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Matemática => Análisis Matemático => Cálculo Avanzado (espacios métricos - convergencia uniforme - Integral de Stieltjes) => Mensaje iniciado por: manuvier en 26 Mayo, 2019, 03:00 am

Título: Convergencia uniforme
Publicado por: manuvier en 26 Mayo, 2019, 03:00 am
Si \( u_n=(\sin(x))^n-(\sin(x))^{(n+1)}  \), \( x\in{[0,\displaystyle\frac{\pi}{2}]} \)
¿\( \displaystyle\sum_{i=0}^n{u_n} \) converge uniformemente en \( x\in{[0,\displaystyle\frac{\pi}{2}]} \) ?
Título: Re: convergenia uniforme
Publicado por: Gustavo en 26 Mayo, 2019, 03:56 am
Si \( u_n=(sin(x))^n-(sin(x))^{(n+1)}  \), \( x\in{[0,\displaystyle\frac{\pi}{2}]} \)
¿\( \displaystyle\sum_{i=0}^n{u_n} \) converge uniformemente en \( x\in{[0,\displaystyle\frac{\pi}{2}]} \) ?

\( \displaystyle \sum_{n=0}^N u_n \) es telescópica igual a \( 1-\sin^{N+1}(x) \). Eso debería ayudarte, pero si no, pregunta de nuevo diciendo lo que has intentado.

PD: Usa una sola etiqueta [tex][/tex] para una fórmula, no es necesario separarlas.
Título: Re: convergenia uniforme
Publicado por: manuvier en 26 Mayo, 2019, 04:09 am
Si \( u_n=(sin(x))^n-(sin(x))^{(n+1)} , x\in{[0,\displaystyle\frac{\pi}{2}]} \)
llego a que \( u_n=(1-sen(x))(sen(x))^n \).
El expretremo superior de \( \left\{{u_n}\right\}=(\displaystyle\frac{1}{n+1})(\displaystyle\frac{n}{n+1})^{(n+1)} \)
Como \( \displaystyle\sum_{i=1}^n{(\displaystyle\frac{1}{n+1})(\displaystyle\frac{n}{n+1})^{(n+1)}} \) no converge no uedo concluir nada co respecto a la serie en cuestion
Título: Re: Convergencia uniforme
Publicado por: Gustavo en 26 Mayo, 2019, 04:19 am
No leíste mi mensaje anterior.

Si \( u_n=(sin(x))^n-(sin(x))^{(n+1)} , x\in{[0,\displaystyle\frac{\pi}{2}]} \)
llego a que \( u_n=(1-sen(x))(sen(x))^n \).
El expretremo superior de \( \left\{{u_n}\right\}=(\displaystyle\frac{1}{n+1})(\displaystyle\frac{n}{n+1})^{(n+1)} \)
Como \( \displaystyle\sum_{i=1}^n{(\displaystyle\frac{1}{n+1})(\displaystyle\frac{n}{n+1})^{(n+1)}} \) no converge no uedo concluir nada co respecto a la serie en cuestion

Eso funciona algunas veces cuando podemos acotar por algo sumable para luego usar el test M, pero aquí no nos conviene usarlo.

En este caso podemos encontrar una fórmula explícita para las sumas parciales, así que lo hacemos y vemos si esa sucesión de funciones converge uniformemente.
Título: Re: Convergencia uniforme
Publicado por: manuvier en 26 Mayo, 2019, 04:25 am
 Realmente no me doy uenta omo llegas a que \( u_n=1-sen(x)^{n+1} \)
¿Que transformación haces?
Título: Re: Convergencia uniforme
Publicado por: manuvier en 26 Mayo, 2019, 04:30 am
Tomas \( b_n=(sen(x))^{n} \) y aplicas la suma de una telescopica ????
Título: Re: Convergencia uniforme
Publicado por: Gustavo en 26 Mayo, 2019, 04:36 am
Realmente no me doy uenta omo llegas a que \( u_n=1-sen(x)^{n+1} \)
¿Que transformación haces?

No he dicho eso, sino que la suma de los \( u_n \) para \( n \) entre \( 0 \) y \( N \) es \( 1-\sin^{N+1}(x) \).

Puedes escribir los primeros términos de la suma para notar las cancelaciones:

\( \displaystyle\sum_{n=0}^N (\sin^nx-\sin^{n+1}x) = (1-\sin x)+(\sin x-\sin^2 x)+(\sin^2x-\sin^3 x)+\cdots + (\sin^Nx-\sin^{N+1}x) \)

Todos los términos se cancelan excepto el primero y el último.

Título: Re: Convergencia uniforme
Publicado por: manuvier en 26 Mayo, 2019, 04:38 am
Ok, creo que ya entendi. Muchas gracias.