Rincón Matemático

Matemática => Matemáticas Generales => Álgebra y Aritmética Básicas => Mensaje iniciado por: 0_kool en 22 Enero, 2020, 05:54 pm

Título: Ecuación especial
Publicado por: 0_kool en 22 Enero, 2020, 05:54 pm
Hola

¿Me pueden indicar cómo resolverla?

\( z^{\log_{3}2}-1=\sqrt{z} \)

Gracias.
Título: Re: Ecuacion especial
Publicado por: Bobby Fischer en 22 Enero, 2020, 06:55 pm
Hola,

La solución es 9 aproximadamente. La primera derivada tiene un único cero. La función \( f(z)=z^{ln(2)/ln(3)}-z^{1/2}-1 \) es monótona creciente a partir de un término. Eso asegura la unicidad del cero de \( f \). La existencia la da el teorema de Bolzano, y la solución aproximada, el método de la bisección, por ejemplo.

(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=112054.0;attach=21601)

Código: [Seleccionar]
function bobby_54()
clc, clear all, close all
a=0;
b=10;
a0=a;
b0=b
for n=1:50
    y_a=f(a);
    y_b=f(b);
    c=(a+b)/2;
    y_c=f(c);
    if y_a*y_c<0
        b=c;
    else
        a=c;
    end
    plot([c,c],[0,0],'ro')
    hold on
end
format long
sol=(a+b)/2
f(sol)

x=a0:0.001:b0;
y=f(x);
plot(x,y,'k')
plot(sol,f(sol),'bo')
grid on
%xlim([0,1.5])

    function[y]=f(z)
        y=z.^(log(2)/log(3))-z.^(1/2)-1;
    end
end

(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=112054.0;attach=21602)

Saludos.
Título: Re: Ecuacion especial
Publicado por: manooooh en 22 Enero, 2020, 07:01 pm
Hola Bobby

Muy completa respuesta :aplauso:.

¿Con qué lenguaje programaste esa función? Se ve bonito.

Saludos y gracias
Título: Re: Ecuacion especial
Publicado por: Bobby Fischer en 22 Enero, 2020, 07:08 pm
Hola manooooh,

Es MatLab. Aunque debería ver Octave, al igual que para Mathematica debería ver Maxima.

Gracias y saludos.

Título: Re: Ecuacion especial
Publicado por: 0_kool en 22 Enero, 2020, 07:12 pm
gracias  impecable resultado, pero me la pidieron sin derivar , seguro usando alguna variable auxiliar
pero no la veo
Título: Re: Ecuacion especial
Publicado por: Abdulai en 22 Enero, 2020, 07:19 pm
Me pueden indicar como resolver

\( z^{\log_{3}2}-1=\sqrt{z} \)

Esas ecuaciones en general no tienen solución explícita en términos de funciones elementales.  Suelen estar "fabricadas" partiendo de la solución deseada y realizando transformaciones.
No hay ningún procedimiento a seguir pues son mas bien problemas de ingenio donde hay que ir "adivinando" lo que hicieron.

Por ejemplo, sabemos por propiedes de los exponentes que:  \( z^{\log_{3}2} = 2^{\log_{3}z} \) 

Como por falta de imaginación es costumbre usar enteros como solución,  eso sugiere  que \( z \) es de la forma \( 3^x \).

Queda entonces  \( 2^x = 4^\frac{x}{2} = 1+3^\frac{x}{2} \)  donde vemos que la igualdad se cumple con \( \frac{x}{2}=1 \)
\( \therefore\quad z = 3^2 = 9 \)

Pero te repito, esta clase de ecuaciones , cuando derivan de un problema real, son para resolver con métodos numéricos. En este caso es una mezcla de ingenio y tanteo.
Título: Re: Ecuacion especial
Publicado por: 0_kool en 22 Enero, 2020, 07:24 pm
Muchas , gracias por tu explicacion