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Matemática => Álgebra => Estructuras algebraicas => Mensaje iniciado por: Julio_fmat en 14 Julio, 2019, 11:03 pm

Título: Grupo de Galois 2
Publicado por: Julio_fmat en 14 Julio, 2019, 11:03 pm
Sea \( K/k \) una extension de campos y sea \( f(x)\in k \left[x\right] \) un polinomio que tiene una raíz \( u\in K. \) Probar que para cada \( \sigma \in \text{Gal}(K/k) \) el elemento \( \sigma(u) \) es una raíz de \( f(x). \)

Hola, hice lo siguiente: Si \( \sigma \in \text{Gal}(K/k) \), entonces \( \sigma(u)=u \) para cada \( u\in K \). Pero \( u \) es raíz de \( f(x) \), entonces \( f(u)=0. \) Luego, \( f(\sigma(u))=f(u)=0 \), lo que implica que \( \sigma(u) \) es raiz de \( f(x). \) ¿Esta bien?
Título: Re: Grupo de Galois 2
Publicado por: geómetracat en 15 Julio, 2019, 01:06 am
No, está mal. Si \( \sigma \in Gal(K/k) \) lo que tienes es que \( \sigma(u) = u \) para todo \( u \in k \), y no para todo \( u \in K \).

Vuelve a intentarlo, teniendo en cuenta que \( f(x) \) es un polinomio con coeficientes en \( k \) y que todo \( \sigma \in Gal(K/k) \) fija todos los elementos de \( k \), en particular los coeficientes de \( f(x) \).