Revisa lo anterior ya que me parece hay varios errores. Lo que se trata de demostrar es que \( \nu^* \) es subaditiva, es decir que
\( \displaystyle \nu^*\left(\bigcup\limits_{i=1}^{} B_{i}\right) \leq{\displaystyle\sum_{i=1}^\infty{\nu^*(B_i)}} \)
Los \( A_n \) no está claro lo que son. Por otra parte te faltó añadir que \( \bigcup\zeta\supset\omega \). Luego, supongo que \( \omega=\Omega \) y que querías escribir \( \sigma \)-álgebra en vez de o-álgebra, ¿no?
también me pregunto si \( \zeta \) que es una colección de subconjuntos necesariamente debe ser un recubrimiento del espacio \( \Omega \), no sé, contadme todo lo que sepáis, que encantado os leeré.
No, no tiene porque ser un recubrimiento.
Entonces, ¿cómo defines la medida exterior de un subconjunto cualquiera de \( \Omega \)?
Había leído en un libro de análisis que una medida exterior en un conjunto \( \Omega \) se definía a través de una cobertura conforme \( \mathcal K \) (conforming cover en inglés), que no es más que una colección de subconjuntos de \( \Omega \) tales que contiene una sucesión \( (A_k) \) cuya unión cubre a \( \Omega \), y además contiene el conjunto vacío.
Entonces a partir de eso una función \( \nu:\mathcal K\to [0,\infty] \) con \( \nu(\emptyset)=0 \) define una medida exterior \( \mu^* \) en \( \Omega \) de esta manera
\( \displaystyle \mu^*(B):=\inf\left\{\sum_{k=0}^\infty \nu(A_k): \bigcup_{k=0}^\infty A_k\supset B,\, A_k\in\mathcal K\right\} \)
para un subconjunto cualquiera \( B\subset\Omega \). Pero si \( \bigcup\mathcal K\not\supset\Omega \) entonces es posible que \( B \) no sea cubierto por ninguna colección contable en \( \mathcal K \). En ese caso, ¿qué valor le damos a la medida exterior de \( B \), o cómo se resuelve este caso?