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Matemática => Matemática Discreta y Algoritmos => Mensaje iniciado por: yuzo en 09 Junio, 2019, 10:50 pm

Título: 5^x + 2 = 7^y no tiene soluciones, salvo la trivial, en los Naturales
Publicado por: yuzo en 09 Junio, 2019, 10:50 pm
Buenas a todos, tengo el siguiente ejercicio:

Demostrar que \( 5^x+2=7^y \) no tiene soluciones en \( \mathbb{N} \) distintas de la trivial \( x=y=1 \)

Lo primero que intenté fue despejar \( y \) tomando logaritmos neperianos pero no lo vi claro, ¿se podría demostrar con congruencias?

Gracias, un salduo.
Título: Re: 5^x + 2 = 7^y no tiene soluciones, salvo la trivial, en los Naturales
Publicado por: Juan Pablo Sancho en 09 Junio, 2019, 11:43 pm
Tienes que \( 5^x = 5 \cdot 5^{x-1} = 5 \cdot m  \).
\( 7^y = (5+2)^y = 2^y + 5 \cdot p  \) por el binomio de Newton.
\(  5 \cdot m +  2 = 2^y \cdot 5 \cdot p  \) entonces:
\(  5 \cdot m  - 5 \cdot p = 2^y - 2  \)
\(  5 \cdot (m-p) = 2^y - 2 = 2 \cdot (2^{y-1} - 1)  \) intenta seguir.
Título: Re: 5^x + 2 = 7^y no tiene soluciones, salvo la trivial, en los Naturales
Publicado por: yuzo en 10 Junio, 2019, 01:13 pm
Tienes que \( 5^x = 5 \cdot 5^{x-1} = 5 \cdot m  \).
\( 7^y = (5+2)^y = 2^y + 5 \cdot p  \) por el binomio de Newton.
\(  5 \cdot m +  2 = 2^y \cdot 5 \cdot p  \) entonces:
\(  5 \cdot m  - 5 \cdot p = 2^y - 2  \)
\(  5 \cdot (m-p) = 2^y - 2 = 2 \cdot (2^{y-1} - 1)  \) intenta seguir.

Hola Juan, gracias por contestar.

La verdad, no sabría como seguir con esa demostración, ¿podrías decirme como termina para verla completa?, no obstante he seguido pensando como hacerlo con congruencias.

Para \( x\geq{2} \) las potencias de 5 son de la forma \( 25 + a\cdot{100} \), entonces \( 5^x + 2 \) será \( 27 +a\cdot{100} \), por tanto:

\( 5^x + 2 \equiv{27}(mod 100) \)

En cambio, para cualquier \( y \) las potencias de 7 podrán tener restos:

\( 7^y\equiv{{1,7,43,49}}(mod 100) \)

No coinciden salvo x=y=1

¿Estaría bien así?
Un saludo.
Título: Re: 5^x + 2 = 7^y no tiene soluciones, salvo la trivial, en los Naturales
Publicado por: Juan Pablo Sancho en 10 Junio, 2019, 08:34 pm
Perdón yuzo lo que propuse está mal,para la revisión espera alguien más despierto.
Título: Re: 5^x + 2 = 7^y no tiene soluciones, salvo la trivial, en los Naturales
Publicado por: ingmarov en 10 Junio, 2019, 10:42 pm
Hola

Para que \( f(x)=5^x+2 \)     se cruce dos veces con     \( g(x)=7^x \)         g(x) debería desacelerar su crecimiento pero eso no ocurre. Por lo que solo se cruzan una vez cuando g(x) alcanza a f(x).

Supongo que con derivadas será más sencillo probarlo.

Saludos
Título: Re: 5^x + 2 = 7^y no tiene soluciones, salvo la trivial, en los Naturales
Publicado por: Juan Pablo Sancho en 10 Junio, 2019, 11:17 pm
Gracias por la mirada ingmarov.
Título: Re: 5^x + 2 = 7^y no tiene soluciones, salvo la trivial, en los Naturales
Publicado por: martiniano en 10 Junio, 2019, 11:37 pm
Hola. Buenas noches.

A mí la respuesta de yuzo me parece correcta.

En cuanto a la de ingmarov, no acabo de ver qué tiene que ver el hecho de que las funciones \( f(x)=5^x+2 \) y \( g(x)=7^x \) se corten una sola vez (para un valor de \( x \) que se podría hallar numéricamente) con lo de que la ecuación del enunciado tenga una única solución entera. Creo que habría que explicar algo más. Por ejemplo, las funciones \( f(x)=x \) y \( g(x)=2x \) se cortan una sola vez, en \( x=0 \). Sin embargo, la ecuación \( x=2y \) tiene infinitas soluciones enteras.

Un saludo.

Título: Re: 5^x + 2 = 7^y no tiene soluciones, salvo la trivial, en los Naturales
Publicado por: yuzo en 11 Junio, 2019, 03:44 pm
Perdón yuzo lo que propuse está mal,para la revisión espera alguien más despierto.

Sin problema Juan, gracias de todas formas  ;)

Gracias también ingmarov y martiniano, sería interesante ver otro tipo de demostración, a ver si alguien se anima y la deja por aquí.

Un saludo.
Título: Re: 5^x + 2 = 7^y no tiene soluciones, salvo la trivial, en los Naturales
Publicado por: ingmarov en 11 Junio, 2019, 06:58 pm
...
En cuanto a la de ingmarov, no acabo de ver qué tiene que ver el hecho de que las funciones \( f(x)=5^x+2 \) y \( g(x)=7^x \) se corten una sola vez (para un valor de \( x \) que se podría hallar numéricamente) con lo de que la ecuación del enunciado tenga una única solución entera. Creo que habría que explicar algo más. Por ejemplo, las funciones \( f(x)=x \) y \( g(x)=2x \) se cortan una sola vez, en \( x=0 \). Sin embargo, la ecuación \( x=2y \) tiene infinitas soluciones enteras.
...

No leí correctamente el problema, eso pasó. Perdón.

Saludos
Título: Re: 5^x + 2 = 7^y no tiene soluciones, salvo la trivial, en los Naturales
Publicado por: geómetracat en 11 Junio, 2019, 07:37 pm
A mí la solución de yuzo me parece perfecta.

Una solución con la misma idea pero algo más ligera de cálculo es tomar congruencias módulo \( 25 \).
Si \( x \geq 2 \),
\( 5^x+2 \equiv 2 \mod 25 \)
pero \( 7^2 = 49 \equiv -1 \mod 25 \)
luego los restos posibles módulo \( 25 \) de potencias de \( 7 \) son \( 7,-1,-7,1 \).