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Matemática => Álgebra => Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) => Mensaje iniciado por: rafam en 06 Abril, 2008, 04:23 am

Título: Matrices-Determinantes
Publicado por: rafam en 06 Abril, 2008, 04:23 am
Hola tengo un problema que no termino de hallar cómo resolver, éste es:

Demostrar que el determinante de A:

2a+p  2b+q  2c+r
2p+x  2q+y  2r+z 
2x+a  2y+b  2z+c

es 9 veces el determinante de B: 
a  b  c
p  q  r
x  y  z


\( \begin{vmatrix}
2a+p & 2b+q & 2c+r\\
2p+x & 2q+y & 2r+z  \\
2x+a & 2y+b & 2z+c
\end{vmatrix}= 9
\begin{vmatrix}
a&b&c\\
p&q&r\\
x&y&z
\end{vmatrix} \)

Bueno por ahora sólo sé que lógicamente si multiplicamos por 2 cada fila el determinante de la matriz A será 8 veces el de la matriz B, pero no hallo cómo hacer para que se convierta en 9 veces el determinante. De verdad necesito ayuda así que gracias de antemano.

Título: Re: Matrices-Determinantes
Publicado por: physlord en 06 Abril, 2008, 04:47 am
Pues simplemente usa la definición de determinante, será inmediato que el determinante de \( A=\left( 9\,a\,q-9\,b\,p\right) \,z+\left( 9\,c\,p-9\,a\,r\right) \,y+\left( 9\,b\,r-9\,c\,q\right) \,x \) es, de hecho, nueve veces el determinante de B.
Título: Re: Matrices-Determinantes
Publicado por: rafam en 06 Abril, 2008, 04:58 am
Hola physlord gracias por tu respuesta, pero no te he entendido, el problema es que no se que operaciones hacerle a la matriz B para conseguir la matriz A, mi profesor resolvió un problema parecido pero mucho mas sencillo indicando las operaciones por filas que se deben hacer y como cada una de ellas cambiaban el determinante de la matriz original, aquí es lo mismo.
Título: Re: Matrices-Determinantes
Publicado por: Luis Fuentes en 06 Abril, 2008, 10:01 pm
Hola

 Empieza utilizando la siguiente propiedad:

\(  det(u_1+v_1,u_2,u_3)=det(u_1,u_2,u_3)+det(v_1,u_2,u_3) \)

 donde \( u_1,v_1,u_2,u_3 \) son vectores fila.

 En tu caso:

\( \begin{vmatrix}2a+p & 2b+q & 2c+r\\2p+x & 2q+y & 2r+z  \\2x+a & 2y+b & 2z+c\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}2a & 2b & 2c\\2p+x & 2q+y & 2r+z  \\2x+a & 2y+b & 2z+c\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}p & q & r\\2p+x & 2q+y & 2r+z  \\2x+a & 2y+b & 2z+c\end{vmatrix}  \)

Saludos.
Título: Re: Matrices-Determinantes
Publicado por: rafam en 06 Abril, 2008, 11:55 pm
Gracias por sus respuestas, finalmente resolvi el ejercicio haciendo:

A=\( \begin{bmatrix}{2}&{1}&{0}\\{0}&{2}&{1}\\{1}&{0}&{2}\end{bmatrix} \)\( \begin{bmatrix}{a}&{b}&{c}\\{p}&{q}&{r}\\{x}&{y}&{z}\end{bmatrix} \)

Entonces por propiedad de determinante, si sacamos el determinante de cada matriz de la derecha nos queda que det(A)=9det(B).