma de demostrarlo, ya que es una demostración básica por lo que la única herramienta para demostrarla es a partir de la definición, como hiciste.
Título: Re: Demostrar $$\mathcal{P}(A)\cap\mathcal{P}(B)=\mathcal{P}(A\cap B)$$
Publicado por: Fernando Revilla en 07 Octubre, 2020, 01:52 pm
Demuestra que\( \mathcal{P}(A)\cap\mathcal{P}(B)=\mathcal{P}(A\cap B) \)

Una vez que lo has demostrado, te puede ser útil (ahora, o para el futuro), la generalización a un un número cualquiera de subconjuntos, y también considerando la unión: Partes de uniones e intersecciones (http://fernandorevilla.es/blog/2015/04/18/partes-de-uniones-e-intersecciones/).
Título: Re: Demostrar $$\mathcal{P}(A)\cap\mathcal{P}(B)=\mathcal{P}(A\cap B)$$
Publicado por: w a y s en 07 Octubre, 2020, 07:28 pm
Muchas gracias, Fernando Revilla,mathtruco, por vuestros aportes.