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Matemática => Lógica, Conjuntos, Lenguajes Formales => Lógica => Mensaje iniciado por: AveFenix en 24 Mayo, 2019, 03:59 am

Título: Prueba que R es de Equivalencia.
Publicado por: AveFenix en 24 Mayo, 2019, 03:59 am
Sigo con este tipo de ejercicios, me queda un camino muy largo por delante, tema nuevo y dándole a lo que puedo.

Sean \( A=\{a,b,c,d    \}y B=\{b,c    \} \)

1-Se considera la relación \( R \) definida en \( P(A) \) tal que \( XRY\Leftrightarrow{X\cap{B=Y\cap{B}}} \).Prueba que \( R \) es de equivalencia.

2- Cual es la clase de {a,b,d}?



Respuesta, probablemente errónea ya que empece hace naaada este tema. Pero con ganas!.

Reflexiva: \( \forall{X\in{P(A)}} \)  \( X\cap{B=X\cap{B}} \) , por lo tanto \( XR_BX \)    , o me equivoque?

Simetrica: No estoy seguro de Esta

Transitiva: Ni tampoco de esta.


Me refiero que no se empezarla, ya que jamas hicimos un ejercicio asi, pero yo y mi ganas de hacer cosas diferentes y aprender con anticipacion puede mas...

que ocurre en la Simétrica y Transitiva?.

\( Si A=\{a,b,c,d    \}\Rightarrow{P(A)=  \{\emptyset \}, \{a \}, \{b \}, \{c \}, \{d \}, \{a,b \}, \{a,c \}, \{a,d \}, \{b,c \}, \{b,d \}, \{c,d \}, \ \{a,b,c \}, \{a,b,d \}, \{a,c,d \}, \{b,c,d \}, \{a,b,c,d \}} \)  , espero no haberme confundido, pero no se si sirva.


algún ejemplo para guiarme?
Título: Re: Prueba que R es de Equivalencia.
Publicado por: Luis Fuentes en 24 Mayo, 2019, 08:35 am
Hola

Sigo con este tipo de ejercicios, me queda un camino muy largo por delante, tema nuevo y dándole a lo que puedo.

Sean \( A=\{a,b,c,d    \}y B=\{b,c    \} \)

1-Se considera la relación \( R \) definida en \( P(A) \) tal que \( XRY\Leftrightarrow{X\cap{B=Y\cap{B}}} \).Prueba que \( R \) es de equivalencia.


Respuesta, probablemente errónea ya que empece hace naaada este tema. Pero con ganas!.

Reflexiva: \( \forall{X\in{P(A)}} \)  \( X\cap{B=X\cap{B}} \) , por lo tanto \( XR_BX \)    , o me equivoque?

Bien.

Citar
Simetrica: No estoy seguro de Esta

Transitiva: Ni tampoco de esta.

Pues por ejemplo la transitiva (te dejo la simétrica).

Tienes que demostrar que:

\( XRY,\quad YRZ\quad \Rightarrow{}\quad XRZ \)

Pero:

(i) \( XRY \) significa que \( X\cap B=Y\cap B \)
(ii) \( YRZ \) significa que \( Y\cap B=Z\cap B \)

Por tanto si \( XRY,\quad YRZ \) se tiene que:

\( X\cap B=Y\cap B=Z\cap B\quad \Longrightarrow{}\quad X\cap B=Z\cap B\quad \Longrightarrow{}\quad XRZ \)

Nota lo mecánico del asunto. El procedimiento en este tipo de comprobaciones siempre es de este estilo.

Saludos.
Título: Re: Prueba que R es de Equivalencia.
Publicado por: AveFenix en 24 Mayo, 2019, 04:14 pm
Clarito como el agua!; Por cierto tuve que escribir esto dos veces ya que por alguna rara razón se me cerro la ventana! :banghead:

Simetrica:

\( \forall{X,Y,Z\in{P(A):}} \)

\( XRY\rightarrow{X\cap{B=Y\cap{B\rightarrow{Y\cap{B=X\cap{B\rightarrow{YRX}}}}}}} \)   Esta correcto?


Consulta, si la siguiente pregunta es , Cual es la clase de {a,b,d}?
se refiere si es refleja , simétrica o transitiva??

Disculpa ya que así no creo un nuevo post para solo esa otra pregunta. Ahí modifico la inicial. Gracias por todo. :aplauso:
Título: Re: Prueba que R es de Equivalencia.
Publicado por: noisok en 24 Mayo, 2019, 04:58 pm
Como más adelante comenta Luis, en mi opinión, lo que justifica la demostración es la la propiedad de la simetría de la identidad, así que yo lo comentaria (pero vamos, es mi opinión).

La clase de equivalencia de \( \{a,b,d\} \) son todos aquellos elementos  \(  X \in P(A) \) relacionados con \( \{a,b,d\} \), es decir, aquellos en los cuales pertenece \( b \) y no pertenece \( c \), porque en ese caso no cumpliría que \( \{a,b,d\}\cap B= \{b\}=X\cap B \).
Título: Re: Prueba que R es de Equivalencia.
Publicado por: Luis Fuentes en 24 Mayo, 2019, 05:02 pm
Hola

Clarito como el agua!; Por cierto tuve que escribir esto dos veces ya que por alguna rara razón se me cerro la ventana! :banghead:

Simetrica:

\( \forall{X,Y,Z\in{P(A):}} \)

\( XRY\rightarrow{X\cap{B=Y\cap{B\rightarrow{Y\cap{B=X\cap{B\rightarrow{YRX}}}}}}} \)   Esta correcto?

Bien. Aunque sobra al principio que hables de \( Z \).

Citar
Consulta, si la siguiente pregunta es , Cual es la clase de {a,b,d}?
se refiere si es refleja , simétrica o transitiva??

Dada una relación de equivalencia, la case de un elemento es el conjunto formado por todos los elementos relacionados con el. En tu caso dado \( X\subset A \) la case de \( X \) es:

\( Cl(X)=\{Y\subset A|XRY\}=\{Y\subset A|X\cap B=Y\cap B\} \)

En particular:

\( Cl(\{(a,b,c)\}=\{Y\subset A|\{a,b,c\}\cap B=Y\cap B\}=\{Y\subset \{a,b,c,d\}|\{a,b,c\}\cap \{b,c\}=Y\cap \{b,c\}\}=\{Y\subset \{a,b,c,d\}|\{b,c\}=Y\cap \{b,c\}\}=\ldots \)

Termina...

Saludos.

P.D.
En mi opinión, y no estoy seguro, yo pienso que para demostrarlo bien igual habría que expresar todo en términos de relación de pertenencia. O en cualquier caso comentar que se supone cierta la conmuntación de la interesección.

No entiendo lo que quieres decir con "expresar todo en términos de relación de pertenencia".

Lo que usa en la propiedad simétrica no es la conmutación de la intersección (que por cierto es trivial) sino en todo caso la simetría de la igualdad. Es lo mismo escribir \( A=B \) que \( B=A \).
Título: Re: Prueba que R es de Equivalencia.
Publicado por: noisok en 24 Mayo, 2019, 05:08 pm

P.D.
En mi opinión, y no estoy seguro, yo pienso que para demostrarlo bien igual habría que expresar todo en términos de relación de pertenencia. O en cualquier caso comentar que se supone cierta la conmuntación de la interesección.

No entiendo lo que quieres decir con "expresar todo en términos de relación de pertenencia".

Lo que usa en la propiedad simétrica no es la conmutación de la intersección (que por cierto es trivial) sino en todo caso la simetría de la igualdad. Es lo mismo escribir \( A=B \) que \( B=A \).

Si eso quería decir, la simetría de la igualdad. Bueno pues eso, yo creo que hay que comentarlo. También recordar, que la identidad también tiene la propiedad transitiva.

Yo pienso que cuando uno esta aprendiendo un tema no debe concluirse nada como trivial. Pero es una opinión.  Lo que pasa normalmente, es que luego  hacemos pasos triviales o dudamos si lo son y resulta que no lo son ni de lejos. Quizá este no se el caso en que pueda suceder, pero dado que es un ejercicio educativo, yo lo veo más correcto que uno de los pasos basados en una justificación.
Título: Re: Prueba que R es de Equivalencia.
Publicado por: Luis Fuentes en 24 Mayo, 2019, 05:51 pm
Hola

Si eso quería decir, la simetría de la igualdad. Bueno pues eso, yo creo que hay que comentarlo. También recordar, que la identidad también tiene la propiedad transitiva.

Yo pienso que cuando uno esta aprendiendo un tema no debe concluirse nada como trivial. Pero es una opinión.  Lo que pasa normalmente, es que luego  hacemos pasos triviales o dudamos si lo son y resulta que no lo son ni de lejos. Quizá este no se el caso en que pueda suceder, pero dado que es un ejercicio educativo, yo lo veo más correcto que uno de los pasos basados en una justificación.

Estoy de acuerdo en parte; es bueno detallar las cosas. Pero pretender desmenuzar todo al máximo no tengo tan claro que sea práctico; uno tendría que llegar a basarse en los axiomas y definiciones más elementales de la axiomática bajo la cual trabaja; eso sería tedioso y poco natural.

En este caso me parece una opción asumible detallar lo que dices; no obstante, yo no lo veo necesario.

Saludos.
Título: Re: Prueba que R es de Equivalencia.
Publicado por: manooooh en 24 Mayo, 2019, 06:19 pm
Hola Luis

Cuando hablás de "uno tendría que llegar a basarse en los axiomas y definiciones más elementales de la axiomática bajo la cual trabaja", ¿a qué axiomática creés o te estás refiriendo que AveFenix usa? ¿Es la axiomática de ZFC?

Gracias. Es una curiosidad que tengo :).

Saludos
Título: Re: Prueba que R es de Equivalencia.
Publicado por: AveFenix en 24 Mayo, 2019, 06:54 pm
Hola


\( Cl(\{(a,b,c)\}=\{Y\subset A|\{a,b,c\}\cap B=Y\cap B\}=\{Y\subset \{a,b,c,d\}|\{a,b,c\}\cap \{b,c\}=Y\cap \{b,c\}\}=\{Y\subset \{a,b,c,d\}|\{b,c\}=Y\cap \{b,c\}\}=\ldots \)

Termina...

Saludos.


Gracias, estoy algo confundido con esta en particular,
cuando pusiste "a,b,c" en toda la resolución , quisiste poner en realidad "a,b,d"? ya que la "c" no la pedía,
me refiero que decía Cual es la clase de "(a,b,d) o, en realidad es algo que es asi y yo estoy perdido.


por cierto , estoy en este momento por irme, pero apenas regrese intentare hacerla, saludos :aplauso:

Muchas gracias a todos.
Título: Re: Prueba que R es de Equivalencia.
Publicado por: Luis Fuentes en 24 Mayo, 2019, 07:00 pm
Hola

Cuando hablás de "uno tendría que llegar a basarse en los axiomas y definiciones más elementales de la axiomática bajo la cual trabaja", ¿a qué axiomática creés o te estás refiriendo que AveFenix usa? ¿Es la axiomática de ZFC?

En realidad probablemente a AveFenix no le hayan hablado de axiomática alguna; ni en principio falta que hace. Simplemente la habrán dado algunas definiciones, entendiendo que éstas se basan en conceptos suficientemente obvios de manera intuitiva sin entrar en honduras.

Si le han dado algo será, supongo, lo mas estándar: ZFC.

Saludos.
Título: Re: Prueba que R es de Equivalencia.
Publicado por: Luis Fuentes en 24 Mayo, 2019, 07:10 pm
Hola

\( Cl(\{(a,b,c)\}=\{Y\subset A|\{a,b,c\}\cap B=Y\cap B\}=\{Y\subset \{a,b,c,d\}|\{a,b,c\}\cap \{b,c\}=Y\cap \{b,c\}\}=\{Y\subset \{a,b,c,d\}|\{b,c\}=Y\cap \{b,c\}\}=\ldots \)


Gracias, estoy algo confundido con esta en particular,
cuando pusiste "a,b,c" en toda la resolución , quisiste poner en realidad "a,b,d"? ya que la "c" no la pedía,
me refiero que decía Cual es la clase de "(a,b,d) o, en realidad es algo que es asi y yo estoy perdido.

¡Claro! ¡Me confundí!. Yo ahí calculé la clase de \( \{a,b,c\} \). Pero mejor... si lo has entendio ahora calcula tu la que te pedían, es decir, \( Cl(\{a,b,d\}) \).

Saludos.