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Matemática => Geometría y Topología => Topología (general) => Mensaje iniciado por: Bobby Fischer en 05 Enero, 2020, 08:58 pm

Título: Propiedades topológicas que se mantienen por aplicaciones (i)
Publicado por: Bobby Fischer en 05 Enero, 2020, 08:58 pm
Hola,

6) a) Probar que si \( (X,\mathcal{T}) \) es separable y \( f:(X,\mathcal{T})\to (Y,\mathcal{T}') \) es continua y sobreyectiva, entonces \( (Y,\mathcal{T}') \) es separable.

Si X es separable, admite un subconjunto D denso y numerable. Entonces \( (\forall G \in \mathcal{T})\, G\cap D\neq \emptyset \).
Creo que la cosa está en probar que \( f(D) \) es denso y numerable en Y.
Denso: \( f(D)\cap f(G)=f(D\cap G)\neq \emptyset \)
Numerable: \( card(f(D))\leq card(D) \)
Pero no veo cómo introducir las hipótesis del enunciado en la demostración.

Saludos.
Título: Re: Propiedades topológicas que se mantienen por aplicaciones (i)
Publicado por: geómetracat en 05 Enero, 2020, 09:19 pm
La idea es buena, pero tu demostración de que \( f(D) \) es denso en \( Y \) no es correcta. Lo que debes hacer es ver que para todo \( U \) abierto no vacío en \( Y \), \( f(D) \cap U \neq \emptyset \). Para ver esto, prueba que \( f^{-1}(U) \) es un abierto no vacío de \( X \) (aquí es donde debes usar las hipótesis), luego \( D \cap f^{-1}(U) \neq \emptyset \) luego \( f(D) \cap U \neq \emptyset \).
Título: Re: Propiedades topológicas que se mantienen por aplicaciones (i)
Publicado por: Bobby Fischer en 05 Enero, 2020, 10:05 pm
Gracias,

Saludos.