Rincón Matemático

Matemática => Teoría de números => Mensaje iniciado por: Joseferm en 12 Febrero, 2020, 01:57 pm

Título: Solicitud de ayuda con [texx] x^2 - xy + y^2 = w^3[/texx]
Publicado por: Joseferm en 12 Febrero, 2020, 01:57 pm
Buenos día a todos.

Me encuentro con un problema que seguramente es sencillo de resolver, pero no lo consigo.

Pretendo analizar la ecuación  \( x^2 - xy + y^2 = w^3 \)  para x,y,w naturales >0 , con  (x,y)=1 , uno par y el otro impar.

Es decir, qué condiciones deben reunir x,y naturales coprimos para que la ecuación dé como resultado un cubo.

Mediante excel, llego a determinar que para que pueda cumplirse , necesariamente x e y han de cumplir que

\( x\equiv 0 \pmod{18} \)
\( y\equiv \pm 1 \pmod{18} \)

Sin embargo no consigo demostrarlo.

Alguien puede echar una mano ?

Gracias por anticipado.
Título: Re: Solicitud de ayuda con [texx] x^2 - xy + y^2 = w^3[/texx]
Publicado por: martiniano en 15 Febrero, 2020, 09:37 am
Hola.

No lo he resuelto pero creo que los tiros van por algo de enteros ciclotómicos de orden 3. Se habla algo de ellos en el hilo de comentarios (http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=81450.20) a la demostración del teorema de Fermat (http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=82024.0) para \( n=3 \).

EDITADO
No entiendo mucho del tema, pero el miembro de la izquierda es la norma de un entero ciclotómico, y por tanto los primos que la dividan un número impar de veces sólo pueden ser el 3 o primos de la forma \( 6k+1 \). El recíproco también es cierto. Entonces con eso ya sabes para qué valores de \( w \) la ecuación tiene solución.

Espero que sirva. Un saludo.
Título: Re: Solicitud de ayuda con [texx] x^2 - xy + y^2 = w^3[/texx]
Publicado por: Joseferm en 17 Febrero, 2020, 10:38 pm
Muchas gracias Martiniano. A ver si con esto me arreglo.