Rincón Matemático

Matemática => Análisis Matemático => Análisis Funcional - Operadores => Mensaje iniciado por: micabua en 14 Enero, 2020, 01:37 pm

Título: Maximizar un funcional
Publicado por: micabua en 14 Enero, 2020, 01:37 pm
Hola,

Estoy teniendo dificultades para abordar el siguiente problema. Sea \( \mathcal{M}=\{y\in C^{1}([-1,1]), \ y(1)=y(-1)=0\} \). Maximizar el funcional

\( J(y)=\displaystyle\int_{-1}^1y(t)dt \)

sujeto a \( \displaystyle\int_{-1}^{1}\sqrt{1+(y'(t))^2}dt=l>2 \) en  \( \mathcal{M} \).

Es decir, maximizar el área de las funciones que tienen longitud \( l \) i son nulas en los puntos \( -1 \) y \( 1 \).

Tras aplicar el Teorema de Euler-Lagrange, los posibles extremos son circunferencias, pero esto solo pasa si \( l\leq  \pi \). Es decir, el Teorema no da solución cuando \( l>\pi \).

¿Cómo es esto? ¿Acaso no hay una función que maximice el funcional \( J \) cuando \( l=4 \), por ejemplo?

Un saludo y gracias
Título: Re: Maximizar un funcional
Publicado por: Masacroso en 14 Enero, 2020, 04:03 pm
Hola,

Estoy teniendo dificultades para abordar el siguiente problema. Sea \( \mathcal{M}=\{y\in C^{1}([-1,1]), \ y(1)=y(-1)=0\} \). Maximizar el funcional

\( J(y)=\displaystyle\int_{-1}^1y(t)dt \)

sujeto a \( \displaystyle\int_{-1}^{1}\sqrt{1+(y'(t))^2}dt=l>2 \) en  \( \mathcal{M} \).

Es decir, maximizar el área de las funciones que tienen longitud \( l \) i son nulas en los puntos \( -1 \) y \( 1 \).

Tras aplicar el Teorema de Euler-Lagrange, los posibles extremos son circunferencias, pero esto solo pasa si \( l\leq  \pi \). Es decir, el Teorema no da solución cuando \( l>\pi \).

¿Cómo es esto? ¿Acaso no hay una función que maximice el funcional \( J \) cuando \( l=4 \), por ejemplo?

Un saludo y gracias

¿El área no tiende a infinito para una curva suficientemente larga? Por otra parte la condición \( l>2 \) lo único que nos dice es que \( y \) no puede ser una recta.

EDICIÓN: ok, ya entiendo, se supone que la condición es un \( l>2 \) dado fijo, entonces el ejercicio tiene sentido. Luego edito si encuentro la manera de resolverlo.

ACTUALIZACIÓN: en el siguiente enlace hay una forma general para resolver este tipo de problemas

https://www.ucl.ac.uk/~ucahmto/latex_html/chapter2_latex2html/node9.html
Título: Re: Maximizar un funcional
Publicado por: micabua en 14 Enero, 2020, 09:11 pm


ACTUALIZACIÓN: en el siguiente enlace hay una forma general para resolver este tipo de problemas

https://www.ucl.ac.uk/~ucahmto/latex_html/chapter2_latex2html/node9.html

Efectivamente, es lo que uso yo para obtener esas circunferencias que te digo, pero solo me sirven si la longitud es menor que \( \pi \).
Título: Re: Maximizar un funcional
Publicado por: micabua en 16 Enero, 2020, 05:06 pm
He encontrado una solución. Parece ser que no hay máximos para  \( l>\pi \).

Dejo el link: https://math.stackexchange.com/questions/2229845/what-is-the-solution-to-the-dido-isoperimetric-problem-when-the-length-is-longer