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Matemática => Análisis Matemático => Análisis Real - Integral de Lebesgue => Mensaje iniciado por: Atilea en 11 Marzo, 2020, 04:45 pm

Título: Integral con valor absoluto
Publicado por: Atilea en 11 Marzo, 2020, 04:45 pm
Hola
Traigo este ejercicio
Mostrar que
[texx] \displaystyle\int_{0}^{2\pi}  \left | \left( \displaystyle\frac{sin(n+1/2)x}{sin1/2x} \right) \right |\, dx  \to \infty [/texx]  un [texx]n \to \infty [/texx]
Pista: [texx]  \left | sin1/2x \right | [/texx]  [texx]\le  \left | 1/2x \right |  [/texx]

Saludos
Título: Re: Integral con valor absoluto
Publicado por: Gustavo en 12 Marzo, 2020, 11:57 pm
Hola. Llama \( N:=n+\frac12 \). Usando la pista es suficiente demostrar que \( S_N := \displaystyle\int_0^{2\pi} \frac{|\sin(Nx)|}{x} dx \;\xrightarrow{N\to \infty}\; \infty. \)

Dentro del intervalo \( [0,2\pi] \), los ceros del integrando son de la forma \( a_k := k\pi/N \) para \( k=1,\ldots,2n+1 \).

Entonces \( S_N = \displaystyle\sum_{k=0}^{2n} \int_{a_k}^{a_{k+1}} \frac{|\sin(Nx)|}{x} dx \geqslant \sum_{k=1}^{2n} \int_{a_k}^{a_{k+1}} \frac{|\sin(Nx)|}{a_{k+1}} dx. \)

La idea ahora es calcular esas integrales y estimar las sumas para obtener que \( S_N \) es mayor que una suma parcial de una serie armónica (módulo constantes).