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Matemática => Lógica, Conjuntos, Lenguajes Formales => Lógica => Mensaje iniciado por: AveFenix en 09 Agosto, 2019, 02:26 am

Título: Demostración de Conjuntos
Publicado por: AveFenix en 09 Agosto, 2019, 02:26 am
Hola , necesito ayuda con estos problemas , ando medio perdido , si alguien sabe las soluciones agradecería.

Mis dudas son las siguientes, es verdadero o falso?

si  \( A^c\cup{X^c=A^c\cup{Y^c\rightarrow{X=Y??}}} \)

y si  \( A\cap{X^C=A\cap{Y^C\rightarrow{X=Y?}}} \)


ando medio perdido si pudieran resolverlo con alguna explicación para poder entenderlo mejor, agradeciera!.

Título: Re: Demostración de Conjuntos
Publicado por: nia en 09 Agosto, 2019, 04:18 am
Si X=Y es lo mismo que decir que sus complementarios son idénticos.
Así que te da igual en este caso poner el gorrito o quitárselo a las conclusiones, de la derecha.

Y también puedes cambiar, en general, todas las expresiones de un mismo problema, poniendo gorro o quitándolo según vengan de casa sin o con el puesto, respectivamente.

El gorro no significa mas que una relación, de que uno tiene lo que le falta al otro y viceversa, no entrando en mas averiguaciones, así que mientras conserves la relación, los dos trozos de la tarta que hacen el total, dá igual a quien se lo pongas.

En el problema, las preguntas parece que son dos independientes, falsas ambas, a no ser que el "...y si..." de la segunda, sea un "...y si también...", donde la conclusión final podría ser cierta pero que creo que no aporta nada, luego es falsa.

Los diagramas de Venn, con tres "pelotingos", suelen orientar bien, quitando las porciones que no cuadren con las hipótesis o supuestos de partida.

Creo que en otro hilo anterior se analizó el problema casi gemelo, que era cierto, con el A operando siempre igual. Se sugirió un procedimiento.  >:D

Título: Re: Demostración de Conjuntos
Publicado por: martiniano en 09 Agosto, 2019, 08:33 am
Hola.

Son ambas falsas, como dice nia.

Puedes tomar como contraejemplo para ambos:

\( A=\{1,2\}  \)
\( X=\{2,3\}  \)
\( Y=\{2,4\}  \)

Y el conjunto universal que te apetezca siempre que los incluya.

Saludos.
Título: Re: Demostración de Conjuntos
Publicado por: nia en 12 Agosto, 2019, 01:48 pm
martiniano:

En el supuesto de ambas hipótesis de partida, la conclusión también sería falsa. (Hemos hablado de tres supuestos, los dos que parecen evidentes y un tercero medio_confuso, como medio_confuso es el enunciado.)

El caso es que, en estos problemas donde aparecen conjuntos en número finito, me recuerdan las tablas de verdad en lógica, y se puede intentar descomponer el espacio en porciones disjuntas, obteniendo algo equivalente, análogo.

En el caso de 3 conjuntos que nos ocupa (A, X e Y) podemos dividir el espacio como lo hace el diagrama de Venn, numerando las 8 (=2^3?) porciones  en que se divide el espacio, dando un ejemplo suficiente para tantear todas las hipótesis y conclusiones usuales.

Para una numeración que he puesto, a las 8 porciones que salen del diagrama de Venn (cualquier otra sale análoga):
U = { 1   2   3    4    5   6    7   8 },
y los tres conjuntos en general (cada uno queda en 4 partes):
A = { 1   2   3    4                      }
X = {      2   3         5   6            }
Y = {           3    4        6    7      }.

Nota
Para el caso de 2 conjuntos salen 4 porciones:
U = { 1   2   3    4                      },
y los 2 conjuntos en general (cada uno queda en 2 partes):
P = { 1   2                                 }
Q = {     2   3                            }.

Saludos.

Añadido el 29/08/2019
En teoría da lo mismo considerar las porciones que tomar representantes de cada una, con la misma numeración de nombre, que es indiferente en estos casos de particiones.