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Matemática => Análisis Matemático => Análisis Funcional - Operadores => Mensaje iniciado por: Eparoh en 03 Mayo, 2019, 10:42 pm

Título: Problema de extensión de aplicacion lineal y continua
Publicado por: Eparoh en 03 Mayo, 2019, 10:42 pm
Hola, tengo el siguiente problema planteado:

Sea \( Y \) un subespacio del espacio normado \( X \) y \( T:Y \longrightarrow l_{\infty} \) una aplicación lineal y continua. Demuestra que \( T \) puede extenderse a una aplicación \( S: X \longrightarrow l_{\infty} \) lineal y continua tal que  \( \left\|{S}\right\|= \left\|{T}\right\| \).

La verdad es que no se ni como empezar, ¿alguna idea?
Un saludo, y muchas gracias por su tiempo.
Título: Re: Problema de extensión de aplicacion lineal y continua
Publicado por: jbgg en 04 Mayo, 2019, 03:33 pm
Ya que los elementos de \( \ell_\infty \) tienen coordenadas (reales o complejas), para la definición de un operador \( S:X\rightarrow\ell_\infty \) basta definirlo por coordenadas. Usando esta idea y que la norma en \( \ell_\infty \) es la norma infinito, puedes llegar a definir el operador \( S \) aplicando un teorema (bastante) conocido.

No voy a dar más pistas, pero si necesitas que lo detalle más me comentas.
Título: Re: Problema de extensión de aplicacion lineal y continua
Publicado por: Eparoh en 04 Mayo, 2019, 07:48 pm
Ya que los elementos de \( \ell_\infty \) tienen coordenadas (reales o complejas), para la definición de un operador \( S:X\rightarrow\ell_\infty \) basta definirlo por coordenadas. Usando esta idea y que la norma en \( \ell_\infty \) es la norma infinito, puedes llegar a definir el operador \( S \) aplicando un teorema (bastante) conocido.

No voy a dar más pistas, pero si necesitas que lo detalle más me comentas.

Vale, me bloquee tontamente sin pensar en la forma de los elementos de \( \ell_\infty \), muchas gracias por la indicación ;)
Creo que la solución sería esta:

Definamos para cada \( y \in Y \), la aplicación \( T_n:Y \longrightarrow \mathbb{R} \) como la componente n-ésima de \( T(y) \in \ell_\infty \), que denotaremos por \( T_n(y)= \left({T(y)}\right)_n \).
Entonces, tenemos que \( T_n \) es lineal pues dados \( \alpha, \beta \in \mathbb{R} \) e \( y, z \in Y \) se tiene que

\( T_n(\alpha y + \beta z)=\left( T(\alpha y + \beta z) \right)_n = \left(\alpha T(y) + \beta T(z) \right)_n=\alpha (T(y))_n + \beta (T(z))_n= \alpha T_n(y) + \beta T_n(z) \)

y es continua pues dado \( y \in Y \), se cumple que

\( \left |{T_n(y)}\right | = \left |{(T(y))_n}\right | \leq \displaystyle\sup_{n \geq 1}{(T(y))_n}=  \left\|{T(y)}\right\|_{\infty} \leq  \left\|{T}\right\|  \left\|{y}\right\|_Y \)

Con esto, para cada \( n \in \mathbb{N} \) se tiene que \( T_n \in Y^* \) y por el teorema de Hanh-Banach, existe \( S_n \in X^* \) tal que \( S_n \left|_Y \equiv T_n \right. \) y  \( \left\|{S_n}\right\|_{X^*}= \left\|{T_n}\right\|_{Y^*} \).
Ahora, para cada \( x \in X \) tenemos que \( \{S_n(x)\}_{n \geq 1} \in \ell_{\infty} \) pues se cumple que para cada \( n \in \mathbb{N} \)

\( \left |{S_n(x)}\right | \leq  \left\|{S_n}\right\|  \left\|{x}\right\| \leq \displaystyle\sup_{n \geq 1}{ \left\|{S_n}\right\|}  \left\|{x}\right\|= \displaystyle\sup_{n \geq 1}{ \left\|{T_n}\right\|}  \left\|{x}\right\| = \displaystyle\sup_{n \geq 1}{\displaystyle\sup_{y \in B_Y}{\left |{T_n(y)}\right |}}  \left\|{x}\right\|=\displaystyle\sup_{y \in B_Y}{\displaystyle\sup_{n \geq 1}{\left |{T_n(y)}\right |}}  \left\|{x}\right\|=\displaystyle\sup_{y \in B_Y}{ \left\|{T(y)}\right\|_{\infty}}  \left\|{x}\right\|=  \left\|{T}\right\|  \left\|{x}\right\| \)

Y podemos pues definir \( S: X \longrightarrow{} \ell_{\infty} \) como \( S(x)=\{S_n(x)\}_{n \geq 1} \) y es claro que \( S \) es lineal, pues cada \( S_n \) lo es. Además es también continua pues dado \( x \in X \)

\( \left |{S_n(x)}\right | \leq  \left\|{S_n}\right\|  \left\|{x}\right\| =  \left\|{T_n}\right\|  \left\|{x}\right\|, \forall n \in \mathbb{N} \)

y así

\(  \left\|{S(x)}\right\|_{\infty} = \displaystyle\sup_{n \geq 1}{\left |{S_n(x)}\right |} \leq \displaystyle\sup_{n \geq 1}{ \left\|{T_n}\right\|} \left\|{x}\right\|= \left\|{T}\right\|  \left\|{x}\right\| \)

Además, con esta última desigualdad, tenemos también que

\(  \left\|{S}\right\|=\displaystyle\sup_{x \in B_X}{\left\|{S(x)}\right\|_{\infty}} \leq \displaystyle\sup_{x \in B_x}{ \left\|{T}\right\|  \left\|{x}\right\|}= \left\|{T}\right\| \)

y

\(  \left\|{T}\right\|=\displaystyle\sup_{y \in B_Y}{\left\|{T(y)}\right\|_{\infty}}=\displaystyle\sup_{y \in B_Y}{\left\|{S(y)}\right\|_{\infty}} \leq \displaystyle\sup_{x \in B_X}{\left\|{S(x)}\right\|_{\infty}}= \left\|{S}\right\| \)

con lo que finalmente, \(  \left\|{S}\right\|= \left\|{T}\right\| \).

De nuevo, gracias por la respuesta. Un saludo.