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Matemática => Análisis Matemático => Análisis Real - Integral de Lebesgue => Mensaje iniciado por: ASamuel en 01 Julio, 2020, 06:37 am

Título: Una sucesión y su límite forman un conjunto compacto
Publicado por: ASamuel en 01 Julio, 2020, 06:37 am
Hola, podrían ayudarme con lo siguiente por favor:

Probar que si \( (x_n ) \) es una sucesión en \( (X, d) \) que converge a un punto \( x \), entonces {\( x_n \)}\( _{n∈\mathbb{N}}\cup \) {\( x \)} es un espacio compacto.
Título: Re: Una sucesión y su límite forman un conjunto compacto
Publicado por: Luis Fuentes en 01 Julio, 2020, 08:10 am
Hola

Probar que si \( (x_n ) \) es una sucesión en \( (X, d) \) que converge a un punto \( x \), entonces \( \{x_n\}_{n∈\mathbb{N}}\cup \{x\} \) es un espacio compacto.

Dado que estás en un espacio métrico no se que definición de compacidad te han dado. Hay varias equivalentes.

Usaré la más general, la topológica: un conjunto es compacto si de todo recubrimiento del mismo por abiertos puede extraerse un recubrimiento finito.

Entonces la idea es la siguiente. Dado un recubrimiento por abiertos  \( \{U_\alpha\} \) de  \( \{x_n\}_{n∈\mathbb{N}}\cup \{x\} \), uno de ellos \( U_{\alpha_0} \) contiene al punto límite \( x \).

Por definición de límite ese abierto \( U_{\alpha_0} \) contiene todos los puntos de la sucesión menos un número finito; ese número finito de puntos que queda fuera estará contenido cada uno de ellos en un abierto del recubrimiento y así todos estos abiertos junto con \( U_{\alpha_0} \) forman el subrecubrimiento finito.

Completa los detalles.

Saludos.



P.D. No pongas las fórmulas de LaTeX "a trocitos". Tu has puesto:

{[tex]x_n[/tex]}[tex]_{n∈\mathbb{N}}\cup[/tex] {[tex]x[/tex]}  para obtener {\( x_n \)}\( _{n∈\mathbb{N}}\cup \) {\( x \)}

Mejor:

 [tex]\{x_n\}_{n∈\mathbb{N}}\cup \{x\}[/tex] para obtener  \( \{x_n\}_{n∈\mathbb{N}}\cup \{x\} \)