Rincón Matemático

Matemática => Lógica, Conjuntos, Lenguajes Formales => Lógica => Mensaje iniciado por: manooooh en 09 Mayo, 2019, 03:51 am

Título: ¿Una proposición y su negada pueden no llevar a una contradicción?
Publicado por: manooooh en 09 Mayo, 2019, 03:51 am
Hola!

Esta pregunta debe ser demasiado tonta, ya que con leyes lógicas todo puede simplificarse...

Sabemos que \( p\wedge\neg p=\mathrm C \) (contradicción). Esto es obvio.

Ahora bien, en proposiciones más complejas, como \( (p\vee q)\implies(r\wedge(\neg p\vee m)) \), sin operar uno no sabe si la anterior es una tautología, contingencia o contradicción.

Sin embargo, no sé por qué mi cerebro cree que la última proposición es siempre una contradicción, porque al ver \( p \) y \( \neg p \) automáticamente bloquea todo intento de pensamiento y dice "Ahá, como están las dos es imposible sacar algo bueno, así que es una contradicción".

¿No les pasa eso?

Disculpen que sea algo más psicológico que lógico, pero no puedo sacarme de la cabeza pensar en que toda proposición con \( p \) y \( \neg p \) es una contradicción, sin importar operandos ni operadores de por medio.

Gracias!
Saludos
Título: Re: ¿Una proposición y su negada pueden no llevar a una contradicción?
Publicado por: argentinator en 09 Mayo, 2019, 07:36 am
Por suerte a mí no me pasa eso. A mí me parece una contradicción solamente después que probé de un modo u otro que lo es. Antes no me parece nada, lo cual es coherente con el hecho de estar ignorando la respuesta.
Título: Re: ¿Una proposición y su negada pueden no llevar a una contradicción?
Publicado por: Luis Fuentes en 09 Mayo, 2019, 10:39 am
Hola

¿No les pasa eso?

No.

Citar
Disculpen que sea algo más psicológico que lógico, pero no puedo sacarme de la cabeza pensar en que toda proposición con \( p \) y \( \neg p \) es una contradicción, sin importar operandos ni operadores de por medio.

Pues piensa en el contrajemplo más tonto: ¿manooooh es humano o no es humano?. ¿Es contradictorio?.

\( p\vee \neg p \).

Saludos.
Título: Re: ¿Una proposición y su negada pueden no llevar a una contradicción?
Publicado por: feriva en 09 Mayo, 2019, 11:02 am


¿No les pasa eso?

Disculpen que sea algo más psicológico que lógico, pero no puedo sacarme de la cabeza pensar en que toda proposición con \( p \) y \( \neg p \) es una contradicción, sin importar operandos ni operadores de por medio.


Hola, manooooh, buenos días.

No me pasa, pero quizá porque ya me lo sé. Había un chiste de uno que decía, “yo sólo sé que no sé nada, y porque me lo han dicho, que si no...”.

Yo sé que P dice o afirma algo sobre una cosa más tangible, un “objeto”; nos habla de una propiedad, condición o lo que sea, que recae sobre un “algo”, sobre una entidad. Así, por ejemplo, “ser sólido” no es verdad ni mentira; “el agua” tampoco es verdad ni mentira. Sin embargo, es claramente cierto que es falso que el agua sea un sólido.

Psicológicamente, a priori, quizá te pase eso, que sin pensarlo estás viendo en “P” una cosa tangible.

Aclaro lo que he dicho, que a lo mejor se puede interpretar otra cosa.

No es que yo piense que lo entiendes mal, creo entenderte que te refieres a algo subconsciente, como si al ver esto junto \( p
  \), \( \neg p  \) en una expresión tuvieras un flash por unas décimas de segundo que te dice que no puede ser. Y pienso que es eso que decía, que,también de forma inconsciente, guardas \( p \) en algún rincón de tu cabeza como un objeto que cumple una propiedad en vez de como un predicado, como si una voz interior de primeras te dijera “número par e impar”; pero no así, de una forma abstracta, sin un ejemplo concreto.
Es decir, tú si sabes la diferencia entre el concepto de predicado, afirmación, sentencia o como se quiera decir, y el concepto de objeto que cumple una propiedad, pero no la has interiorizado del todo.

Creo que unas duchas de agua fría y un descuartizamiento moderado por parte de nia arreglarían el problema; vuelve mañana a la consulta :D (es broma)

Saludos.

Saludos.
Título: Re: ¿Una proposición y su negada pueden no llevar a una contradicción?
Publicado por: geómetracat en 09 Mayo, 2019, 11:09 am
De hecho, en tu pregunta tienes el contraejemplo más obvio. Fíjate que como \( p \wedge \neg p \) es una contradicción, entonces
\( p \wedge \neg p \rightarrow q \)
es una tautología.
Título: Re: ¿Una proposición y su negada pueden no llevar a una contradicción?
Publicado por: Elius en 10 Mayo, 2019, 05:11 am
Hay intentos de crear sistemas lógicos que "conviven" con las contradicciones. Los llaman sistemas "paraconsistentes".
Algo más bizarro aún es el "dialetheísmo" (del griego, dos verdades). Sostiene que hay sentencias que son verdaderas y falsas a la vez; una especie de gato de Schrödinger de la lógica.
Ambas son consecuencias de las paradojas. El filósofo británico Graham Priest ha dedicado casi toda su vida estos temas.
Título: Re: ¿Una proposición y su negada pueden no llevar a una contradicción?
Publicado por: Elius en 10 Mayo, 2019, 06:33 am
Tu intuición es útil si la fórmula está en la Forma Normal Disyuntiva. Si no lo está, siempre puede convertirse.
En ese caso, una fórmula es contradictoria si y sólo si cada cláusula disyuntiva tiene al menos una variable afirmada y negada.
Título: Re: ¿Una proposición y su negada pueden no llevar a una contradicción?
Publicado por: manooooh en 10 Mayo, 2019, 07:14 am
Hola a todos y gracias por sus valiosas respuestas

Elius, muy interesante lo que planteás, eso de pasarlo a FND, ¡no se me había ocurrido!

Gracias.

Saludos
Título: Re: ¿Una proposición y su negada pueden no llevar a una contradicción?
Publicado por: Elius en 15 Mayo, 2019, 03:24 am
Hola, manooooh.
La conversión a FND de una fórmula cualquiera puede tener un número de pasos que depende exponencialmente de la cantidad de literales (no de variables) que tenga. Por lo que en cuanto a eficiencia, puede ser un método aún más costoso que el de las tablas de verdad (que es exponencial respecto de las variables).
Pero creo haber hallado una forma de hacerlo, que aparentemente es de orden lineal o polinómico. O por lo menos es más divertido!

Se trata de dibujar la fórmula como viene, sin conversión alguna, en un circuito de cables. No el de compuertas electrónicas que resulta un laberinto muy poco intuitivo. Adjunto un gráfico.

(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=109027.0;attach=20882)

Teniendo ese gráfico, cada camino entre el inicio (círculo verde) y el final (triángulo rojo) es una cláusula disyuntiva. Y es muy fácil encontrar visualmente si una fórmula es consistente o no. En el ejemplo, se ve que es consistente, con dos combinaciones (caminos) posibles.

Si negamos la última aparición de la variable X2, vemos muy fácilmente que es inconsistente.

Estoy intentando hacer un programa que use este método, pero sin pasar por la conversión a grafo. Simplemente la forma de leer los literales está dada por los símbolos de agrupación y por lo operadores lógicos.

Para dar una idea, si tenemos la fórmula en un arreglo de caracteres, podemos ir trazando los caminos teniendo en cuenta que por cada grupo disyuntivo hay tantos caminos como literales. Se toma un literal, se lo elimina del arreglo, y se pasa al final del grupo disyuntivo, hasta encontrar otro grupo, y así sucesivamente.
Todavía tengo que ver si este algoritmo sería exponencial o no.

Si alguien tiene interés en desarrollar ese programa, podemos colaborar. Creo que tiene muchas aplicaciones al diseño de los circuitos electrónicos, y también interesantes usos pedagógicos. Yo lo he comprobado incluso con niños de primaria, entre 6 y 11 años. Los caminos son intuitivos, no hay mucho que explicar, y las variables son puentes levadizos: afirmada, el puente está accesible; negada, el puente está levantado y no hay camino por allí. Incluso se podría pensar como un juego, con animación gráfica. No es complejo, pero sí muy laborioso, y solo no tengo ánimos.

En este artículo:

https://www.academia.edu/s/da61caba7e/linear-sat-decider-np-completeness-in-question?source=link

...trato el tema, junto a otros relacionados.

Saludos


Título: Re: ¿Una proposición y su negada pueden no llevar a una contradicción?
Publicado por: Elius en 15 Mayo, 2019, 03:47 am
Una respuesta rápida a tu pregunta sería:

Sí (es decir, puede no ser contradictoria la fórmula que contiene la proposición y su negación), en caso en que estén en ramas distintas del árbol de derivación, o bien que, aún estando en la misma rama, haya al menos otra rama libre de pares contradictorios.

Saludos