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Matemática => Lógica, Conjuntos, Lenguajes Formales => Lógica => Mensaje iniciado por: Jambo en 03 Noviembre, 2019, 11:30 pm

Título: Dudas sobre semántica (y derivaciones)?
Publicado por: Jambo en 03 Noviembre, 2019, 11:30 pm
Hola!

Estoy haciendo unos ejercicios y al ver las soluciones me surgieron dudas; el ejercicio es el siguiente:

En este ejercicio trabajaremos con el tipo de similaridad \( <2;2;0> \) y un alfabeto con simbolo de predicado \( P \) y simbolo de funcion \( f \).
Se consideran las siguientes sentencias: \( \alpha_1 = (\forall{x})P(x,x) \), \( \alpha_2 = (\forall{x})(\forall{y})(P(x,y)\rightarrow{}P(y,x)\rightarrow{x=y}) \), \( \beta_1 = (\forall{x})(f(x,x)=x) \) , \( \beta_2 = (\forall{x})(\forall{y})(f(x,y)=f(y,x)) \) y \( \gamma  = (\forall{x})(\forall{y})(P(x,y)\leftrightarrow{f(x,y)=x}) \)

En cierta parte del ejercicio me piden probar que \( \beta_1 , \beta_2, \gamma \models \alpha_1 \). Yo, aplicando Completitud y correctitud, demostré que \( \beta_1 , \beta_2, \gamma \vdash \alpha_1 \), pero en las soluciones utilizan el teorema 2.4.5 (adjunto notas), pero antes dicen que \( \beta_1 , \gamma \models \alpha_1 \Rightarrow{} \beta_1 , \beta_2, \gamma \models \alpha_1 \) y no entiendo porque se puede excluir \( \beta_2 \)  ???

En otra parte del ejercicio me preguntan si \( \left\{{\beta_1,\beta_2,\gamma,\neg \alpha_2}\right\} \) tiene o no tiene modelo. La respuesta es que no tiene modelo, y yo lo que intente demostrar es que dicho conjunto deriva \( \bot \), el problema es que no sé si esta bien dicho razonamiento (y tampoco estoy pudiendo hacer la derivacion  :'().

Agradezco cualquier ayuda que me puedan brindar :)

Spoiler
Estos (https://eva.fing.edu.uy/pluginfile.php/59781/mod_resource/content/16/10_PredSemantica2019_hout.pdf) son los apuntes de donde estoy estudiando
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