Rincón Matemático

Matemática => Álgebra => Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) => Mensaje iniciado por: zaibelzambrano en 07 Octubre, 2020, 12:39 am

Título: Halle una base ortogonal del espacio vectorial
Publicado por: zaibelzambrano en 07 Octubre, 2020, 12:39 am
Por favor, necesito ayuda con este ejercicio, ojalá puedan ayudarme.

Halle una base ortogonal del subespacio vectorial de \( \mathbb{R}^5 \) generado por los vectores \( ( 1, 0, -1, 2, 1 ) \), \( (-1, 1, 0, 2, -1) \),
\( (1, -1, 1, 0, 2), \) y \( ( 2, -1, 1, -1, 0) \) considerando el producto interno usual en \( \mathbb{R}^5 \).

P.S. Se cambiaron las palabras en mayúscula a minúscula del título y cuerpo del mensaje
Título: Re: Halle una base ortogonal del espacio vectorial
Publicado por: alexpglez en 07 Octubre, 2020, 12:45 am
Hola,
¿qué has intentado?

Por otro lado, en \(  \mathbb R^5  \) te dan 4 vectores, luego el subespacio ortogonal tiene dimensión 1. En otras palabras, te basta encontrar un vector ortogonal a los que te dan, que es base del espacio pedido.
Título: Re: Halle una base ortogonal del espacio vectorial
Publicado por: zaibelzambrano en 07 Octubre, 2020, 12:51 am
En verdad no se que hacer necesito la ayuda por favor!! Si me puedes explicar paso a paso como se realiza? Debo realizar muchos mas de un formulario no logro entender que hacer!!!! :'(
Título: Re: Halle una base ortogonal del espacio vectorial
Publicado por: mathtruco en 07 Octubre, 2020, 12:59 am
Por otro lado, en \(  \mathbb R^5  \) te dan 4 vectores, luego el subespacio ortogonal tiene dimensión 1. En otras palabras, te basta encontrar un vector ortogonal a los que te dan, que es base del espacio pedido.

Ojo que la pregunta es hallar una base ortogonal del espacio generado por esos cuatro vectores, no están preguntando una base para su ortogonal. Por otra parte, no sabemos si el espacio generado por esos 4 vectores es de dimensión 4, para asegurarnos tendríamos que verificar que son linealmente independientes, así que su espacio ortogonal puede tener dimensión mayor que uno.

POR FAVOR NECESITO AYUDA CON ESTE EJERCICIO, OJALA PUEDAN AYUDARME !!
HALLE UNA BASE ORTOGONAL DEL SUBESPACIO VECTORIAL DE \( IR^5 \) generado por los vectores \( ( 1, 0, -1, 2, 1 ) \), \( (-1, 1, 0, 2, -1) \),
\( (1, -1, 1, 0, 2), \) y \( ( 2, -1, 1, -1, 0) \) considerando el producto interno usual en \( IR^5 \).

Lo que te están pidiendo es que apliques el Proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt (http://fernandorevilla.es/blog/2014/08/15/bases-ortonormales-metodo-de-schmidt/). Seguro tendrás un ejemplo en tu cuaderno, es sólo aplicar la fórmula. Revisa la fórmula y aplícala y si quieres escribe el desarrollo acá y lo revisamos.
Título: Re: Halle una base ortogonal del espacio vectorial
Publicado por: alexpglez en 07 Octubre, 2020, 01:15 am
Ojo que la pregunta es hallar una base ortogonal del espacio generado por esos cuatro vectores, no están preguntando una base para su ortogonal. Por otra parte, no sabemos si el espacio generado por esos 4 vectores es de dimensión 4, para asegurarnos tendríamos que verificar que son linealmente independientes, así que su espacio ortogonal puede tener dimensión mayor que uno.

Disculpad había leído mal el enunciado y como me han hecho notar, no es verdad que necesariamente formen un espacio de dimensión 4 (las prisas  :-[)
Título: Re: Halle una base ortogonal del espacio vectorial
Publicado por: zaibelzambrano en 09 Octubre, 2020, 02:19 pm
Esto es lo que he podido hacer!! Necesito ayuda para terminarlo por favor!!
\( (1, 0, -1, 2 , 1), (-1, 1, 0, 2, -1), (1, -1, 1, 0, 2), (2, -1, 1, -1,0) \)
\( W^\perp{} = (x,y,z,t,p) \in{R^5} \) | \(  (x,y,z,t,p) . v = 0 \forall{v} \in{W} \)
\( W^\perp{} = (x,y,z,t,p) . (1, 0, -1, 2 , 1) = 0  \)
              \(      = (x,y,z,t,p) . (-1, 1, 0, 2, -1) = 0  \)
              \(      =  (x,y,z,t,p) .  (1, -1, 1, 0, 2) = 0 \)
              \(      =  (x,y,z,t,p)  . (2, -1, 1, -1,0) = 0 \)
\(  x - z + 2t + p = 0  \)
\( -x + y + 2t - p = 0  \)
\(  x - y + z + 2p = 0  \)
\( 2x - y + z - t = 0 \) por favor ayudenme a terminarlo!
Título: Re: Halle una base ortogonal del espacio vectorial
Publicado por: mathtruco en 09 Octubre, 2020, 02:57 pm
Hola zaibelzambrano. Revisa las respuestas anteriores. No estás buscando el espacio orgonal, estás buscando una base de vectores ortogonales de tu espacio.

Tienes los vectores:

     \( \mathbf{v}_1=( 1, 0, -1, 2, 1 ) \), \( \mathbf{v}_2=(-1, 1, 0, 2, -1) \), \( \mathbf{v}_3=(1, -1, 1, 0, 2), \) y \( \mathbf{v}_4=( 2, -1, 1, -1, 0) \).

El Proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt es como sigue:

    \( \mathbf{u}_1 = \mathbf{v}_1=( 1, 0, -1, 2, 1 ) \)

    \( \displaystyle\mathbf{u}_2 = \mathbf{v}_2-{\langle \mathbf{v}_2, \mathbf{u}_1\rangle\over\langle\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_1\rangle}\mathbf{u}_1 \)

          \( =(-1, 1, 0, 2, -1)-\dfrac{(-1, 1, 0, 2, -1)\cdot( 1, 0, -1, 2, 1 ) }{( 1, 0, -1, 2, 1 )\cdot ( 1, 0, -1, 2, 1 )}( 1, 0, -1, 2, 1 ) \)

          \( =(-1, 1, 0, 2, -1)-\dfrac{2}{7}( 1, 0, -1, 2, 1 ) \)

          \( \color{red}\xcancel{=\left(\dfrac{9}{7},\dfrac{-2}{7},-1,\dfrac{10}{7},\dfrac{9}{7}\right)} \)

          \( \color{red}=\left(\dfrac{-9}{7},1,\dfrac{2}{7},\dfrac{10}{7},\dfrac{-9}{7}\right) \)

    \( \displaystyle\mathbf{u}_3 = \mathbf{v}_3-{\langle \mathbf{v}_3, \mathbf{u}_1\rangle\over\langle\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_1\rangle}\mathbf{u}_1-{\langle \mathbf{v}_3, \mathbf{u}_2\rangle\over\langle\mathbf{u}_2,\mathbf{u}_2\rangle}\mathbf{u}_2 \)

    \( \displaystyle\mathbf{u}_4 = \mathbf{v}_4-{\langle \mathbf{v}_4, \mathbf{u}_1\rangle\over\langle\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_1\rangle}\mathbf{u}_1-{\langle \mathbf{v}_4, \mathbf{u}_2\rangle\over\langle\mathbf{u}_2,\mathbf{u}_2\rangle}\mathbf{u}_2-{\langle \mathbf{v}_4, \mathbf{u}_3\rangle\over\langle\mathbf{u}_3,\mathbf{u}_3\rangle}\mathbf{u}_3 \)


Te dejo a ti calcular \( \mathbf{u}_3 \)  y \( \mathbf{u}_4 \).

Nota que el espacio generado por \( \{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3,\mathbf{v}_4\} \) es el mismo que el generado por \( \{\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\mathbf{u}_3,\mathbf{u}_4\} \). Entonces, ¿qué ganamos con este trabajo? Tener una base ortogonal del subespacio vectorial (una base de vectores ortogonales que genera el mismo espacio).


Puedes ver la fórmula general en wikipedia: https://es.wikipedia.org/wiki/Proceso_de_ortogonalizaci%C3%B3n_de_Gram-Schmidt

P.D. Lo que está en rojo es una modificación hecha luego de la primera intervención de el_manco
Título: Re: Halle una base ortogonal del espacio vectorial
Publicado por: zaibelzambrano en 14 Octubre, 2020, 10:04 pm
No logro hacer los cálculos, me confundí demasiado operando entre los vectores,  en la parte de \( u_2 \) debería quedar \( u_2 = ( \frac{-9}{7}, \frac{-2}{7}, -1, \frac{10}{7}, \frac{9}{7}) \) ? O soy yo la que está equivocada? Necesito la ayuda!!
Por otra parte, calculé primero \(  u_3 = (1, -1, 1, 0, 2) - \frac{(1, -1, 1, 0, 2) . (1, 0, -1, 2, 1)}{(1,0,-1,2,1) (1,0,-1,2,1} . (1,0,-1,2,1) \)
\(  u_3 = (1, -1, 1, 0, 2) - \frac{2}{7} . (1, 0, -1, 2, 1) \)
\(  = (\frac{5}{7}, -1, \frac{9}{7}, \frac{-4}{7}, \frac{12}{7}) \) esto corresponde a la primera parte de \(  u_3 = v_3 - \frac{(v_3, u_1}{u_1, u_1} . u_1  \) ayudenme por favor.
Título: Re: Halle una base ortogonal del espacio vectorial
Publicado por: Luis Fuentes en 15 Octubre, 2020, 10:59 am
Hola

 Te han dejado todo planteado. ¡Son sólo cuentas lo que te queda!.

No logro hacer los cálculos, me confundí demasiado operando entre los vectores,  en la parte de \( u_2 \) debería quedar \( u_2 = ( \frac{-9}{7}, \frac{-2}{7}, -1, \frac{10}{7}, \frac{9}{7}) \) ? O soy yo la que está equivocada? Necesito la ayuda!!

 Creo que debería de ser:

\( =(-1, 1, 0, 2, -1)-\dfrac{2}{7}( 1, 0, -1, 2, 1 )=\left(\dfrac{-9}{7},1,\dfrac{2}{7},\dfrac{10}{7},\dfrac{-9}{7}\right) \)

Citar
Por otra parte, calculé primero \(  u_3 = (1, -1, 1, 0, 2) - \frac{(1, -1, 1, 0, 2) . (1, 0, -1, 2, 1)}{(1,0,-1,2,1) (1,0,-1,2,1} . (1,0,-1,2,1) \)
\(  u_3 = (1, -1, 1, 0, 2) - \frac{2}{7} . (1, 0, -1, 2, 1) \)
\(  = (\frac{5}{7}, -1, \frac{9}{7}, \frac{-4}{7}, \frac{12}{7}) \) esto corresponde a la primera parte de \(  u_3 = v_3 - \frac{(v_3, u_1}{u_1, u_1} . u_1  \) ayudenme por favor.

Bien; aunque no se porqué lo calculas "por partes". Haz la cuenta completa...

Saludos.
Título: Re: Halle una base ortogonal del espacio vectorial
Publicado por: zaibelzambrano en 15 Octubre, 2020, 10:37 pm
No logro terminar los cálculos ayudenme, he intentado hacerlo por parte y el ejercicio no me sale, es mucho mas complicado hacerlo completo , por favor como debo proceder?
Título: Re: Halle una base ortogonal del espacio vectorial
Publicado por: zaibelzambrano en 15 Octubre, 2020, 11:06 pm
Se que me han ayudado demasiado, entiendo perfectamente como operar U1 u2, pero para calcular los demás se me ha complicado!! Hay que hacer mas cálculos pero se me complica mas al momento de relacionar las operaciones :'(
Título: Re: Halle una base ortogonal del espacio vectorial
Publicado por: mathtruco en 15 Octubre, 2020, 11:12 pm
Hola zaibelzambrano.

Son cálculos largos, lo que no significa que sea más difícil, sólo que hay más cálculos involucrados. Pero es sólo aplicar la fórmula que escribí (la misma del link a wikipedia).

Considero que lo que más te puede ayudar es que no te escribamos el ejercicio resuelto. Te sugiero que escribas cómo calcularías los dos vectores faltantes y acá lo miramos y lo corregimos. Pero escribe todos los detalles necesarios para poder revisar. Más que seguir el orden de alguien más, es importante que encuentres tu propio orden para hacer las cuentas.

Por otra parte, recuerda que estás buscando una base ortogonal, así que todos los vectores que encuentres deben ortogonales entre sí. Esto te sirve para verificar que vas bien en las cuentas.

Espero atento tus cálculos para revisarlos.

Un saludo.
Título: Re: Halle una base ortogonal del espacio vectorial
Publicado por: zaibelzambrano en 15 Octubre, 2020, 11:37 pm
Por eso mismo se que no voy bien, por que los vectores que encuentro, no son ortogonales a los otros, vez ? A eso me refiero amigo. Voy a intentarlo nuevamente y ya lo publico, !
Título: Re: Halle una base ortogonal del espacio vectorial
Publicado por: zaibelzambrano en 16 Octubre, 2020, 12:52 am
Esto es lo que hago y siempre me da igual, de allí no logro avanzar, no sé que estoy haciendo mal, en verdad lo he intentado! Pero veo que ya no puedo!!
Lo adjunto. Espero puedas ayudarme, te lo agradezco
Título: Re: Halle una base ortogonal del espacio vectorial
Publicado por: Abdulai en 16 Octubre, 2020, 04:23 am
Esto es lo que hago y siempre me da igual, de allí no logro avanzar, no sé que estoy haciendo mal, en verdad lo he intentado! Pero veo que ya no puedo!!
Lo adjunto. Espero puedas ayudarme, te lo agradezco

Son cálculos simples pero muchos, hacerlos a mano sin ser tu padre es altruismo extremo.

Si te ayuda, te adjunto los resultados del proceso de Gram Schmidt (hechos por software obviamente)

 [attachment id=0 msg=454366]