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Matemática => Matemática Aplicada => Probabilidad => Mensaje iniciado por: YeffGC en 04 Agosto, 2020, 07:34 pm

Título: Inclusión de las sigma álgebras en las álgebras
Publicado por: YeffGC en 04 Agosto, 2020, 07:34 pm
Hola he finalizado un curso de teoria de probabilidad y me quedo una duda inmensa sobre si la \(   \sigma - \)algebra esta incluida en la algebra  ya que un libro encontre el siguiente diagrama que adjunto podria explicarme bien esa relación.

(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=113935.0;attach=22102)
Título: Re: inclucion de la sigma algebra a las algebra
Publicado por: Luis Fuentes en 04 Agosto, 2020, 08:20 pm
Hola

Hola he finalizado un curso de teoria de probabilidad y me quedo una duda inmensa sobre si las \(   \sigma - \)algebra esta incluida en la algebra  ya que un libro encontre el siguiente diagrama que adjunto podria explicarme bien esa relación.

(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=113935.0;attach=22102)

Pues cuanto más grande es el conjunto, menos condiciones se exige para que una familia pertenezca a ese tipo. Dada una familia de conjuntos:

- Es semiálgebra si contiene al total, es cerrada para intersecciones finitas de conjuntos de la familia y el complementario de un conjunto puede escribirse como unión finita y disjunta de conjuntos de la familia.
- Es álgebra si contiene al total, y es cerrada para uniones y intersecciones finitas y complementario.
- Es \( \sigma \)-álgebra si contiene al total, y es cerrada para uniones e intersecciones numerables y complementario.

Es fácil ver que:

- Toda \( \sigma \)-álgebra es álgebra; pero no al revés. Hay álgebras que no son \( \sigma \)-álgebras.
- Toda álgebra es una semiálgebra; pero no al revés. Hay semiálgebras que no son álgebras.

Como conclusión el conjunto de \( \sigma \)-álgebra está contenido en el de álgebras y este a su vez en del de semiálgebras y las inclusiones son estrictas.

Como ejemplo de esto, en los naturales:

- La familia formada por \( \{\emptyset,\{1\},\{2\},\{n\in \Bbb N|n>2\},\Bbb N\} \) es una semiálgebra que no es un álgebra.
- La familia de conjuntos finitos o con complementario finito es un álgebra que no es un \( \sigma \)-álgebra.
- La familia de todos los subonjuntos es una \( \sigma \)-álgebra.

Saludos.
Título: Re: inclucion de la sigma algebra a las algebra
Publicado por: YeffGC en 04 Agosto, 2020, 08:30 pm




Es fácil ver que:

- Toda \( \sigma \)-álgebra es álgebra; pero no al revés. Hay álgebras que no son \( \sigma \)-álgebras.
- Toda álgebra es una semiálgebra; pero no al revés. Hay semiálgebras que no son álgebras.

Como conclusión el conjunto de \( \sigma \)-álgebra está contenido en el de álgebras y este a su vez en del de semiálgebras y las inclusiones son estrictas.
Saludos.

existe demostracion formal o por contraejemplo
Título: Re: inclucion de la sigma algebra a las algebra
Publicado por: Luis Fuentes en 04 Agosto, 2020, 08:35 pm
Hola

existe demostracion formal o por contraejemplo

En realidad lo ideal sería que tu mismo te respondieses a esa pregunta. En caso contrario es que no estás entendiendo bien el asunto. Fíjate que eso no tiene nada que ver con saber o no hacer las demostraciones.

Spoiler
Las inclusiones hay que demostrarlas formalmente:

A- Que toda álgebra es una semiálgebra.
B- Que toda \( \sigma \)-álgebra es una álgebra.

¡Pero es bastante sencillo e inmediato!. ¡Inténtalo!.

Que las inclusiones son estrictas (no son igualdades) se muestra mediante contraejemplos. Ya te he puesto algunos.
[cerrar]

Saludos.