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Revista, Técnicas, Cursos, Problemas => Problemas y Desafíos => De oposición y olimpíadas => Mensaje iniciado por: Farifutbol en 08 Noviembre, 2019, 11:32 pm

Título: Suma de Riemann y Stolz
Publicado por: Farifutbol en 08 Noviembre, 2019, 11:32 pm
Tengo el límite
\( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{a_n=\sqrt[n]{\left( 1+\dfrac{2}{n}\right) \left( 1+\dfrac{4}{n}\right) \left( 1+\dfrac{6}{n}\right)...\left( 1+\dfrac{2n}{n}\right)}  }  \)

Si lo esctibo como suma de Riemann, el logaritmo del límite sería
\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{1}{n}[Ln\left( 1+\dfrac{2}{n}\right)+Ln\left( 1+\dfrac{4}{n}\right)+\left( 1+\dfrac{6}{n}\right)+....\left( 1+\dfrac{2n}{n}\right)}] \) que es igual a la integral
\( \displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{1}^{3}Ln(x) \cdot dx=xln(x)-x \) entre 1 y 3 por lo que
\( =\displaystyle\frac{1}{2}(3Ln3-3+1)=\displaystyle\frac{1}{2}Ln\displaystyle\frac{3^3}{e^2}=Ln\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{3^3}{e^2}}= \)
Que al desacer el logaritmo del límite nos daría:
\( \displaystyle\frac{3\sqrt[ ]{3}}{e} \)

Si lo hago por Stolz
\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\sqrt[n ]{x_n}}=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{a_{n+1}}{a_n}}=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{(n+3)(n+5)(n+7)...(3n+1)(3n+3)}{(n+1)^{n+1}}}{\displaystyle\frac{(n+2)(n+4)(n+6)...(3n)}{n^n}}=\displaystyle\frac{3}{e} \)
Solo me falta el \( \sqrt[ ]{3} \)
Tengo algún error?
Mañana lo edito para los pasos intermedios, pero se me hace tarde.
Gracias y un saludo
Título: Re: Suma de Riemann y Stolz
Publicado por: Gustavo en 09 Noviembre, 2019, 03:01 am
El problema es la última igualdad aquí:

\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\sqrt[n ]{x_n}}=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{a_{n+1}}{a_n}}=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{(n+3)(n+5)(n+7)...(3n+1)(3n+3)}{(n+1)^{n+1}}}{\displaystyle\frac{(n+2)(n+4)(n+6)...(3n)}{n^n}}=\displaystyle\frac{3}{e} \)

Ahí afirmas que \( \displaystyle \lim_{n\to \infty} \prod_{k=1}^n \frac{n+2k+1}{n+2k}=1 \), imagino usando que "el límite de un producto es el producto de los límites", pero aquí no aplica.

Título: Re: Suma de Riemann y Stolz
Publicado por: Farifutbol en 11 Noviembre, 2019, 12:57 pm
y por qué?
Título: Re: Suma de Riemann y Stolz
Publicado por: Luis Fuentes en 11 Noviembre, 2019, 01:00 pm
Hola

y por qué?

Porque eso no vale para productos infinitos. El ejemplo más conocido es:

\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}\displaystyle\prod_{n=1}^\infty\left(1+\dfrac{1}{n}\right) \)

El límite es el número \( e \), aunque el límite de cada factor del producto es \( 1 \).

Saludos.