Hola, buenas, tengo este ejercicio de cálculo en el que hay que demostrar lo siguiente:
Sean\( \left\{{x}_n\right\} \) e\( \left\{{y}_n\right\} \) dos sucesiones de términos positivos tales que para todo \( {n}\geq{n_0} \) natural se tiene que:
\( \displaystyle\frac{x_{n+1}}{x_n} \leq{\displaystyle\frac{y_{n+1}}{y_n}} \)
Probar que si \( \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(y_n) \) es convergente, entonces también es convergente \( \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(x_n) \).
Mensaje corregido desde la administración.
Recuerda leer y seguir las reglas (http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=678.0) del mismo así como el tutorial del LaTeX (http://rinconmatematico.com/instructivolatex/formulas.htm) para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.
Tienes que poner la etiqueta [tex] justo delante de cada fórmula y la etiqueta [/tex] justo detrás de cada fórmula, y darle a previsualizar antes de publicar para ver si las cosas están bien.
Querías escribir:
Hola, buenas, tengo este ejercicio de cálculo en el que hay que demostrar lo siguiente:
Sean\( \left\{{x}_n\right\} \) e\( \left\{{y}_n\right\} \) dos sucesiones de términos positivos tales que para todo \( {n}\geq{n_0} \) natural se tiene que:
\( \displaystyle\frac{x_n+1}{x_n} \leq{\displaystyle\frac{y_n+1}{y_n}} \)
Probar que si \( \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(y_n) \) es convergente, entonces también es convergente \( \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(x_n) \).
Si haces click izquierdo en cada ecuación puedes ver los códigos, aunque deberías leer el manual de \( \LaTeX \) del foro.
Pero a mi me chirría, creo que querías poner el +1 también en el subíndice. Échale un vistazo al criterio de d'Alembert.
P.D.: El tema tampoco va aquí, sino en cálculo de 1 variable.
Hola
Hola, buenas, tengo este ejercicio de cálculo en el que hay que demostrar lo siguiente:
Sean\( \left\{{x}_n\right\} \) e\( \left\{{y}_n\right\} \) dos sucesiones de términos positivos tales que para todo \( {n}\geq{n_0} \) natural se tiene que:
\( \displaystyle\frac{x_{n+1}}{x_n} \leq{\displaystyle\frac{y_{n+1}}{y_n}} \)
Probar que si \( \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(y_n) \) es convergente, entonces también es convergente \( \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(x_n) \).
La condición dada equivale a que:
\( \displaystyle\frac{x_{n+1}}{y_{n+1}} \leq{\displaystyle\frac{x_{n}}{y_n}} \)
Por tanto la sucesión \( x_n/y_n \) es decreciente y positiva; por tanto convergente y en particular acotada: \( x_n/y_n\leq M. \)
Entonces \( x_n\leq My_n \) y por el criterio de comparación directa (https://es.wikipedia.org/wiki/Serie_convergente#Criterio_de_comparaci%C3%B3n_directa) si \( \sum My_n=M\sum y_n \) converge, se deduce que \( x_n \) converge.
Saludos.