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Matemática => Álgebra => Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) => Mensaje iniciado por: rotse en 16 Enero, 2020, 03:52 pm

Título: vector propio
Publicado por: rotse en 16 Enero, 2020, 03:52 pm
Hola,  tengo una cuestión. Cuando tengo un endomorfismo T sobre un espacio vectorial finito dimensional, es posible asociarle una matriz A a dicha transformación, con lo que la ecuación característica \(  T(v) = \lambda v \) queda \(  Av= \lambda v \), con esto se consige el siguiente teorema:
\(  \lambda  \) es un vector propio de A si y sólo si \(  \det(A - \lambda I) = 0 \). las preguntas que tengo son:

1. ¿Este último teorema solo se pude trabajar en un espacio vectorial sobre \(  \mathbb{C} \) o en cualquier campo?
2. Si se pude trabajar en cualquier campo, ¿cómo entiendo ese polinomio?
Título: Re: vector propio
Publicado por: feriva en 16 Enero, 2020, 04:13 pm
Hola,  tengo una cuestión. Cuando tengo un endomorfismo T sobre un espacio vectorial finito dimensional, es posible asociarle una matriz A a dicha transformación, con lo que la ecuación característica \(  T(v) = \lambda v \) queda \(  Av= \lambda v \), con esto se consige el siguiente teorema:
\(  \lambda  \) es un vector propio de A si y sólo si \(  \det(A - \lambda I) = 0 \). las preguntas que tengo son:

1. ¿Este último teorema solo se pude trabajar en un espacio vectorial sobre \(  \mathbb{C} \) o en cualquier campo?
2. Si se pude trabajar en cualquier campo, ¿cómo entiendo ese polinomio?

Pues tiene que ser en cualquier cuerpo, supongo.

Si uno lo piensa así, en forma de sistema

\( ax_{1}+bx_{2}=\lambda x_{1}
  \)

\( cx_{1}+dx_{2}=\lambda x_{2}
  \)

todo lo que se aplica son propiedades que tiene cualquier cuerpo:

\( ax_{1}-\lambda x_{1}+bx_{2}=0
  \)

\( cx_{1}+dx_{2}-\lambda x_{2}==0
  \)

Ahora la distributiva nos permite sacar factor común a las \( x_{i}
  \)

\( x_{1}(a-\lambda)+bx_{2}=0
  \)

\( cx_{1}+x_{2}(d-\lambda)=0
  \)

y la matriz asociada a eso es

\( \left(\begin{array}{cc}
a-\lambda & b\\
c & d-\lambda
\end{array}\right)
  \)

y análogamente para la dimensión que sea.

Saludos.
Título: Re: vector propio
Publicado por: geómetracat en 16 Enero, 2020, 05:38 pm
Como dice feriva, es sobre cualquier cuerpo (campo).

No hay ninguna diferencia con el caso complejo o real, funciona todo exactamente igual. La matriz \( A \) es una matriz con coeficientes en el cuerpo \( k \) que consideres, y puedes calcular \( det(A - \lambda I) \) exactamente de la misma manera que lo harías en el caso complejo o real, las fórmulas y propiedades de los determinantea sirven igual. Al desarrollar ese determinante te quedará un polinomio en \( \lambda \) con coeficientes en \( k \). Ése es el polinomio característico de \( T \).
Título: Re: vector propio
Publicado por: rotse en 16 Enero, 2020, 08:01 pm
Gracias por las respuestas, aun me queda una cosa pendiente y es, este teorema sale de la ecuación: \(  (A - \lambda I)v = 0 \).ese vector v que aparece ¿es un vector de tamaño \(  n \times n \) con entradas en \(  \mathbb{K} \)? Si esto es así, ¿como  se entendería ese vector si se estuviera en el espacio vectorial de las matrices de tamaño \(  n \times n \) con entradas en \(  \mathbb{K} \)?
Título: Re: vector propio
Publicado por: Luis Fuentes en 17 Enero, 2020, 10:26 am
Hola

Gracias por las respuestas, aun me queda una cosa pendiente y es, este teorema sale de la ecuación: \(  (A - \lambda I)v = 0 \).ese vector v que aparece ¿es un vector de tamaño \(  n \times n \) con entradas en \(  \mathbb{K} \)? Si esto es así, ¿como  se entendería ese vector si se estuviera en el espacio vectorial de las matrices de tamaño \(  n \times n \) con entradas en \(  \mathbb{K} \)?

No, \( v \) es un vector columna (una matriz \( n\times 1 \)).

Saludos.