Rincón Matemático

Disciplinas relacionadas y temas generales => Temas de Física => Mensaje iniciado por: MasLibertad en 01 Marzo, 2020, 03:40 pm

Título: Elipse en Precesión
Publicado por: MasLibertad en 01 Marzo, 2020, 03:40 pm
Hola a todos.

... o una elipse con precesión ...

¡Osti, tú! ¡Qué idea más buena!
Ahora mismo me pongo a ello.

Un comentario que hizo Richard me ha dado la idea de dibujar una Elipse en Precesión.
Son dos problemas: Primero dibujar la elipse: aún me falta conocer la fórmula, pero esta tarde la buscaré. No creo que tenga problemas.
El segundo es hacer que preceda. Eso lo tengo solucionado, sé como hacerlo así que tampoco me costará mucho.

La duda que tengo es la siguiente:
Cuando una espiral precede, ¿lo hace alrededor del centro de la elipse o de uno de los focos?
Si alguien me responde a esto, mañana termino y publico el programa.

Gracias.
Título: Elipse en Precesión
Publicado por: MasLibertad en 01 Marzo, 2020, 09:57 pm
Aunque tengo previsto terminar y publicar el programa mañana, os doy un pequeño avance de lo que he hecho hoy.

Seguro que muchos de vosotros ya sabéis cómo resolver el problema, pero a mí me está pareciendo MUY interesante. Y divertido.

Elementos y Ecuaciones de la Elipse
Dada una elipse, en ella tenemos dos ejes.
a = Longitud del Semieje Mayor
b = Longitud del Semieje Menor
Ecuación de la Elipse : \( \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 \)
f = Distancia de los Focos de la Elipse al centro
Se cumple: \( a^2=b^2+f^2 \)
Excentricidad: \( \varepsilon = \frac{f}{a} \)
El Semieje Mayor, a, será igual al Radio del dibujo (\( Radio = \frac{Ancho}{2}-10 \))
A partir de la Excentricidad, \( \varepsilon  \), despejamos y calculamos
\( f=\varepsilon *a \)
Y teniendo f, a partir de \( a^2=b^2+f^2 \) , podemos calcular b
\( b=\sqrt{a^2-f^2} \)
Análisis del problema
En primer lugar debemos determinar si será mejor y más fácil usar coordenadas cartesianas o polares.
Elipse con Coordenadas Cartesianas
Tenemos que recorrer el círculo completo, pero no estamos trabajando con coordenadas polares, sino cartesianas, por lo que tenemos que recorrer una de las dos coordenadas, x ó y, y calcular la otra.
Vamos a suponer que conocemos x . El cálculo de y sería:
\( \\\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1
\\\\\frac{y^2}{b^2}=1-\frac{x^2}{a^2}
\\\\y^2=(1-\frac{x^2}{a^2})*b^2
\\\\y^2=b^2-\frac{x^2*b^2}{a^2}
\\\\ y=\sqrt{b^2-\frac{x^2*b^2}{a^2}} \)
Entonces, para x = -a hasta a, calculamos y y podemos dibujar la parte inferior de la elipse yendo punto a punto por x,y.
Y repitiendo el bucle, dibujamos la parte superior por los puntos x,-y.
Como posteriormente nos va a hacer falta añadir la precesión, el segundo bucle debe ser desde a hasta -a.
Pero antes de proceder a la programación vamos a ver si podemos hacer lo mismo con coordenadas polares.
Elipse con Coordenadas Polares
En Wikipedia, Elipse#En coordenadas polares (https://es.wikipedia.org/wiki/Elipse#En_coordenadas_polares), encontramos las siguientes fórmulas:
Radio centrado en el centro de la elipse
\( r=\frac{b}{\sqrt{1-\varepsilon ^2*\cos(\Phi)^2}} \)
siendo \( \varepsilon \) la excentricidad y \( \Phi \) la dirección
Radio centrado en un foco
\( r=\frac{a*(1-\varepsilon ^2)}{1-\varepsilon *\cos (\phi )} \)
El proceso de dibujo, en ambos casos sería muy simple
Para d = 0 hasta 360 cada Grado
    Calcular r (centrado en elipse o en foco)
    Convertir coordenadas polares dr en cartesianas, xy
    Dibujar línea hasta xy
Definitivamente, es más fácil, así que esta es la fórmula que usaré para el dibujo de la elipse.
Además, cuando tenga que añadir la precesión, será mucho más fácil hacerlo con coordenadas polares.

Y hasta aquí he llegado por hoy. Mañana procederé a programarlo y en cuanto lo termine y lo publique os lo diré.

PS. Seguro que habré cometido algún error, pero no os molestéis en corregirlo. En cuanto acabe y lo publique volveré a repasar todas las fórmulas.
Título: Elipse en Precesión
Publicado por: Richard R Richard en 01 Marzo, 2020, 10:39 pm

Lo dices como si fuera difícil, pero no me parece que lo sea tanto.


Quiza programar las funciones matematicas  te sea  facil, pero encontrar las correctas, entenderlas y deducir que la precesión angular de la órbita existe y porque sucede con valor

\( \boxed{\Delta \phi=\dfrac{6 \ \pi \ G \ M}{a \ (1-e^2) \ c^2}} \quad rad/rev \)

requiere de entender Relatividad general, Algebra tensorial, geometría diferencial, y no veo que esto último le sea fácil a nadie, incluso, no le fue fácil ni a Einstein, a eso me refería.



Mensaje movido de
http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=112421.msg444466#msg444466


Título: Elipse en Precesión
Publicado por: MasLibertad en 02 Marzo, 2020, 11:56 am
Y dicho y hecho, aquí lo tenéis:

Dibujar Elipses con Precesión (http://www.maslibertad.com/Fisica-Orbital-Dibujar-Elipse-con-Precesion_p1557.html)

En realidad aún no está terminado, tengo que añadir, ya que estamos, que se calcule la longitud y la superficie de la elipse, ajustar el dibujo para que se puedan visualizar varias vueltas (ahora el gráfico se sale del cuadro).
Y por supuesto, terminar de escribir el artículo que acompaña a la calculadora (más bien dibujadora), explicar la relación de la elipse con las órbitas planetarias, por qué se produce la precesión, y añadir las imágenes (> mil palabras) para aclarar el texto.

Espero que os parezca tan interesante como a mí, y si tenéis alguna sugerencia de mejora os lo agradeceré.
Título: Elipse en Precesión
Publicado por: MasLibertad en 02 Marzo, 2020, 12:42 pm
Quiza programar las funciones matematicas  te sea  facil, pero encontrar las correctas, entenderlas y deducir que la precesión angular de la órbita existe y porque sucede con valor
\( \boxed{\Delta \phi=\dfrac{6 \ \pi \ G \ M}{a \ (1-e^2) \ c^2}} \quad rad/rev \)
requiere de entender Relatividad general, Algebra tensorial, geometría diferencial, y no veo que esto último le sea fácil a nadie, incluso, no le fue fácil ni a Einstein, a eso me refería.

En realidad no era mi intención ni calcular la precesión ni estudiar los factores que la producen, sólo dibujarlos.
Ya lo estudié en 2007, cuando escribí una serie de artículos sobre los Movimientos Orbitales, y en el capítulo Órbitas Excéntricas (http://www.maslibertad.com/Excentricidad-de-las-Orbitas-de-La-Tierra-y-la-Luna_p148.html) expliqué cómo afecta la fuerza de las mareas a la órbita de los planetas. Es una explicación incompleta y resumida, pero como sabes, prefiero ser más divulgativo que estricto, con el fin de atraer el interés de los posibles lectores a estos temas tan fascinantes. Si luego alguno de ellos se siente interesado y quiere ampliar conocimientos, hay páginas mucho mejores y más precisas que la mía donde puede hacerlo. Aquí, por ejemplo.
Como digo, lo estudié, pero sólo a nivel de razonamientos, no de cálculos. Nada sé de Álgebra Tensorial o Geometría Diferencial, y la Relatividad General la entiendo conceptualmente, pero sólo conozco un par de fórmulas, las de Einstein y Lorentz, para calcular algunos detalles que he necesitado para mis páginas. Pero es que para lo que a mí me interesa, entender y explicar por qué pasan las cosas en el universo, no lo necesito.
Además, hay muchos temas que me interesan. Si quisiera profundizar en alguno de ellos no tendría tiempo para dedicarle a los demás.

Gracias.
Título: Elipse en Precesión (Terminado)
Publicado por: MasLibertad en 06 Marzo, 2020, 08:04 am
Hola a todos.

Ya he terminado y publicado el artículo
Elipses con Precesión (http://www.maslibertad.com/Fisica-Orbital-Dibujar-Elipse-con-Precesion_p1557.html)

Y lo que no esperaba pero que me ha sorprendido gratamente:
(http://www.maslibertad.com/Ciencia/Matematicas/Elipse/ElipsePrec5-15.gif)(http://www.maslibertad.com/Ciencia/Matematicas/Elipse/ElipsePrec98-40.gif)(http://www.maslibertad.com/Ciencia/Matematicas/Elipse/ElipsePrec4-90.gif)

El programa de dibujo está corregido y con un par más de opciones.
Aún tiene un fallo que he empezado a corregir, pero cuando me he dado cuenta de que iba a tardar bastante he preferido aplazarlo. Al fin y al cabo no creo que casi nadie se llegue a dar cuenta.

Por mi parte, doy por finalizado el tema.

Saludos.
Título: Re: Elipse en Precesión
Publicado por: Richard R Richard en 07 Marzo, 2020, 10:08 pm
Sorprendido, con lo veloz y preciso del programa, te felicito!!!

Usaste la tasa de incremento angular constante en el tiempo supongo.
Si te animas a fututo puedes hacer que  esta tasa dependa de la proximidad entre el punto y un centro de gravedad,  cuya integral de la desviación en cada periodo sea el valor que resulta de la fórmula que expuse?, La diferencia es mínima, pero resultaría lo más parecido, a una geodesia real de la relatividad general... nada de simetrías bonitas, física experimental en estado puro.

Título: Elipse en Precesión: Fallos del Programa
Publicado por: MasLibertad en 10 Marzo, 2020, 01:37 pm
Usaste la tasa de incremento angular constante en el tiempo supongo.
Si te animas a futuro puedes hacer que  esta tasa dependa de la proximidad entre el punto y un centro de gravedad,  cuya integral de la desviación en cada periodo sea el valor que resulta de la fórmula que expuse?, La diferencia es mínima, pero resultaría lo más parecido, a una geodesia real de la relatividad general... nada de simetrías bonitas, física experimental en estado puro.

Pues creía que el programa tenía un fallo y según lo que dices parece que tiene dos.
El fallo que yo había visto es que si la precesión es muy alta (prueba en el programa con 180 grados) la elipse se convierte en una doble elipse.
(http://www.maslibertad.com/Ciencia/Matematicas/Elipse/ElipsePrec180.gif)
He intentado comprender por qué ocurre, pero hasta ahora no lo he conseguido. Y como resulta que tampoco es muy importante, como en todo lo demás funciona, prefiero dejarlo así. Si algún día llego a entender por qué ocurre y cómo puedo corregirlo, si veo que no me llevará mucho tiempo, lo arreglaré.

Y el otro fallo, que esto es un programa de dibujo, no de física. Para calcular el Radio a partir del ángulo lo hago centrándome en el primer foco de la elipse, recorro los 360 grados y para cada uno de ellos, a partir de la fórmula (http://www.maslibertad.com/Ciencia/Matematicas/Elipse/ElipseEqRadioFoco.gif) calculo el Radio.
Teniendo ya el Ángulo y el Radio, al ángulo le añado el Giro de precesión: \( Giro = \frac{Precesion}{360}+Vuelta*Precesion \)
Al Ángulo de cada punto le sumo el giro, lo convierto en Coordenadas Cartesianas y lo dibujo.
No hay nada más.
Como verás, la precesión no es proporcional al tiempo orbital, sino al ángulo desde el foco, y no tiene en cuenta variaciones que se darán en la órbita real de los planetas.

Si no fuera un programa de dibujo, sino de física, tendría que saber si el Giro aumenta de forma constante en el tiempo (que no lo creo) o de forma inversamente proporcional al Radio (lo que me parece más probable). Y tal como dices, tendría que aplicar las ecuaciones de Kepler y estudiar los efectos relativistas para calcular cómo afecta la masa del Sol a la longitud real de la órbita, longitud que será menor mientras más masiva sea la estrella y más cerca de ella pase el planeta.

En fin, que seguramente tardaría meses, o años, en conocer y cuantificar todos los factores que intervendrían en la órbita real de un planeta alrededor de una Estrella.
Pero en cualquier caso las diferencias serían lo bastante pequeñas para que el gráfico resultante sea indistinguible a simple vista del dibujo que yo he hecho en el programa.

Saludos.