Rincón Matemático

Matemática => Análisis Matemático => Cálculo Avanzado (espacios métricos - convergencia uniforme - Integral de Stieltjes) => Mensaje iniciado por: Juan Sánchez en 01 Noviembre, 2019, 01:10 pm

Título: Convergencia puntual y uniforme de una sucesión de funciones.
Publicado por: Juan Sánchez en 01 Noviembre, 2019, 01:10 pm
Me piden calcular la convergencia puntual y uniforme de la siguiente sucesión de funciones:  

\( f_n(x)=\begin{cases} n & \text{si}& \left |{x}\right |\leq 1/n \\0 & \text{si}& \left |{x}\right |\geq 1/n\end{cases} \)

Está claro que la sucesión \( f_n(x)=n \) no converge y la constantemente 0 sí (converge a 0). Entonces la sucesión converge puntalmente para \( \left |{x}\right |\geq 1/n \)

Entonces sólo tiene sentido preguntarse si la sucesión constantemente 0 converge uniformemente a 0 en \( \left |{x}\right |\geq 1/n \). Y eso está claro que sí.

Es correcto? Al ser un problema tan "trivial" pensé que hacía algo mal pero no veo el error
Título: Re: Convergencia puntual y uniforme de una sucesión de funciones.
Publicado por: Juan Pablo Sancho en 01 Noviembre, 2019, 04:13 pm
Mira este hilo:
http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=111038.msg439003#msg439003
Título: Re: Convergencia puntual y uniforme de una sucesión de funciones.
Publicado por: Luis Fuentes en 02 Noviembre, 2019, 03:33 pm
Hola

Me piden calcular la convergencia puntual y uniforme de la siguiente sucesión de funciones:  

\( f_n(x)=\begin{cases} n & \text{si}& \left |{x}\right |\leq 1/n \\0 & \text{si}& \left |{x}\right |\geq 1/n\end{cases} \)

Está claro que la sucesión \( f_n(x)=n \) no converge y la constantemente 0 sí (converge a 0). Entonces la sucesión converge puntalmente para \( \left |{x}\right |\geq 1/n \)

No tiene sentido que des una condición de convergencia que depende de \( n \).

Fíjate que para cualquier \( x \) fijo, con \( |x|>0 \) existen un \( n_0 \) tal que \( |x|>1/ \)n para cualquier \( n>n_ \)0 y por tanto a partir de ese \( n_0 \), \( f_n(x)=0 \) y así el límite puntual es cero.

Es inmediato por otra parte, que para \( x=0 \), \(  f_n(0)=n \) y no hay convergencia puntual en \( x=0 \).

Por supuesto mira también en enlace indicado por Juan Pablo Sánchez.

Saludos.