Rincón Matemático

Matemática => Teoría de números => Mensaje iniciado por: Richard R Richard en 24 Diciembre, 2019, 03:23 am

Título: Conjetura Goldbach por el absurdo
Publicado por: Richard R Richard en 24 Diciembre, 2019, 03:23 am
Hola les comparto una idea que tengo sobre como atacar la conjetura Goldbach, solo para que me indiquen como siempre, en donde he metido la pata…

Un número que no cumpla la conjetura de Goldbach  es un número par,  al cual si le restamos un número impar (primo o compuesto) menor que él, se obtiene como resultado un número impar compuesto.

\( N=2q\quad \forall q \in \mathbb N \)

\( N=a+b  \)

\( a=\left\{\begin{aligned} \pi_{(i)} &<2N\\
2\alpha_i-1&<2N\quad/2\alpha_i-1\equiv 0\mod k\ \pi_{(j)}  \end {aligned}\right.\quad  \wedge\quad \alpha_i \in \mathbb N \)

\( b=2\beta_i-1\quad/\quad 2\beta_i-1\equiv 0\mod l\ \pi_{(m)} \quad \wedge \quad\beta_i \in \mathbb N \)

si \( a=\pi_{(i)} \Longrightarrow{}  2q-\pi_{(i)} =b \Longrightarrow{}  2q-\pi_{(i)}\quad\text{es compuesto} \quad\in Gap [max\{\pi_{(i)}\}, N] \)

De ese modo el Gap tiene longitud mínima de \( max\{\pi_{(i)}\} \)  lo que implica que no existiría un primo en \( [\pi_{(i)} ,2 \pi_{(i)}  ]  \) que contradice el postulado de Bertrand (que esta demostrado) luego, no existe un número que no cumpla la conjetura Goldbach  , luego la conjetura queda demostrada….

Esto es muy fácil, así que omití o erré en algo  obvio, pero dónde?
Título: Re: Conjetura Goldbach por el absurdo
Publicado por: Luis Fuentes en 24 Diciembre, 2019, 09:52 am
Hola

Un número que no cumpla la conjetura de Goldbach  es un número par,  al cual si le restamos un número impar (primo o compuesto) menor que él, se obtiene como resultado un número impar compuesto.

\( N=2q\quad \forall q \in \mathbb N \)

\( N=a+b  \)

\( a=\left\{\begin{aligned} \pi_{(i)} &<2N\\
2\alpha_i-1&<2N\quad/2\alpha_i-1\equiv 0\mod k\ \pi_{(j)}  \end {aligned}\right.\quad  \wedge\quad \alpha_i \in \mathbb N \)

\( b=2\beta_i-1\quad/\quad 2\beta_i-1\equiv 0\mod l\ \pi_{(m)} \quad \wedge \quad\beta_i \in \mathbb N \)

si \( a=\pi_{(i)} \Longrightarrow{}  2q-\pi_{(i)} =b \Longrightarrow{}  2q-\pi_{(i)}\quad\text{es compuesto} \quad\in Gap [max\{\pi_{(i)}\}, N] \)

La notación que has usado ahí me resulta absolutamente críptica. No se que se supone que querías expresar, pero sospecho que está mal escrito.

¿Por qué no lo explicas de manera un poco más informal?. De forma concreta, pero sin necesidad de tantos simbolitos y variables distintas.

Citar
De ese modo el Gap tiene longitud mínima de \( max\{\pi_{(i)}\} \)  lo que implica que no existiría un primo en \( [\pi_{(i)} ,2 \pi_{(i)}  ]  \) que contradice el postulado de Bertrand (que esta demostrado) luego, no existe un número que no cumpla la conjetura Goldbach  , luego la conjetura queda demostrada….

Por otra parte una prueba basada en el postulado de Bertrand no tiene visos de estar bien. Y explico por que lo digo. Por ejemplo si retiramos del conjunto de primos el \( 23 \) y el \( 11 \), puedes comprobar que el postulado de Bertrand sigue siendo perfectamente cierto: entre cualquier número y su doble hay primos distintos de \( 11 \) y \( 23 \). Sin embargo no es posible expresar \( 28 \) como suma de dos primos sin usar el \( 11 \) y el \( 23 \).

Saludos.
Título: Re: Conjetura Goldbach por el absurdo
Publicado por: feriva en 24 Diciembre, 2019, 10:06 am
Hola les comparto una idea que tengo sobre como atacar la conjetura Goldbach, solo para que me indiquen como siempre, en donde he metido la pata…



Hola, Richard.

Aunque a estas cosas les he dado muchas vueltas, no sé decirte ahora mismo, ya pasará Luis o alguien a revisarlo.

La cantidad mínima de primos que garantiza Bertrand para considerar parejas de primos, que sumen (que podrían sumar) un par “2n”, es “m” tal que \( \dfrac{n}{2^{m}}\geq1
  \). Y, para números sólo un poquito grandes, está bastante por debajo de la cantidad mínima que garantiza la función “pi”. Por eso intuyo algo raro en lo que dices, aunque también es verdad que, para entender las cosas con formalismos, soy todavía peor que para otras cosas de matemáticas.

Feliz Nochebuena.

(*mientras estaba escribiendo ha pasado Luis, tal como vaticinaba).
Título: Re: Conjetura Goldbach por el absurdo
Publicado por: Richard R Richard en 24 Diciembre, 2019, 11:00 am
Gracias a ambos y a los que lleguen hasta aquí por el interés.

Sobre las fórmulas , es claro que me falta muuucho por aprender el formalismo, pero intentaba traducir la idea detrás de la conjetura.

De existir un numero par N que no satisfaga la conjetura de goldbach tiene que cumplir sí o sí lo siguiente

Para cada número impar \( a \) desde luego  menor a N, que puede ser primo o compuesto, tiene que existir un número impar \( b=N-a \) que solo puede ser compuesto.
Se entiende que desde N hacia abajo (los números menores que N) hasta mas allá de N/2 todo número impar necesariamente debe ser compuesto ya que son la resta de N con cada primo por la propia definición de N que no cumpla la conjetura de Goldbach.
Como todos los números en ese rango que resultan ser compuestos mido el largo del rango y es mayor a N/2.
Si llamo q a N/2 me fijo que sucede que es necesario que no haya primos entre q y 2q, lo que contradice al postulado de Bertrand, como éste está demostrado he llegado a un absurdo por eso la conjetura Goldbach queda demostrada.

Me dirán pero no todos los impares \( a \) son primos hay también compuestos, que si al restarlo de N podría tener un primo como resultado y eso cortaría el Gap pero como ese primo es menor a N esta en el conjunto de los \( a \) no puede formar parte de los \( bajo \) por la propia definición que he impuesto, luego tal presunción no es posible, y la demostración sigue en pie.

No entiendo la critica sobre el 28 ... Este es 23+5  u 11+17  cumple la conjetura  Goldbach.
Un número que no la cumpla, si le restas todos los primos menores a él, el resultado no puede ser un primo por definición.


Título: Re: Conjetura Goldbach por el absurdo
Publicado por: feriva en 24 Diciembre, 2019, 11:24 am
Gracias a ambos y a los que lleguen hasta aquí por el interés.

Sobre las fórmulas , es claro que me falta muuucho por aprender el formalismo, pero intentaba traducir la idea detrás de la conjetura.

De existir un numero par N que no satisfaga la conjetura de goldbach tiene que cumplir sí o sí lo siguiente

Para cada número impar \( a \) desde luego  menor a N, que puede ser primo o compuesto, tiene que existir un número impar \( b=N-a \) que solo puede ser compuesto.
Se entiende que desde N hacia abajo (los números menores que N) hasta mas allá de N/2 todo número impar necesariamente debe ser compuesto ya que son la resta de N con cada primo por la propia definición de N que no cumpla la conjetura de Goldbach.
Como todos los números en ese rango que resultan ser compuestos mido el largo del rango y es mayor a N/2.
Si llamo q a N/2 me fijo que sucede que es necesario que no haya primos entre q y 2q, lo que contradice al postulado de Bertrand,


Pero no sabes a priori cómo están distribuidos los primos en (q,2q], de hecho muchos primos de ese intervalo pueden sumar con compuestos de [0,q); puedes buscar ejemplos.

\( 0,1,2,3,4,5,6,7,8,{\color{magenta}9},10,11,12,(13),14,15,16,{\color{magenta}17},18,19,20,21,22,23,24,25,26
  \)

Saludos.
Título: Re: Conjetura Goldbach por el absurdo
Publicado por: Luis Fuentes en 24 Diciembre, 2019, 11:45 am
Hola

De existir un numero par N que no satisfaga la conjetura de goldbach tiene que cumplir sí o sí lo siguiente

Para cada número impar \( a \) desde luego  menor a N, que puede ser primo o compuesto, tiene que existir un número impar \( b=N-a \) que solo puede ser compuesto.

No, eso no es cierto. Si la conjetura falla para \( N \) lo que se cumple es que para cada \( a \) primo, entonces \( N-a \) es compuesto. Pero si simplemente tomas \( a \) impar pudiera ser que \( N-a \) fuese primo.

Citar
Se entiende que desde N hacia abajo (los números menores que N) hasta mas allá de N/2 todo número impar necesariamente debe ser compuesto ya que son la resta de N con cada primo por la propia definición de N que no cumpla la conjetura de Goldbach.

Esto es falso también no es cierto que por el hecho de que la conjetura falle todo número impar entre \( N \) y \( N/2 \) deba de ser compuesto; porque no es cierto que en ese rango todo número impar sea resta de \( N \) con un primo.

Citar
Como todos los números en ese rango que resultan ser compuestos mido el largo del rango y es mayor a N/2.
Si llamo q a N/2 me fijo que sucede que es necesario que no haya primos entre q y 2q, lo que contradice al postulado de Bertrand, como éste está demostrado he llegado a un absurdo por eso la conjetura Goldbach queda demostrada.

Me dirán pero no todos los impares \( a \) son primos hay también compuestos, que si al restarlo de N podría tener un primo como resultado y eso cortaría el Gap pero como ese primo es menor a N esta en el conjunto de los \( a \) no puede formar parte de los \( bajo \) por la propia definición que he impuesto, luego tal presunción no es posible, y la demostración sigue en pie.

No acabo de entenderte. También puede ocurrir simplemente que tanto \( a \) como \( N-a \) sean compuestos.

Citar
No entiendo la critica sobre el 28 ... Este es 23+5  u 11+17  cumple la conjetura  Goldbach.
Un número que no la cumpla, si le restas todos los primos menores a él, el resultado no puede ser un primo por definición.

Lo que hago es suponer que retiramos al 23 y al 11 del conjunto de primos. ¡Ya no son primos!. Entonces el Postulado de Bertrand seguiría siendo cierto pero la conjetura de Goldbach no. Por eso digo que no es de esperar que usando el primero se pruebe lo segundo.

Saludos.
Título: Re: Conjetura Goldbach por el absurdo
Publicado por: feriva en 24 Diciembre, 2019, 12:48 pm


Me dirán pero no todos los impares \( a \) son primos hay también compuestos, que si al restarlo de N podría tener un primo como resultado y eso cortaría el Gap pero como ese primo es menor a N esta en el conjunto de los \( a \) no puede formar parte de los \( bajo \) por la propia definición que he impuesto, luego tal presunción no es posible, y la demostración sigue en pie.


Entiendo que lo veas claro, pero esto engaña mucho.

Tienes que considerar el intervalo N partido en dos; dos números mayores que “q” darán una suma mayor que 2q, dos menores que “q” darán una suma inferior a 2q; esto facilita mucho la visión del problema: \( a\in[0,q)
  \) y \( 2q-a\in(q,2q]
  \)

En el caso de que “q” sea primo, la conjetura se cumple trivialmente; así que partimos de que “q” es compuesto y no consideramos la pareja q+q (suma de compuestos).

Tienes tres tipos de sumas que no cumplen: \( p+c;\, c+c;\, c+p
  \) (“c” de compuesto, “p” de primo) donde la primera posición (izquierda) en los sumandos indica que el “p” o el “c” pertenece a \( [0,q)
  \) y al revés con la segunda posición.

Se demuestra que la cantidad de primos en el intervalo \( (q,2q]
  \) es aproximadamente la tercera parte que en el otro intervalo (Luis lo demostró fácilmente por ahí en un post mío, usando la función “pi”).

Por otra lado, sólo hay que considerar como posibles parejas las de los primos coprimos con \( q \); es trivial. Y también se ver que para los primos coprimos (para pares muy grandes) la proporción es más o menos la misma (lo comprobé con Python).

Todos los primos de \( (q,2q]
  \) son coprimos con “q” (por razones obvias también) y en \( [0,q)
  \) los hay coprimos y no coprimos (donde descartamos los no coprimos). El que haya más o menos coprimos va a depender de la factorización de q (y cada número es un mundo).

Para que la conjetura se cumpliera con seguridad tendría que haber, por lo menos, tantos primos coprimos con q en ambos intervalos; y esto empieza siendo así para los primeros “q”, pero enseguida aparece uno en el que ya hay más primos coprimos en \( [0,q)
  \) que en \( [q,2q)
  \) (tambiénhice un programa y lo comprobé).

Las distancias entre primos son pares, pero no se sabe el “orden” en que se suceden, se estiran y se encogen, por lo que es difícil asegurar qué puede pasar.

Sí es cierto que algo se intuye, pues las parejas que no cumplen (que forman sumas “q” del tipo p+(p+4), p+(p+6)... donde los p son distintos) van “preparando” los siguientes pares a “2q” para que se cumpla la conjetura; yo estoy convencidísimo de que no falla, de que es imposible. Sin embargo, es extremadamente difícil sacar una conclusión que garantice que va a ser así (mira que lo he intentado durante años...)

Saludos.
Título: Re: Conjetura Goldbach por el absurdo
Publicado por: Richard R Richard en 24 Diciembre, 2019, 06:36 pm
Gracias por contestar!!!!!

Creo que voy a necesitar ser mas claro, porque creo que no se entiende como me explico, voy a tomarme mas tiempo en redactar, aunque ciertas cosas que me explican mas me  inspiran...

Por ahora entonces muchas gracias,  Feliz Navidad!!!!! para ustedes, y para todos los lectores del foro de www.rinconmatematico.com, nos leemos en unos días.

Título: Re: Conjetura Goldbach por el absurdo
Publicado por: feriva en 24 Diciembre, 2019, 06:58 pm
Gracias por contestar!!!!!

Creo que voy a necesitar ser mas claro, porque creo que no se entiende como me explico, voy a tomarme mas tiempo en redactar, aunque ciertas cosas que me explican mas me  inspiran...

Por ahora entonces muchas gracias,  Feliz Navidad!!!!! para ustedes, y para todos los lectores del foro de www.rinconmatematico.com, nos leemos en unos días.



Espero que encuentres algo interesante.

Feliz Navidad, Richard.
Título: Re: Conjetura Goldbach por el absurdo
Publicado por: Richard R Richard en 04 Enero, 2020, 03:37 am
Después de la dura derrota  ::) con la fuerza bruta sobre el UTF, donde se me cayo la cara de vergüenza por ignorante ???, intento dar pelea con este tema :banghead: ...

encontrar un número par que cumpla la conjetura no es imposible, pero si improbable....

para cada  N hay que probar N/2 sumas de numero impares las cuales, en las cuales ninguna puede tener los dos sumandos primos.

si la probabilidad de que un numero sea primo  entre 1 y N es de \( p=\dfrac{cant\,primos\, hasta \, N}{N}=\dfrac{\pi(N)}{N}=\dfrac{\dfrac{N}{\ln N}}{N}=\dfrac{1}{\ln N} \)

la probabilidad de que los dos sumados los sean sera \( \dfrac{1}{\ln^2 N} \)  entonces que un determinado par de números no sea un par de primos tiene una probabilidad de \( 1-\dfrac{1}{\ln^2 N} \)

si la composición de cada par de números es "independiente"  respecto de los demás la probabilidad de que un numero cumpla con la conjetura de Goldbach  debería ser


\( P(N)=\left(1-\dfrac{1}{\ln^2 N}\right)^{\frac N4} \)

esto tiende a cero rápidamente, pero a los matemáticos les gusta ganar la lotería, encontrando esa curioso caso que haga que la probabilidad no sea nula.

Como no soy matemático, pero si bruto,  voy a hacer lo siguiente




Ahora viene lo que demuestra lo ingenuo ,seguro esto ya se ha hecho, probar todas las sumas entre números impares .... hasta que número se ha podido realizar? o cuantos primos mas tengo que crear para hacer algo interesante desde el punto de vista practico.

pensé que invertir el orden de los 0 y 1 iba a ser fácil pero veo que no llevo hora y pico y recién invirtió el primer millón de primos... espero no se corte la luz!!!!

Título: Re: Conjetura Goldbach por el absurdo
Publicado por: geómetracat en 04 Enero, 2020, 10:45 am
Según veo por ahí, parece que ha sido comprobada numéricamente para todos los pares hasta \( 4 \cdot 10^{18} \).
Título: Re: Conjetura Goldbach por el absurdo
Publicado por: feriva en 04 Enero, 2020, 12:33 pm

Hola, Richard. Qué bien que te interese Goldbach; porque se cansa uno un poco ya de ver tanto UT de Fermat por aquí :)

Te doy algunas ideas más por si las puedes aprovechar para algo; yo no saco más en limpio quizá porque no manejo la artillería pesada demasiado bien (límites, cálculo diferencial...) pero tú sí; que te he visto por ahí en el foro de física...

...

Es bastante claro que la conjetura no se cumple por cuestión de probabilidad, como bien dices. Es más, se cumple a contracorriente, como la trucha que sube río arriba: cuanto más baja la densidad de primos, más parejas va habiendo a la larga. Me conformaría con saber por qué razón pasa esto (digo saberlo con cierta concreción, aunque no llegue a demostrarse nada seguro) pero todavía no tengo una idea los suficientemente clara.

Por lo que cuentas de la probabilidad (no nos dice nada) hay que utilizar más cosas además de la función “pi”. Una de ellas es la función phi, la cantidad de números coprimos con el par N. La fórmula para hallar esa cantidad, si no la conocieras (que supongo que sí) la tienes aquí

https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_%CF%86_de_Euler

La conjetura es tan esquiva que ni siquiera está demostrada para casos particulares: N múltiplo de 3, ¿la cumple? No se sabe; N compuesto por \( 2^{k}
  \) y sólo dos primos distintos más (un semiprimo por una potencia de 2, vamos) ¿Se sabe si se cumple en particular?; tampoco. Y así con muchas particularidades en las que uno puede pensar; no ocurre como ocurrió con el Teorema de Fermat, donde sí se demostraron, desde hace siglos, algunos casos.

Esto quiere decir que puedes (que podemos, los que queramos intentarlo) suponer que se cumple para un par \( 2^{k}
  \) ó \( 2^{k}p_{1}p_{2}
  \)... ó \( 2^{k}\cdot3
  \)... y si se consigue ya sería un éxito; porque, por lo que yo he buscado por ahí desde hace años, nunca encontré ningún caso particular demostrado (sí sé que hay una acotación con los semiprimos para un N suficientemente grande, que no sé exactamente en qué consiste ahora, y que hizo un matemático chino).

Así que, echando mano de la función phi, la cantidad de coprimos para un par del tipo \( 2p_{1}p_{2}
  \) ó \( 2^{k_{1}}p_{1}^{k_{2}}p_{2}^{k_{3}}
  \) sería, \( N\cdot(1-\dfrac{1}{2})(1-\dfrac{1}{p_{1}})(1-\dfrac{1}{p_{2}})
  \). Donde, de antemano, ni \( p_{1}
  \) ni \( p_2 \) valen, porque no son coprimos y tiene que sumar N con otro no coprimo, con múltiplos de esos mismos primos.

Esto se ve muy “visualmente” con un ejemplo así (es como yo lo pensé antes de tener nociones de aritmética modular)

\( N=30
  \)

\( {\color{magenta}(0)},1,2,{\color{green}3},4,{\color{blue}5},6,7,8,{\color{green}9},{\color{blue}10},11,12,13,14,{\color{magenta}(15)},16,17,18,19,{\color{blue}20},{\color{green}21},22,23,24,{\color{blue}25},26,{\color{green}27},28,29,{\color{magenta}(30)}
  \)

\( {\color{green}3+27;\,\,9+21}
  \)

\( 5+25;\,\,10,20
  \)...

Los múltiplos casan con múltiplos de sus clase (coprimos con coprimos, no coprimos con no coprimos) lo que significa que va a haber siempre la misma cantidad de coprimos hacia un lado de N/2 que al otro.

Te invito a que consideres, primeramente, investigar los casos \( N=2\cdot3\cdot k=6n
  \) (ya te digo que demostrar esto sería una bomba y, probablemente, la antesala de la demostración completa si alguien lo lograra).

Aquí, aparte de la fórmula de antes, tenemos otra manera de contar los coprimos: quitando los múltiplos de 2 y 3 por el método de inclusión exclusión (https://es.wikipedia.org/wiki/Principio_de_inclusi%C3%B3n-exclusi%C3%B3n)

Cantidad de pares que excluimos \( \dfrac{N}{2}
  \)

Cantidad de mútliplos de 3 que quitamos, \( \dfrac{N}{3}
  \)

Pero al excluir estos últimos hemos quitado también pares que ya estaban quitados (6, 12, etc.) y hay que volver a incluirlos; hay que incluir entonces una cantidad de \( \dfrac{N}{6}
  \).

Es decir, los cantidad de números a tener en cuenta es

\( N-\dfrac{N}{2}-(\dfrac{N}{3}-\dfrac{N}{6})=
  \)

\( N(1-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6})=\dfrac{N}{3}
  \).

Por otra parte, habremos quitado todos los coprimos con N en caso de que \( N=2^{k}\cdot3^{k}
  \); si estuviera compuesto de algún primo distinto más (si consideráramos eso) entonces no habríamos quitado todos, sólo algunos; podrías considerar un N múltiplo de 30 y te quedaría un caso particular con menos números a considerar quitando los de 5... etc.

Aquí ya te darás cuenta de que en la medida que quitamos esos números, inservibles, quedan más primos aptos para la suma que buscamos; a la vez que quitamos paja. La situación es un poco más favorable. Sin embargo, todavía es insuficiente, hay que buscar cómo restringir más.

Hay algo relacionado con esta última consideración que lleva a poder restringir una cierta zona.

Si suponemos que un par es múltiplo, por ejemplo, de los primeros primos, 2 y 3 (pongo el ejemplo de antes)

\( {\color{blue}(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)},10,11,12,13,14,({\color{green}15}),16,17,18,19,20,{\color{blue}(21,22,23,24,25,26,27,28,29,30)}
  \)

encontramos dos zonas simétricas hasta la parte entera de \( \sqrt{\dfrac{N}{2}}
  \) elevada al cuadrado, (parte entera de raíz de 15 al cuadrado, \( 3^{2}
  \)).

Todos los compuestos de esa zona de la izquierda son No coprimos con N, al igual que los de la zona derecha (y recordemos que los no coprimos sólo pueden sumar N con no coprimos y viceversa). Todos los compuestos de ahí serán no coprimos porque tendrán que estar compuestos por los primos 2 ó 3 y, a veces junto con éstos, otro primo mayor; pero siendo múltiplos de 2 ó 3... ya son No coprimos pase lo que pase. Esto es así porque es obvio que si se compusieran por dos primos mayores que 3 el producto sería mayor que 9.

Pero no todos los primos de esas zonas son no coprimos, solamente 2,3 (y cinco en el ejemplo, pero no lo he tenido en cuenta). Por esto, siempre que en la dos zonas azules haya primos que sean Sí coprimos... se verán forzados a sumar N entre ellos, nunca con números no coprimos; es decir, se cumplirá Goldbach seguro (ahí, como es múltiplo de 5 y su cuadrado es 25, mayor que N/2, se cumple directamente con eso).

Como ya irás imaginando, por desgracia no siempre hay primos coprimos en las dos zonas azules, con lo que esto no asegura la conjetura tampoco.

Si embargo, para conjeturar, se puede contar como hipótesis con que en esas zonas no hay dos primos que “casen”, lo que implica considerar que no puede haber en la zona de la derecha primos (porque todos los mayores que N/2 son coprimos con N).

Esto te lleva a poder suponer los primos “concentrados” en las zonas restantes, lo que te aumenta la densidad de primos a favor de que se cumpla la conjetura usando la función “pi” contadora de primos; ya que, los primos coprimos son muchos más que los no coprimos en la medida que los N van siendo grandes.

La útlima vez que busqué en internet la conjetura estaba comprobada hasta de 4 hasta una par de \( 10^{14} \) cifras.

Grandecito, eh, vienen a ser como mínimo 2083333333333 primos en el intervalo \( (\dfrac{N}{2},\, N)
  \) (y hay bastantes más, porque la función pi da un mínimo que se queda muy corto para números un poco grandes).

Luego, se puede “mirar”, aunque no se concrete nada, qué va pasando con las sumas, que porqué parece verse

\( {\color{green}0},1,2,3,4,5,6,{\color{magenta}(}7,8,9,10,{\color{magenta}(}11,12,{\color{magenta}(}13,14,15,16,{\color{magenta}(}17,18,{\color{magenta}(}19,{\color{green}20},21{\color{magenta})},22,23{\color{magenta})},24,25,26,27{\color{magenta})},28,29{\color{magenta})},30,31,32,33{\color{magenta})},34,35,36,37,38,39,{\color{green}40}
  \)

En la primera, 19+21, vemos que 21 está compuesto de 3,7, primos menores que 19, que están a la derecha del intervalo; esto es lógico, como son tres números seguidos, tiene que ser múltiplo de 3 en caso de que no sea primo, ya que, el del centro no lo es. En la segunda suma, 17+23, tenemos dentro del intervalo los compuestos, 18, 20,21,22, formados por los primos \( (2_{nocoprimo}),3,(5_{nocoprimo}),7,11 \); de forma que no están a distancia para que otro múltiplos de alguno de éstos sumen con 17 el par N=40; y no quedan más primos posibles, porque 13 es grande \( 2\cdot 13>23 \)...

Y así se puede pensar, ver qué va pasando en cada caso... pero saber qué es exactamente lo que pasa... es difícil, mucho.

Si se mira así, la conjetura tiene puntos de encuentro con otros conjeturas o teoremas; con Fermat, con Beal, con Riemann... Hay que intentar inventar algo para contar coprimos, donde importa distinguir entre libres de cuadrados y no libres.

Por ejemplo, el otro día hice un programa en Python para que me sacara todas las sumas posibles de potencias perfectas mayores que 2 que dieran un par 2n (desde n=1 hasta n=1000). Esto sin mirar si la suma podía ser a su vez una potencia perfecta.

Todas las que hay son éstas veinte:

Spoiler

n= 76 sumandos= 27 125 potencias respectivas set([3]) set([3])

n= 103 sumandos= 81 125 potencias respectivas set([4]) set([3])

n= 184 sumandos= 125 243 potencias respectivas set([3]) set([5])

n= 185 sumandos= 27 343 potencias respectivas set([3]) set([3])

n= 212 sumandos= 81 343 potencias respectivas set([4]) set([3])

n= 234 sumandos= 125 343 potencias respectivas set([3]) set([3])

n= 293 sumandos= 243 343 potencias respectivas set([5]) set([3])

n= 326 sumandos= 27 625 potencias respectivas set([3]) set([4])

n= 353 sumandos= 81 625 potencias respectivas set([4]) set([4])

n= 427 sumandos= 125 729 potencias respectivas set([3]) set([6])

n= 434 sumandos= 243 625 potencias respectivas set([5]) set([4])

n= 484 sumandos= 343 625 potencias respectivas set([3]) set([4])

n= 536 sumandos= 343 729 potencias respectivas set([3]) set([6])

n= 677 sumandos= 625 729 potencias respectivas set([4]) set([6])

n= 679 sumandos= 27 1331 potencias respectivas set([3]) set([3])

n= 706 sumandos= 81 1331 potencias respectivas set([4]) set([3])

n= 728 sumandos= 125 1331 potencias respectivas set([3]) set([3])

n= 787 sumandos= 243 1331 potencias respectivas set([5]) set([3])

n= 837 sumandos= 343 1331 potencias respectivas set([3]) set([3])

n= 978 sumandos= 625 1331 potencias respectivas set([4]) set([3])

[cerrar]

Si pensamos, por ejemplo, en la suma de dos potencias cuartas (de coprimos) que sumen un par hasta 2n=2000, sólo existe una suma: \( 3^{4}+5^{4}
  \).

Luego, vemos que la mayor potencia es 6; encontramos la suma de potencia 3 con una 6, por ejemplo, y otras así, pero no con mayores que 6.

Según la conjetura de Beal, por mucho que siguiera buscando, nunca encontraría que las sumas dieran otro potencia; y se intuye que va a ser así, que no “caben” por culpa de que van apareciendo por orden de tamaño de primos (si existen de no coprimos).

Y tengo más cosas miradas “experimentalmente”, pero no consigo demostrar nada en cuanto algún aspecto de estas cuestiones.

Saludos.
Título: Re: Conjetura Goldbach por el absurdo
Publicado por: Richard R Richard en 04 Enero, 2020, 06:54 pm
Gracias a ambos, recibo un nuevo mazazo a mis espectativas,  ;D
necesitosolo la infima cantidad de  10^8 veces mas números primos de los que calcule, no importa, solo es tiempo de Pc,
pero la dificulta esta tarea es almacenarlos, en 10^18 habrá primos en el orden de los 10^16 con un largo de 18 bit, si con un largo medio de 17 bit por numero lleva unos 600000 terabits de archivo, evidentemente esta fuera de mi alcance. esa era la razón de llevar todo a 1 y 0 con cierto orden para reducir el tamaño de los archivos  aun así necesito unos 1000 terabits para almacenar dicha cadena.


Me has dado algo más para entender y leer feriva, vere que jugo le puedo extraer y te comento.
Título: Re: Conjetura Goldbach por el absurdo
Publicado por: feriva en 04 Enero, 2020, 08:20 pm

Me has dado algo más para entender y leer feriva, vere que jugo le puedo extraer y te comento.


Espero que sirva para algo.

Cuando miré hasta dónde se había comprobado la conjetura debió de ser en el año 2001; que es cuando estaba sobre la cifra que te decía; ya he visto el dato que ha dado Geómetracat, y también he encontrado una página donde vienen las cantidades que a lo largo del tiempo se han ido contando; y más cosas sobre la conjetura
https://culturacientifica.com/2013/06/26/la-conjetura-de-goldbach/

Yo hace tiempo busqué algún estudio sobre la cantidad de parejas de primos que se han contado para cada par; pero no encontré nada. Es muy interesante, porque van creciendo pero no de una forma monótona. Programando no llego demasiado lejos, en gran parte porque no tengo paciencia para esperar al ordenador, en parte también porque mi ordenador es bastante antiguo, pero pongo algunos resultados para que te hagas una idea

Spoiler
par = 200 cantidad de parejas= 8
par = 202 cantidad de parejas= 9
par = 204 cantidad de parejas= 14
par = 206 cantidad de parejas= 7
par = 208 cantidad de parejas= 7
par = 210 cantidad de parejas= 19
par = 212 cantidad de parejas= 6
par = 214 cantidad de parejas= 8
par = 216 cantidad de parejas= 13

...
par = 2000 cantidad de parejas= 37
par = 2002 cantidad de parejas= 44
par = 2004 cantidad de parejas= 59
par = 2006 cantidad de parejas= 35
par = 2008 cantidad de parejas= 28
par = 2010 cantidad de parejas= 84
par = 2012 cantidad de parejas= 27
par = 2014 cantidad de parejas= 35
par = 2016 cantidad de parejas= 73

par = 20000 cantidad de parejas= 231
par = 20002 cantidad de parejas= 176
par = 20004 cantidad de parejas= 337
par = 20006 cantidad de parejas= 201
par = 20008 cantidad de parejas= 180
par = 20010 cantidad de parejas= 477
par = 20012 cantidad de parejas= 166
par = 20014 cantidad de parejas= 174
par = 20016 cantidad de parejas= 335
par = 20018 cantidad de parejas= 164
par = 20020 cantidad de parejas= 329
...
par = 200000 cantidad de parejas= 1417
par = 200002 cantidad de parejas= 1172
par = 200004 cantidad de parejas= 2547
par = 200006 cantidad de parejas= 1071
par = 200008 cantidad de parejas= 1113
par = 200010 cantidad de parejas= 2884
...
[cerrar]

Si te fijas, en los pares que tienen dos o tres cifras, el número que da las parejas tiene una o dos, más o menos la mitad. Con pares de cinco cifras ya tiene tres y con pares de seis cifras, tiene cuatro... Sólo con eso se ve cómo aumentan, pese a lo que desciende la densidad; sorprendente, ¿verdad? También se puede observar que la cantidad de parejas suele aumentar prácticamente siempre al llegar a un múltiplo de 3.
Suponiendo que la conjetura se dejase de cumplir, ¿podría hacerlo bruscamente? Para lograrlo, tendrían que romper ese “ritmo” creciente bruscamente, empezar a descender en valor cientos, miles, decenas de miles... de unidades.
No puedo seguir, ya te digo, el ordenador no me da para mucho, pero sí he generado un par arbitrario de 500 cifras y me he cansado de contar parejas; no he podido contarlas todas. Por eso me gustaría ver si existe un estudio en este sentido, alguna predicción sobre el aumento, alguna fórmula... no sé, algo así.

Saludos. 
Título: Re: Conjetura Goldbach por el absurdo
Publicado por: Richard R Richard en 04 Enero, 2020, 10:19 pm
Hola el tema es que al hallar solo 1 par de primos que sumados obtengas el número par n, listo ese número cumple la conjetura, para qué seguir contando, pasas al siguiente n+2... y progresas más rápido
 obviamente si estudias qué cantidad de pares de primos que  suman el mismo número par, es obvio que debes seguir....

Pero cada vez me convenzo más de que  a quien se le ocurre que existirá un número que no lo cumpla, >:D, bueno yo se que les gusta demostrarlo, pero valdrá la pena!!! , pregunto existe un número par superior al millón y menor a 10 millones , que sea suma de un único par de primos? yo creo que ningún numero tiene una posiblidad entre 1e+800 y 1e+4000 aproximadamente, es decir  marcar un átomo ,  mezclarlo y colocarlo en el centro de la tierra y escojer uno al azar y  volverlo a encontrar es mucho mas facil y probable!!!.
Título: Re: Conjetura Goldbach por el absurdo
Publicado por: feriva en 04 Enero, 2020, 11:55 pm
Hola.



Pero cada vez me convenzo más de que  a quien se le ocurre que existirá un número que no lo cumpla, >:D, bueno yo se que les gusta demostrarlo, pero valdrá la pena!!! , pregunto existe un número par superior al millón y menor a 10 millones , que sea suma de un único par de primos? yo creo que ningún numero tiene una posiblidad entre 1e+800 y 1e+4000 aproximadamente, es decir  marcar un átomo ,  mezclarlo y colocarlo en el centro de la tierra y escojer uno al azar y  volverlo a encontrar es mucho mas facil y probable!!!.

Editado

Lo veo difícil, sí.

Ahora he estado mirando a “grandes rasgos”

En el par 1000000 hay 5402 parejas.

En 1000500 hay 15164



En 20000000 hay 70730

En 200000000 hay 538290
(y ya no puede mucho más el Python)

Citar
el tema es que al hallar solo 1 par de primos que sumados obtengas el número par n, listo ese número cumple la conjetura, para qué seguir contando, pasas al siguiente n+2... y progresas más rápido

Digo lo de investigar las parejas porque se ven cosas curiosas a veces, como las subidas en los múltiplos de tres, es algo que se produce siempre (no sé si en alguna ocasión pasa que baje respecto del número anterior, pero si pasa, son casos muy excepcionales).

Comprobarla para más pares... está bien si “ganas” a los que ya han comprobado muchos, pero se ve difícil superarles, porque ellos seguirán ahí con sus ordenadores echando humo.

Saludos.
Título: Re: Conjetura Goldbach por el absurdo
Publicado por: Richard R Richard en 05 Enero, 2020, 03:03 pm
Gracias por seguirme la corriente.... :laugh:

Los múltiplos casan con múltiplos de sus clase (coprimos con coprimos, no coprimos con no coprimos) lo que significa que va a haber siempre la misma cantidad de coprimos hacia un lado de N/2 que al otro.

Bueno me costo verlo

Si N es el número par  es decir \( N=2\cdot p_i^{k_i}\cdot...\cdot p_n^{k_n} \) cualquier primo de los \( p_i \) seguro tiene una pareja que es no primo.

Aquí ya te darás cuenta de que en la medida que quitamos esos números, inservibles, quedan más primos aptos para la suma que buscamos; a la vez que quitamos paja. La situación es un poco más favorable. Sin embargo, todavía es insuficiente, hay que buscar cómo restringir más.
No se si te sigo, en realidad lo que nos interesa es que no queden primos aptos, luego si eliminamos todos lo primos de la lista el número no cumple que sea la suma de dos primos.

 

Como ya irás imaginando, por desgracia no siempre hay primos coprimos en las dos zonas azules, con lo que esto no asegura la conjetura tampoco.

Aquí despiste , un coprimo de otro número es aquel número que puede ser o no primo cuyo mcd es uno con ese número, luego todos los primos son coprimos entre sí, no entiendo qué me intentas explicar con esa frase. Entiendo que cuando hablas de número coprimo lo haces en referencia a que es coprimo de N, y si es un número primo y a la vez no es coprimo de N entonces es un divisor de N. O me equivoco?.




Pero con todo eso me has dado una idea de cual es el número que sí o sí, no va a satisfacer la conjetura de Goldbach.

si \( p_i \) es el i ésimo número primo.

Sabemos que los números primos son infinitos por https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Euclides

pero si defino N como \( N=\prod\limits_1^\infty p_i \) es decir el máximo primorial (https://es.wikipedia.org/wiki/Primorial) ese número no cumple la conjetura de Goldbach.

ya se, ya se,.... me dirán que entre N y el máximo \( p_i \) puede haber primos mayores que sumados entre sí, si cumplan la conjetura, pero como defini \( N \)  incluye todos los primos , así que  esos número también están incluidos.  y si nos los hubiera también contradice el teorema de Bertrand  *

Porque ese número lo cumple es simple  podemos escribir N de ese modo \( N=K\cdot p_i  \) sacando factor común cualquier primo de la productoria.

cuando busquemos el número \( N-p_i \) pareja de \( p_i \) para sumar \( N \) encontraremos que \( N-p_i=K\cdot p_i-P-i=(K-1)\cdot P_i \Longrightarrow{}(compuesto) \)

luego cada primo debe sumar a un número compuesto si o si , luego N no cumple la conjetura....

No se si lo expuesto será mejor que un chiste, o es de perogrullo, o cual es el inconveniente al definirlo de ese modo.

* Intentar demostrar la conjetura  es como encontrar el antídoto al  Teorema de Bertrand–Chebyshev (https://en.wikipedia.org/wiki/Bertrand%27s_postulate) donde si no existiera este teorema, finalmente encontramos un número que cumpla la conjetura ya que habría tamaños de gaps luego de un primo mayor que el propio primo, luego si un gap de tamaño \( p_i+2 \) luego del primo p_i entonces cualquier suma para obtener \( N=2p_i+2 \) estaría formada por al menos un número compuesto.

Yo imagino la búsqueda de un numero que cumpla la conjetura como dos serruchos con dientes aleatorios que deben enfrentarse y coincidir cada punta con un hueco, los serrucho uno va de derecha a izquierda y el otro a la inversa, y tienen una punta siempre a la distancia de un numero primo.

(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=111855.0;attach=21569)

allí represente el 102

y se ve que hay 9 juegos de primos que se tocan, para el 104 se agregan dos unidades en los extremos y se corre el serrucho dos casilleros y se revisan las coincidencias, hay que notar que hay doble repetición pero contamos solo una es decir aparece el 1+101 y el 101+1 , también el 97+5 y el 5+97 pero solo contamos uno de los casos, el cual lo circule en azul.

De ese modo es más evidente que es una cuestión probabilística de que uno entre dentro del otro reduciendo al mínimo la separación entre los serrucho que se veria así

(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=111855.0;attach=21570)


Título: Re: Conjetura Goldbach por el absurdo
Publicado por: feriva en 05 Enero, 2020, 06:10 pm
Hola, Richard


No se si te sigo, en realidad lo que nos interesa es que no queden primos aptos, luego si eliminamos todos lo primos de la lista el número no cumple que sea la suma de dos primos.

Por ejemplo, 36 es múltiplo de tres, \( \dfrac{N}{3}=\dfrac{36}{3}=12  \); así nos quedan sólo 12 números útiles, si quitas sólo los pares, te quedan 18, de esta manera quitas más (si es múltiplo de 3; si es mútliplo de 5 u otro pues habría que calcular cuántos quitamos).

Quitamos todos los múltiplos de 3 más los pares

\( {\color{green}(0}),1,{\color{red}2},{\color{red}3},{\color{red}4},5,{\color{red}6},7,{\color{red}8},{\color{red}9},{\color{red}10},11,{\color{red}12},13,{\color{red}14},{\color{red}15},{\color{red}16},17,{\color{green}(18)},19,{\color{red}20,21,22},23,{\color{red}24},25,{\color{red}26,27,28},29,{\color{red}30},31,{\color{red}32},{\color{red}33,34},35,({\color{green}36})  \)

Quedan 12 pero en realidad podemos quitar el 1 y el 35 y serían 10, la última pareja, que no vale.

Ahí no se nos ha ido ningún primo de los que pueden sumar con otro primo; 3 tiene que sumar con otro mútliplo de 3.

La parte entera de \( \pi(36)  \) es 10; y en el intervalo (N/2, N), o sea, (18,36) se calcula que el límite tiende a la tercera parte de \( \pi(N)  \), que serían 3 primos. (esto de la tercera parte lo calculó Luis, no era difícil pero no me acuerdo).

No, esto creo que era que en (N/2, N) hay la tercera parte que en (0,N/2); o sea, serían

\( \pi(36)=10=(k+\dfrac{k}{3})
  \)

saldrían 2,51; sí, redondeando sale 3 se puede decir.

Spoiler

Vemos que hay cuatro en realidad, no tres; porque la “pi” se queda corta al ser una cantidad mínima de primos, no la real, pero esto no lo sabríamos, no sabríamos cuántos más hay en planteamiento teórico, tenemos que tomar lo que nos da la función.

[cerrar]

Y vemos que pese a los números que hemos quitado no le resta nada a los de la función pi que consideramos, no influye, porque todos los primos mayores que (N/2) son coprimos con N.

Es decir, si tienes N=300, por ejemplo, y además de los múltiplos de 3 y los pares quitas también los de 5, incluido el 5 (que sumará 300 con otro múltiplo de 5 y no con un primo), tampoco pasa nada, quitas números sin que influya en los primos que te interesa.

Citar
Aquí despiste , un coprimo de otro número es aquel número que puede ser o no primo cuyo mcd es uno con ese número, luego todos los primos son coprimos entre sí, no entiendo qué me intentas explicar con esa frase. Entiendo que cuando hablas de número coprimo lo haces en referencia a que es coprimo de N, y si es un número primo y a la vez no es coprimo de N entonces es un divisor de N. O me equivoco?.

Considero coprimos con N (o digamos N=2n, así se dice que no son pares de una tacada).

Dos primos que suman un par, no pueden tener mcd  distinto de 1 con el par, es decir:

\( q+p=2n  \)

Si n es múltiplo de “p” ó “q”, sin perder generalidad

\( q+p=2kp  \)

\( q=2kp-p  \)

y sacando factor “p”

\( q=p(2kp-1)  \)

Resulta que p es producto de dos factores mayores que 1 y no puede ser primo; no lo pueden ser los dos. q y p. Por eso puedes prescindir de los que sean no coprimos con N.

Eso que dije en la otra respuesta es precisamente para números que son producto de un cierto primorial. Por ejemplo

\( 2\cdot3\cdot7=42  \); aquí el 7 salta, no va a seguido, tenemos que tener encuentra los primos 2 y 3 para lo que se va a ver

\( {\color{blue}0,1,2,3}{\color{blue},4,}5,{\color{blue}6,7,8,9,10,}11,{\color{blue}12,}13,{\color{blue}14,15,16,}17,{\color{blue}18},19,{\color{blue}20}  \)

\( (21)  \)

Todos los compuestos hasta 21 están formados por los primos 2 y/o 3; por ejemplo, 15 es múltiplo de 5, que es mayor, pero es múltiplo de 3, y así pasa con todos. Esto es así porque el siguiente primo a 3 es 5 y. para formar un compuesto sin el 2 ni el 3, ya hay que recurrir a su cuadrado, 25, que en este caso es mayor incluso que (N/2)=21. Y ahí hay primos aparte del 2 y el 3, sí, pero son coprimos todos y en el otro lado no pueden sumar con no coprimos.

Esto garantiza directamente que la conjetura se cumpla; para verlo escribo el intervalo (N/2, N)

\( {\color{blue}22},23,{\color{blue}24},25,{\color{blue}26,27,28},29,{\color{blue}30},31,{\color{blue}{\color{blue}32},33,34,35,36},37,{\color{blue}38,39,40},41,  \)

\( (42)  \)

Como se ve, todos los no coprimos vienen dados en la misma cantidad que en el otro intervalo (que son todos compuestos, quitando el 2 y el 3 que son no coprimos) y tienen que “casar con ellos”, de forma que a los primos coprimos (5,7 etc) no les queda más remedio que emparejarse con todos los coprimos que haya en la zona simétrica; en este caso el postulado de Bertrand asegura que al menos hay un primo entre los coprimos del otro lado.

Esto mismo, con otro ejemplo, con otros números, puede ocurrir en una zona más corta (que no ocupe completamente los dos intervalos) y puede suceder que en la zona simétrica haya algún primo o no; en cuyo caso, si no hay, no es seguro que se cumpla debido a esto. Entonces, si supones que no hay (porque si hay se cumple) los primos que consideres mediante la función pi dentro del intervalo (N/2, N) los consideradas fuera de ese tramo extremo y por tanto más concentrados dentro del intervalo.

Después leo tu idea despacio y si puedo te digo; si no, pues ya te dice Luis o alguien, que lo analizará mejor que yo.

Saludos.
Título: Re: Conjetura Goldbach por el absurdo
Publicado por: feriva en 05 Enero, 2020, 07:19 pm

Pero con todo eso me has dado una idea de cual es el número que sí o sí, no va a satisfacer la conjetura de Goldbach.

si \( p_i \) es el i ésimo número primo.

Sabemos que los números primos son infinitos por https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Euclides

pero si defino N como \( N=\prod\limits_1^\infty p_i \) es decir el máximo primorial (https://es.wikipedia.org/wiki/Primorial) ese número no cumple la conjetura de Goldbach.



Efectivamente, ese “número” no cumple la conjetura del Goldbach, pero lo que pasa es que no es un entero, ni siquiera es un número real, porque el primorial no tiene máximo. Tú estás pensando en un producto de infinitos primos, y eso no es un número, es una “cosa”, la cantidad de cifras de un número entero es siempre finita. Si consideras un número que no acaba nunca, ya no está definida su divisibilidad; no acaba en cifra par o no, porque no acaba... no es par ni impar, ni nada, no es un entero; no cumple cosas mucho más necesarias :)

Saludos.
Título: Re: Conjetura Goldbach por el absurdo
Publicado por: Richard R Richard en 05 Enero, 2020, 11:45 pm
Espero que no te resulte molesto que tire de la cuerda con esto, pero siento  como que me has dejado meter el pan en la olla mientras se cocina la salsa...

Efectivamente, ese “número” no cumple la conjetura del Goldbach, pero lo que pasa es que no es un entero,

Vamos todavía que no estoy loco!!! alguien tiene la misma alucinación que yo!!!

Pero es discutible o demostrable, por inducción, defino el primer primo , conjeturo para n y demuestro para n+1 , no era así? el producto de enteros siempre es entero... con n arbitrariasmente grande cual sería la diferencia.


ni siquiera es un número real,

si es entero entonces pertenece a los reales.

porque el primorial no tiene máximo.

tampoco está definido el máximo de los números  primos , ni el contenido total del conjunto de los números primos, pero el conjunto aún así definido existe y si se afirma que ese número no existe , no existe el número que cumpla la conjetura en el que cada primo tiene como pareja un compuesto. Con lo que queda demostrada tanto porque o bien  no existe el número, o bien porque si existe va en contra del teorema de Bertrand...que es lo que trataba de decir sin haber leído al menos  la wikipedia, en mis primeros mensajes.

Tú estás pensando en un producto de infinitos primos, y eso no es un número, es una “cosa”, la cantidad de cifras de un número entero es siempre finita.


cuantas cifras tiene el el mas grande de los números primos que se te ocurra definir...aun así lo consideramos como un entero....

Si consideras un número que no acaba nunca, ya no está definida su divisibilidad;
Por el contrario lo que no sabemos es cómo empieza, seguro termina en 0 ya que es múltiplo de 2 y de 5 por definición la segunda cifra la de las decenas es 1,3,7 o 9  ya que el resto de los primos termina en esos 4 números.

no acaba en cifra par o no,porque no acaba...no es par ni impar,
Si es par porque es múltiplo de 2 por definición. reitero sabemos como acaba, pero no cuando como ni con que empieza.

Entiendo que definir el numero \( N=\prod\limits_1^\infty p_i \) es llevar al limite la eliminación de los coprimos de N , produce el mismo efecto que eliminar todos los coprimos de 2,3,5,7,11... solo dejas los compuestos para la segunda mitad del intervalo, que no tendrá coprimos , deberá contradecir el teorema de Bertrand.

Gracias por compartir tus ideas, Saludos

 
Título: Re: Conjetura Goldbach por el absurdo
Publicado por: feriva en 06 Enero, 2020, 10:57 am

Hola, Richard.

La mañana de Reyes me trae hablar de la Conjetura :)


Pero es discutible o demostrable, por inducción, defino el primer primo , conjeturo para n y demuestro para n+1 , no era así? el producto de enteros siempre es entero... con n arbitrariasmente grande cual sería la diferencia.


Pero ha de ser numerable. El producto de dos enteros (finitos, como deben ser por definición) es otro número finito, porque has multiplicado una cantidad de 2, una cantidad finita de ellos; ahí funciona la propiedad de cerradura algebraica, como con la suma. Pero si consideras que la cantidad de factores tiende a infinito, ya no funciona la clausura. Pasa igual con esto, \( \dfrac{1}{n},\,\dfrac{1}{n^{2}},\dfrac{1}{n^{3}}...
  \), son números reales, pero si multiplicas una cantidad de ellos que tienda a finito el resultado es un infinitesimal, no un real.

En la medida que multiplicas más primos, el número también se hace más grande y tiene más zonas distintas donde no caben más que unos pocos compuestos (“pocos” dicho por comparación con todos los que hay en el intervalo completo)

Si tienes \( a+b=2n
  \), en el intervalo \( b-a
  \) no puede haber más de un múltiplo de un primo mayor o igual a la distancia \( |b-a|
  \), porque dos múltiplos necesitan estar a una distancia mayor que \( |b-a|
  \). Pero no sólo eso; algunos, siendo más pequeños, tampoco caben de dos en dos, porque al ser compuestos impares necesitan estar multiplicados por un número mayor que 2, por lo menos tiene que ser 3; otros más pequeños ya no cabrán multiplicados por 4 ó 5, pero sí por 3... etc. Si analizas esto con ejemplos, ves que hace que siempre haya zonas donde sumen dos primos y cada vez más; y de ahí que por término medio, a la larga, vaya habiendo más parejas. Claro que, una cosa es “ver” cómo va funcionando y otra distinta poder demostrarlo; eso es lo que quisiéramos todos.

Aquí hay un mecanismo en ese sentido, estoy completamente seguro de ello, pero demostrarlo pasa por un análisis combinatorio tremendo, verdaderamente muy difícil; y, si no la han demostrado los mejores matemáticos, no la voy a demostrar yo, soy consciente de ello. Habría que asegurar algo más sobre los primos, Bertrand se queda corto, aunque sirve para tener ciertas seguridades, se queda corto; si por lo menos estuviera ya demostrada la de Legendre (la cual se cumple prácticamente seguro a decir de los expertos) https://es.wikipedia.org/wiki/Conjetura_de_Legendre quizá se pudiera hacer algo más.

Precisamente, cuanto más grande es N, con más seguridad se puede cumplir la conjetura. Pasa como con la conjetura débil de Goldbach, la de los impares, estaba asegurada por Vinogradov hace ya bastantes décadas para un número lo “suficientemente” grande, sin que se hubiera acotado todavía ese número; la demostró hace poco Harald Helfgott, como sabrás: todo número impar mayor que 7 se puede escribir como suma de tres primos. Si se considerara un número tan grande como el que dices, este teorema sería mentira. No sólo éste, también la demostración del último de Fermat, donde sí que existen “números” de infinitos factores que cumplen la igualdad \( x^{n}+y^{n}=z^{n}
  \); busca por ahí la demostración para n=4, ahí lo puedes ver, fíjate lo que pasa con el descenso al infinito.


Si es par porque es múltiplo de 2 por definición. reitero sabemos como acaba, pero no cuando como ni con que empieza.


Si ese número que dices es par, según eso, raíz de 2 sería el cociente entre dos pares, porque lo que se demuestra en la célebre y centenaria prueba es que en la fracción \( \dfrac{a}{b}
  \), tanto “a” como “b”, están compuestos de infinitos factores 2; se demuestra que no es reducible, pero en concreto respecto del factor 2.

Si está compuesto de infinitos primos (o tiende, si quieres decirlo así) por definición, son números hiperreales, no reales. Tengo oído que existe un modelo no estándar que considera estos números, pero, aunque hable de oídas... sospecho que eso es el chocolate del loro, que no sirve para mucho más de lo que sirve el modelo estándar.

Cuando se plantea éste y otros problemas, como el de Fermat, en la época no existe la teoría de conjuntos, hay números con decimales y sin decimales. Los enunciados en esa época hay que entenderlos así (según sugiere Wiles, en una entrevista que se le hizo después de demostrar el teorema de Fermat): “nunca encontrarás un número...”. Si demuestras que nunca nadie encontrará un número que cumpla o no cumpla lo que rece el enunciado, entonces demuestras que es verdad. Los que no encontrará nadie no valen, si valieran... fallarían un montón de teoremas.


tampoco está definido el máximo de los números primos , ni el contenido total del conjunto de los números primos


Es que no es un conjunto literalmente hablando, es más una clase de Rusell en el sentido que lo estás entendiendo.

Ocurre una cosa, \( \mathbb{N}
  \) tiene infinitos elementos; y aquí surge una paradoja que hay que resolver poniendo las definiciones necesarias: si tiene infinitos elementos, es imposible que no haya naturales con una cantidad infinita de cifras. Claro, imagina... si por cada 10, 100... vamos escribiéndolos con una cifra más, como son infinitos, los “últimos” tendrán que tener infinitas cifras. Ahí está el concepto, no son infinitos de “golpe”, como si estuvieran metidos en un saco, son potencialmente infinitos, numerables, su infinitud consiste en que “nunca encontraremos el último”. Si se consideran “todos”, no se pueden definir por extensión sin que nos asalte esa paradoja, hay que definirlos por comprensión. Esto \( N=\prod\limits_1^\infty p_i \) no es un número real.

No es real ningún número cuya parte entera sea una “cantidad” infinita. Si consideras un irracional, 3,14... su valor es finito, vale menos de 4 y más de 3, está acotado; todo número real tiene un valor finito. Pero, pese a ello, no pasa como con los enteros, ya que, como éstos tienen mantisa y éstas sí pueden tener infinitos números (hay infinitas mantisas distintas) sí existen de “golpe” en el saco; pero ningún real tiene valor infinito.

Saludos.
Título: Re: Conjetura Goldbach por el absurdo
Publicado por: feriva en 11 Enero, 2020, 12:00 pm
Hola, Richard.

Se me ha ocurrido una forma de ir comprobando la conjetura que quizá te podría servir; he probado sólo con mil números más desde \( 4\times10^{18}
  \) para ver cómo funcionaba el programa.

Es éste

Código: [Seleccionar]
from sympy import*

N=4*10**18
n= N/2
k=n

A=set()

def f():

global N,n,p,k,A

p=prevprime (k)

q=N-p

for j in range (2,1000,2):

if isprime (q+j):

A.add(j/2)
k=p

for i in range (1000):

f()

B= list (A)
B.sort()

l=(B[len(B)-1: len(B)])

for c in (l):
c=int(c)

c2=sum(B)

Bueno, lo hice según se me ocurrían las cosas, se puede optimizar mucho, ahora lo he estado mirando y es un desastre; por ejemplo, se puede hacer que cuando estén todos hagan un break, también usar nextprime, que es más rápido que ir sumando pares... pero es la idea

Básicamente, lo que hace es esto:

Empiezo con un ejemplo de pocos números para que se vea:

\( 0,1,2,3,4,5,6,{\color{blue}7},(8),{\color{blue}9},10,{\color{blue}11},12,{\color{blue}13},14,{\color{blue}15},16
  \)

9+2 es primo, y es 7+4, por lo que se cumple para el par siguiente 7+(9+2)=18

11+2 es primo, y es 7+6, por lo que se cumple para el par siguiente a 18, 7+(11+3)=20...

etc.

El programa empieza eligiendo el primo “p” más cercano a N/2, menor que N/2, y va sumando a “N-p” los pares 2, 4, 6... hasta 998. Cuando N-p es primo, guarda ese par -pero divididos entre dos- en un set, en un conjunto “A”; de forma que va a ser un conjunto de naturales 1,2,3... donde en principio no sabemos cuántos van a faltar.

Después, toma el primo anterior a “p” y repite el proceso. Si aparecen pares repetidos (que salen) el comando “set” los elimina; funciona como un conjunto de verdad, todos los elementos que guarda son diferentes.

Esto lo repito con 998 primos hacia “atrás”, cada vez más pequeños y consecutivos (y se ve que es suficiente para la comprobación, al menos para el par desde el que parto).

Una vez que termina ese bucle y el conjunto “A” está lleno, lo paso a una lista (una matriz o vector) y la ordeno; quedando así 1,2,3,4... etc. Después, uso el comando “sum”, que suma todos los elementos de la lista. Si están todos, tiene que coincidir con la suma según la progresión aritmética; entonces el programa toma el último elemento de la lista para hacer la cuenta y compara. Y sale que están todos lo que quiere decir que se cumple hasta \( 4\times10^{18}+998
  \).

Es poco, es una prueba que no tarda nada; haciéndolo con 10000 ó 100000... pues tardará bastante, pero sería dedicarle un tiempo todo los días e ir comprobando.

Pero lo interesante es que estén todos tomando unos tramos tan cortos (en comparación con la longitud del número) a partir de cada primo (y sin tomar todos, sólo 998, y como mínimo hay 95238095238095238).

Spoiler

python borrador7.py

[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, 156, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 166, 167, 168, 169, 170, 171, 172, 173, 174, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 181, 182, 183, 184, 185, 186, 187, 188, 189, 190, 191, 192, 193, 194, 195, 196, 197, 198, 199, 200, 201, 202, 203, 204, 205, 206, 207, 208, 209, 210, 211, 212, 213, 214, 215, 216, 217, 218, 219, 220, 221, 222, 223, 224, 225, 226, 227, 228, 229, 230, 231, 232, 233, 234, 235, 236, 237, 238, 239, 240, 241, 242, 243, 244, 245, 246, 247, 248, 249, 250, 251, 252, 253, 254, 255, 256, 257, 258, 259, 260, 261, 262, 263, 264, 265, 266, 267, 268, 269, 270, 271, 272, 273, 274, 275, 276, 277, 278, 279, 280, 281, 282, 283, 284, 285, 286, 287, 288, 289, 290, 291, 292, 293, 294, 295, 296, 297, 298, 299, 300, 301, 302, 303, 304, 305, 306, 307, 308, 309, 310, 311, 312, 313, 314, 315, 316, 317, 318, 319, 320, 321, 322, 323, 324, 325, 326, 327, 328, 329, 330, 331, 332, 333, 334, 335, 336, 337, 338, 339, 340, 341, 342, 343, 344, 345, 346, 347, 348, 349, 350, 351, 352, 353, 354, 355, 356, 357, 358, 359, 360, 361, 362, 363, 364, 365, 366, 367, 368, 369, 370, 371, 372, 373, 374, 375, 376, 377, 378, 379, 380, 381, 382, 383, 384, 385, 386, 387, 388, 389, 390, 391, 392, 393, 394, 395, 396, 397, 398, 399, 400, 401, 402, 403, 404, 405, 406, 407, 408, 409, 410, 411, 412, 413, 414, 415, 416, 417, 418, 419, 420, 421, 422, 423, 424, 425, 426, 427, 428, 429, 430, 431, 432, 433, 434, 435, 436, 437, 438, 439, 440, 441, 442, 443, 444, 445, 446, 447, 448, 449, 450, 451, 452, 453, 454, 455, 456, 457, 458, 459, 460, 461, 462, 463, 464, 465, 466, 467, 468, 469, 470, 471, 472, 473, 474, 475, 476, 477, 478, 479, 480, 481, 482, 483, 484, 485, 486, 487, 488, 489, 490, 491, 492, 493, 494, 495, 496, 497, 498, 499]

Se cumple hasta N + 998

[cerrar]

Saludos.

Título: Re: Conjetura Goldbach por el absurdo
Publicado por: Richard R Richard en 11 Enero, 2020, 07:25 pm
Ok , gracias por compartir la idea!!!, Así cuentas cuantas parejas te quedan para cada par N.


mi idea es la siguiente en \( N_i \) coloco el número par de dónde empiezo la comprobación.
\( p_i \) es una variable que toma el valor de todos los primos que almaceno en un archivo, (no compruebo que es primo, ya tengo una lista segura de los que son, obtenida de la criba de eratóstenes)
 Cálculo \( N-p \) , y lo busco en la lista de los primos....

Si lo encuentra en la lista, \( N_i \) cumple la conjetura, entonces salto al siguiente N_{i+1}, sumándole  dos unidades \( N_{i+1}=N_{i}+2 \)

si no está en la lista, es porque es compuesto, entonces salto al siguiente primo  \( p_{i+1} \)

si llego a un primo \( p_i>N/2 \) entonces \( N \) no cumpla la conjetura, y tengo lo que busco.

la limitaciones la comente tengo 15M de primos en un archivo de 202 MB que son los primos que hay hasta casi el 300M, pero para llegar a tener todos los primos por debajo de 1e18  necesito terabits de tamaño de archivo.
si lo importante es solo saber el orden entonces el archivo lo creo como 1 para primos y 0 para compuestos, puedo ir determinando el de valor N, p y N-p a cada paso y contar hasta N-p para ver si es un 1 o un 0 luego sabría si es primo o no, pero, el tamaño del archivo solo se comprime hasta solo un 5 % máximo que lo dicho anteriormente... para mejorar esos 1e18 de N , debo tener mejores recurso informáticos de lo que es una simple PC hogareña.
Si la mejorara, podría crear un archivo escrito en 1 y 0 en el orden inverso de mayor a menor, lo que facilitaría la tarea de empezar a buscar comparando los primos mas cercanos de N/2 con los mas lejanos de la primera lista, haciéndose lento y tedioso, cuando se aproxima a \(  N\cong Max(P_i)/4 \)







Título: Re: Conjetura Goldbach por el absurdo
Publicado por: feriva en 11 Enero, 2020, 10:49 pm

Hola, Richard.

¿En qué lenguaje programas?
Yo tengo aquí un amigo, Víctor Luis, que hace años programaba en Pascal; le hablé de Python, de lo fácil qué era, de sus ventajas... y ya no volvió a programar en Pascal. Yo mismo aprendí hace no muchos años Python, viendo vídeos y leyendo tutoriales; merece mucho la pena (y no vendo nada, no pertenezco a ninguna compañía ni nada así; además es gratis).



la limitaciones la comente tengo 15M de primos en un archivo de 202 MB que son los primos que hay hasta casi el 300M, pero para llegar a tener todos los primos por debajo de 1e18  necesito terabits de tamaño de archivo.

Si es por hacer “artesanía informática”, me parece bien; pero hoy en día no es necesario guardar primos para estas cosas. Se puede comprobar si un número de... vamos a poner 40 cifras, es primo o no en unas décima de segundo o una cosa así; se puede decir que se percibe instantáneamente. Si se programa en Python, por ejemplo, existen módulos que tienen unos comandos que te dicen si es primo o no, como el comando “isprime” del módulo sympy.

Pega este código en esta página, https://live.sympy.org/ en la parte de abajo, y luego pincha en “Evaluate”

a=58945876895847890934948756898782345897823459872983475785984758111182783982983703878736748726738784312131389677

if isprime (a):
   print "es primo"
else:
   print "no es primo"

es de 110 cifras y lo he tecleado a voleo.

Si quieres saber cuál es el siguiente primo a ese número, pega este código

a=58945876895847890934948756898782345897823459872983475785984758111182783982983703878736748726738784312131389677

nextprime (a)

Y te lo da

58945876895847890934948756898782345897823459872983475785984758111182783982983703878736748726738784312131389747

Fíjate lo que tarda, nada prácticamente; y es un número de 110 cifras.

Y tiene muchas más cosas, como la función primepi, que te da la cantidad exacta de primos (si son muy, muy grandes, no puede, eso sí) o la función prime (n); que te da el primo “n”, siendo n=1 para el primo 2, etc. También tiene la función totient(n), que te da la cantidad de coprimos con “n” menores que “n” hasta 1. La función gcd(a,b) que te da el mcd... Y muchas cosas más todavía, funciones automáticas para combinatoria, para ecuaciones, integrales... para todo.

Yo empecé aprender algunas cosas con estos vídeos


Saludos.
Título: Re: Conjetura Goldbach por el absurdo
Publicado por: Richard R Richard en 12 Enero, 2020, 12:30 am
 1e+18  gracias .... en la pagina lo he probado, y es velocísimo.... creo que me he puesto viejo de golpe.... habrá que aprender a manejarlo....como a los autos... voy a dar un par de vueltas  y te comento de que me entero.

desde hace 35 años  programo basic,.. y muchos otros de los lenguajes similares, que fueron apareciendo,... pero hace mucho que no innovo.... vere si me resulta....

por lo pronto la descarga del software, requiere que actualice windows con sus service packs, así que sino aparezco por un tiempo es porque una lucha contra la SKYNET de Bill Gates  ha podido conmigo.



Título: Re: Conjetura Goldbach por el absurdo
Publicado por: manooooh en 12 Enero, 2020, 02:13 am
Hola Richard R Richard


desde hace 35 años  programo basic,.. (...)

Pues qué buena noticia enterarse de que alguien más le interesa Basic.

¿Usás el Visual Studio (por ejemplo versión 2010) para programar?

Pregunta off-topic:

¿Sabés conectar el Visual con una BD externa? A mis alumnos de secundaria les enseño a hacerlo con Access pero con SQL parece bastante más complicado (tanto la conexión como la programación con simples tablas -- No he encontrado una guía en Internet ni un asistente del Visual Studio para ello).

Gracias y saludos
Título: Re: Conjetura Goldbach por el absurdo
Publicado por: Richard R Richard en 12 Enero, 2020, 02:45 am
yo para conectar con mysql

uso en un modulo publico

Código: [Seleccionar]
Public Sub Conectar()
Set Conn = Nothing
Set Conn = CreateObject("Adodb.Connection")
strconn = "DRIVER=MySQL ODBC 5.1 Driver;UID = root;Port = 3306;Database = ef;SERVER = localhost"
Conn.Open (strconn)
End Sub

donde lo que te puse "ef" es el nombre que yo le doy a la base de datos

luego uso algo así en el código del programa

Código: [Seleccionar]
Call Conectar
Set RecFactura = Conn.Execute("select * from facturas where factura= " & nfactura)

bla bla bla

Set RecFactura = Nothing


yo uso Visual basic 6.0 espero que esto te sirva...

creo que tienes que cargar las extensiones o complementos adodb primero... ya no lo recuerdo... hace años migre ese programa a UNIX




Por otro lado Feriva  instale la version 2.7...  que es lo unico que me dejo instalar

se abre una consola pero no puedo pegar el codigo que me pasaste,
ya pude pegar  el texto en un shell, guarde el archivo , pero como lo ejecuto?

ya pude ejecutar pero me dice que no encuentra la función isprime .... de donde salieron esas funciones...

Código: [Seleccionar]
NameError: name 'isprime' is not defined
ya pude instalar la version 3.7 pero

mmmm... no se como cargar módulos en particular me interesa el que se llama mpmath, pero no he visto como bajarlo para windows , hay una versión para UNIX


Título: Re: Conjetura Goldbach por el absurdo
Publicado por: feriva en 12 Enero, 2020, 08:02 am

Hola Richard.



ya pude instalar la version 3.7 pero

mmmm... no se como cargar módulos en particular me interesa el que se llama mpmath, pero no he visto como bajarlo para windows , hay una versión para UNIX


Tienes que descargarte el módulo sympy para esas funciones que te decía, no viene de serie; el math sí viene, y el mpmath yo lo tengo, me funciona y no recuerdo haberlo instalado.

En Windows no sé decirte cómo se instala, porque uso Linux desde hace años (que trae incorporado el Python directamente) pero habrá muchas páginas por ahí; aquí hay un vídeo tutorial


Y aquí puedes descargar el módulo

https://www.sympy.org/es/

Una vez que lo tengas instalado, tienes que importarlo con la orden “from sympy import*” (sin comillas) que ya te importa casi todos los comandos; no todos, por ejemplo, si quieres usar la función para introducir un polinomio interpolador, por poner un caso, tienes que añadir otra líena: from sympy.polys.polyfuncs import interpolate

Cuando lo tengas, aquí tienes algunas funciones que puedes usar con sympy, son especiales para teoría de números:

https://github.com/sympy/sympy/wiki/Number-Theory-in-SymPy

Aquí, otra página donde vienen códigos SymPy para usar ecuaciones con variables, límites, desarrollos de Taylor, expandir polinomios... y cosas así

https://github.com/sympy/sympy/wiki/Quick-examples


Yo tengo las dos versiones de Python, la 2 y la 3; pero no puedo descargar sympy para la 3, por eso uso la 2.7... no sé qué más; que además estoy más acostumbrado, me es más cómoda.
...

Yo también empecé con Basic cuando salió el primer Spectrum; lo tenía un sobrino mío y aprendí un poco jugando con él; luego ya, me compré un Spectrum para mí. Pero de esto hace muchísimo tiempo, no he vuelto a hacer nada en Basic.

Saludos.
Título: Re: Conjetura Goldbach por el absurdo
Publicado por: Richard R Richard en 13 Enero, 2020, 02:58 am
Hola la verdad es que la función isprime no la pude bajar como modulo

pero anduve buscando y me copie una, hice mi propio modulo, y también el módulo de nextxprime
hice mi probador de la conjetura de Goldbach en Python en un solo día .. un lujo,

Código: [Seleccionar]
#Goldbach
import isprime
import nextprime
N=int(input("comenzar desde el numero ---"))
No=N
p=3
while p < N/2:
        if isprime.is_prime(N - p):
                N = N + 2
                p = 3
        else:
                p=nextprime.next_prime(p+2)
        if N-No>10000000:
                print(N)
                b=input("continua S/N?")
                if b=="S" or b=="s":
                        No=N
                else:
                        goto
print("Numero de goldbach=",N)

los primero 6M de N por debajo de 12 M los probe en 20 min

 el codigo de isprime

Código: [Seleccionar]
def is_prime(num):
    if num < 2:
        return False
    elif num == 2:
        return True
    elif not num % 2:
        return False

    for i in range(3, round(num**0.5)+1, 2):
        if not num % i:
            return False
    return True

y el de nextprime

Código: [Seleccionar]
import isprime
def next_prime(num):   
    while not(isprime.is_prime(num)):
        num = num + 1
    return num

Ahora toca leerme de vuelta tus aportes, y mejorar el código para hacerlo mas veloz.
Título: Re: Conjetura Goldbach por el absurdo
Publicado por: feriva en 13 Enero, 2020, 12:26 pm

Qué rápido aprendes, Richard, cómo se nota que eres de carrera científica. Yo, en cambio, como me equivoco tanto, hasta que aprendo, tardo bastante; menos mal que soy cabezota y a base de insistir...

Y qué pena que no puedas instalar SymPy; a ver si apareciera por aquí Víctor Luis, que él se lo instaló en Windows y sabrá qué hay que hacer. De todas formas, que yo sepa, por aquí hay personas que manejan el Python muy bien (mucho mejor que yo) como Geómetracat o Ingmarov, por ejemplo; lo que no sé es si lo hacen en Windows; si eso, ellos te podrían decir cómo instalar los módulos que quieras.

No obstante, mira a ver con esta página, explica específicamente cómo instalar módulos de Python en Windows:

https://es.m.wikihow.com/instalar-paquetes-de-Python-en-Windows-7

...

Por otro lado, el método por tentativa para comprobar primos es bastante lento, incluso aunque uses la raíz cuadrada para eliminar divisores. Se puede usar el test de primalidad de Miller-Rabin, que si lo buscas por ahí vienen códigos para Python; es muy similar al método de Fermat con el pequeño teorema, pero más determinista.
...

Prueba este código que he hecho si quieres a ver cómo te va de velocidad; es más o menos el típico de la criba de Eratóstenes en Python y no necesita ningún módulo (uso el módulo de tiempo, que es de serie, y sólo para que se vea, no hace falta, claro).

Código: [Seleccionar]

import time # Modulo de tiempo

tiempoi=time.time() # Defino variable de tiempo inicial

def  f(n): # Funcion Criba de Eratostenes


nopri = set()           # Defino el conjunto de los compuestos
  for j in range(2, n+1):    # Bucle desde 2 hasta el n que se quiere comprobar
    if j not in nopri: # Si j no se halla en el conjunto de compuestos
      nopri.update(range(j*j, n+1, j))  # introduce en nopri desde j cuadrado los multiplos de j hasta n

# Acaba el bucle llegando hasta n

if n in nopri:    # Si n pertenece al conjunto de los compuestos...                           
return False
else:               
return True

print f(12000000) # Pruebo para el n 12 millones y se determina que no es primo

tiempof=time.time() # Defino variable de tiempo final

print tiempof - tiempoi # Imprime la variacion de tiempo (tiempo de ejecucion; que en mi ordenador tarda sobre 8 segundos).

(Normalmente, para mí, lo haría sin variables boleanas, pero la mayoría de la gente las usa mucho en las funciones y quizá así lo ve más claro todo el mundo).

No obstante, en comparación con lo que tarda isprime del SymPy, sigue siendo muy lento.

Saludos.