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Matemática => Lógica, Conjuntos, Lenguajes Formales => Teoría de Conjuntos => Mensaje iniciado por: Francolino en 13 Julio, 2019, 11:40 am

Título: ¿Es esta afirmación cierta? Con implica y función
Publicado por: Francolino en 13 Julio, 2019, 11:40 am
Hola.

Quería saber si la siguiente afirmación es verdadera o falsa.

Afirmación: Sean \( A,B \) dos conjuntos. \( A\subseteq{} B \Rightarrow{} f(A) \subseteq{} f(B) \) donde \( f \) es una función cualquiera.

Intuitivamente creo que sí lo es pero no he sabido cómo probarlo.

Saludos y gracias.
Título: Re: ¿Es esta afirmación cierta? Con implica y función
Publicado por: geómetracat en 13 Julio, 2019, 02:51 pm
Es cierta. Supón que \( A \subseteq B \) y vamos a ver que \( f(A) \subseteq f(B) \).
Si \( y \in f(A) \), existe un \( x \in A \) tal que \( y=f(x) \). Como \( A \subseteq B \) y \( x \in A \), tenemos que \( x \in B \), luego \( y=f(x) \in f(B) \). Esto prueba que \( f(A) \subseteq f(B) \).
Título: Re: ¿Es esta afirmación cierta? Con implica y función
Publicado por: Francolino en 14 Julio, 2019, 04:28 pm
Hola geómetracat y gracias por responder. :)

Cuando intenté hacer la prueba razoné de forma análoga a la tuya, sin embargo descarté el escenario dado que \( f \) recibe como argumento un conjunto, pero al decir \( y=f(x) \in f(B) \) veo un conflicto de tipos dado que \( x \) es simplemente un elemento; y es por esto que la prueba no me termina de convencer.  ???

Saludos.
Título: Re: ¿Es esta afirmación cierta? Con implica y función
Publicado por: sugata en 14 Julio, 2019, 05:44 pm
Pero \( x  \) es un elemento genérico, de ahí que funcione la solución.
Si \( x\in{A}\Rightarrow{}x\in{}B \) por ser \( A\subseteq{B} \)
Título: Re: ¿Es esta afirmación cierta? Con implica y función
Publicado por: Francolino en 14 Julio, 2019, 05:53 pm
Hola sugata y gracias por responder. :)

A lo que me refiero es a lo siguiente: si \( B = \{ a_1,\ldots, a_n \} \) entonces \( f(x) \in f(\{ a_1,\ldots, a_n \}) \), sin embargo \( x \) no tiene el mismo tipo que \( \{ a_1,\ldots, a_n \} \) por ser este último un conjunto.

Tal vez me estoy entreverando con los tipos de programación, por ejemplo:
Citar
int max(int valor1, int valor2)

En ese caso, ¿cómo es la definición de \( f \) aplicada sobre un elemento si por hipótesis sólo tengo la función definida para conjuntos?

Saludos.
Título: Re: ¿Es esta afirmación cierta? Con implica y función
Publicado por: sugata en 14 Julio, 2019, 07:03 pm
Una función sobre un conjunto es una función sobre cada uno de sus elementos. Si estos pertenecen a dos conjuntos, entonces....
Título: Re: ¿Es esta afirmación cierta? Con implica y función
Publicado por: martiniano en 14 Julio, 2019, 08:10 pm
Hola.

Básicamente es una cuestión de notación. Lo que utiliza geómetracat está muy extendido y se define de forma natural como: \( f(A) =\{f(x) :x\in{A}\}  \)

Saludos.

Título: Re: ¿Es esta afirmación cierta? Con implica y función
Publicado por: manooooh en 14 Julio, 2019, 08:25 pm
Hola

\( f(A) =\{f(x) :x\in{A}\}  \)

¿o \( \{x\in A:f(x)\} \)? ¿Cuál se prefiere, nombrar la condición primero o poner la definición primero?

Saludos y gracias
Título: Re: ¿Es esta afirmación cierta? Con implica y función
Publicado por: martiniano en 15 Julio, 2019, 08:05 am
Hola manooooh.

La verdad es que no entiendo demasiado bien a qué te refieres.

Dada una aplicación entre dos conjuntos \( f:X\rightarrow{Y} \) y un subconjunto \( A\subseteq{X} \) se define imagen de \( A \) como el subconjunto \( f(A)\in{Y}  \) formado por las imágenes de los elementos de \( A \) eso se suele abreviar como he puesto anteriormente, o si quieres también puedes incluir, en caso de que tengas el conjunto de llegada que \( f(x) \in{Y} \).

El conjunto que tu estás dando es un subconjunto del conjunto de salida, ya que está formado por elementos de \( A \) y este debe ser un subconjunto de aquél. Por otro lado, después de los dos puntos se suele poner la condición que debe cumplir un \( x\in{A} \) para estar en el conjunto que estás definiendo, pero esa condición no queda muy clara sólo con un \( f(x)  \), ¿no te parece?

Un saludo.
Título: Re: ¿Es esta afirmación cierta? Con implica y función
Publicado por: Francolino en 22 Julio, 2019, 08:45 am
Hola.

Básicamente es una cuestión de notación. Lo que utiliza geómetracat está muy extendido y se define de forma natural como: \( f(A) =\{f(x) :x\in{A}\}  \)

Saludos.

Ignoraba esta hecho. Gracias por aclararlo y al resto por participar de la discusión. :)

Saludos.