Rincón Matemático

Matemática => Matemáticas Generales => Mensaje iniciado por: cristianoceli en 08 Abril, 2020, 05:39 pm

Título: Fórmula perímetro fractal
Publicado por: cristianoceli en 08 Abril, 2020, 05:39 pm
Hola tengo dificultades para encontrar la fórmula del perímetro de este fractal

Estas son las iteraciones

(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=112868.0;attach=21809)


- Iteración 3
(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=112868.0;attach=21810)

- Iteración 4
(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=112868.0;attach=21811)

Después de mucho intentar he llegado a \( P = \displaystyle\frac{10}{3^n}((12 \cdot{5^{n-1}}) -8\displaystyle\sum_{i=0}^{n-2}{5^i})  \) pero esta fórmula funciona para \( n=1 \) y lo ideal es NO usar sumatoria.


De antemano gracias

Saludos

Título: Re: Fórmula perímetro fractal
Publicado por: Abdulai en 08 Abril, 2020, 07:03 pm
...
Después de mucho intentar he llegado a \( P = \displaystyle\frac{10}{3^n}((12 \cdot{5^{n-1}}) -8\displaystyle\sum_{i=0}^{n-2}{5^i})  \) pero esta órmula funciona para \( n=1 \) y lo ideal es usar sumatoria.

Esa expresión se simplifica a:  \( P = \displaystyle\frac{20}{3^n}(1+5^n) \)
Título: Re: Fórmula perímetro fractal
Publicado por: cristianoceli en 08 Abril, 2020, 08:20 pm
...
Después de mucho intentar he llegado a \( P = \displaystyle\frac{10}{3^n}((12 \cdot{5^{n-1}}) -8\displaystyle\sum_{i=0}^{n-2}{5^i})  \) pero esta órmula funciona para \( n=1 \) y lo ideal es usar sumatoria.

Esa expresión se simplifica a:  \( P = \displaystyle\frac{20}{3^n}(1+5^n) \)

Gracias la desarrollaré para obtener la expresión.


Saludos
Título: Re: Fórmula perímetro fractal
Publicado por: cristianoceli en 08 Abril, 2020, 08:39 pm
Hola efectivamente esa es la fórmula que buscaba pero tengo problemas en desarrollar la expresión. No logró llegar a \( \displaystyle\frac{20}{3^n}(1+5^n) \)


Saludos
Título: Re: Fórmula perímetro fractal
Publicado por: Abdulai en 08 Abril, 2020, 10:42 pm

Partís de la suma de una serie geométrica  \( \displaystyle\sum_{k=0}^{N}x^k = \dfrac{x^{N+1}-1}{x-1}\;\;\longrightarrow\;\;\displaystyle\sum_{i=0}^{n-2}5^i= \dfrac{5^{n-1}-1}{5-1} \)

\( 12\cdot 5^{n-1}-8\displaystyle\sum_{i=0}^{n-2}5^i = 12\cdot 5^{n-1}-8  \dfrac{5^{n-1}-1}{4} = \underbrace{10\cdot 5^{n-1}}_{2\cdot5^n}+2 = 2(5^n+1)  \)
Título: Re: Fórmula perímetro fractal
Publicado por: cristianoceli en 09 Abril, 2020, 12:58 am

Partís de la suma de una serie geométrica  \( \displaystyle\sum_{k=0}^{N}x^k = \dfrac{x^{N+1}-1}{x-1}\;\;\longrightarrow\;\;\displaystyle\sum_{i=0}^{n-2}5^i= \dfrac{5^{n-1}-1}{5-1} \)

\( 12\cdot 5^{n-1}-8\displaystyle\sum_{i=0}^{n-2}5^i = 12\cdot 5^{n-1}-8  \dfrac{5^{n-1}-1}{4} = \underbrace{10\cdot 5^{n-1}}_{2\cdot5^n}+2 = 2(5^n+1)  \)

Muy claro, gracias.


Saludos