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Matemática => Teoría de números => Teorema de Fermat => Mensaje iniciado por: Fernando Moreno en 21 Diciembre, 2018, 05:55 pm

Título: Intento n = 4 sin descenso
Publicado por: Fernando Moreno en 21 Diciembre, 2018, 05:55 pm
Hola,

Supongo que  \( z^4=x^4+y^4 \) ,  para  \( x,y,z \)  enteros, coprimos dos a dos;  \( x\,\vee\,y \) ,  par.

Por tanto:  \( (z^2)^2=(x^2)^2+(y^2)^2 \)  y sus soluciones en forma de ternas pitagóricas serán:

\( z^2=p^2+q^2 \)  ;  \( x^2=2pq \)  ;  \( y^2=p^2-q^2 \) ;  para  \( p,q \)  coprimos, uno de ellos par.

Sabemos entonces que:  \( z^2=x^2+y^2-d \) ;  para un  “ \( d \) “  entero menor que el menor de los valores de  " \( x^2,y^2 \) " .  Luego:  \( d=x^2+y^2-z^2 \)   \( \Rightarrow  \)  \( d=2pq+p^2-q^2-p^2-q^2\,=\,2q(p-q) \) .  Como:  \( y^2=p^2-q^2\,=\,(p+q)\,(p-q) \)  e  “ \( y^2 \) “  es impar; entonces  “ \( p+q \) “  -y-  “ \( p-q \) “ ,  que son coprimos; serán cuadrados. Por otra parte, si:  \( x^2=2pq \)  -y-  “ \( q \) “  es par; entonces  “ \( p \) “  -y-  “ \( 2q \) “ ,  serán también cuadrados. De esta forma:  \( d=2q(p-q) \)  será un cuadrado -y-:  \( d=d’^2 \) .

Si  “ \( 3 \) “  no dividiera a ninguna de las variables de:  \( z^4=x^4+y^4 \) . Módulo 3, tendríamos:  \( 1=1+1 \) ;  puesto que sólo  " \( 1 \) "  es el residuo cuadrático de 3 (si excluimos al 0). Como no puede ser; sabemos que  “ \( 3 \) “  divide a una de estas tres variables. En concreto á  “ \( x \) “  ó  á  “ \( y \) “ .  Pues si dividiera á  “ \( z \) “ ;  tendríamos que módulo 3:  \( 0=1+1 \) .  Lo que tampoco puede ser.

Como:  \( z^2=p^2+q^2 \)  -y-  \( 3\nmid z \) ;  entonces, módulo 3:  \( 1=1+0 \)  -ó-  \( 1=0+1 \) . Es decir, que  “ \( 3 \) “  debe dividir á  “ \( q^2 \) “  -ó-  “ \( p^2 \) “  y tampoco  “ \( y^2 \) “ \( =p^2-q^2 \)  podrá ser por tanto múltiplo de 3. En concreto debe dividir á  “ \( q^2 \) “ ;  puesto que:  \( p^2=z^2-q^2 \)   \( \wedge \)   \( p^2=y^2+q^2 \)  -y- módulo 3:   \( 1=1-0 \)   \( \wedge \)   \( 1=1+0 \) ; no lo contrario.

Tenemos por lo tanto que en el caso del UTF4,  “ \( 3 \) “  dividirá siempre al término “par”; al que en este caso hemos caracterizado como  “ \( x \) “.

Pero ocurre como hemos visto al principio que:  \( z^2=x^2+y^2-d’^2 \) .  Y módulo 3:  \( 1=0+1-1 \) .  Lo que no puede ser. Siendo esto una contradicción.


Un saludo,
Título: Re: Intento n = 4 sin descenso
Publicado por: Fernando Moreno en 27 Diciembre, 2018, 06:51 pm
Hola Luis,

¿Puedo poner esta demostración en el hilo que tengo en la Revista del Foro?


Un saludo,
Título: Re: Intento n = 4 sin descenso
Publicado por: Luis Fuentes en 27 Diciembre, 2018, 10:13 pm
Hola

¿Puedo poner esta demostración en el hilo que tengo en la Revista del Foro?

  Se me había pasado. Pensé que había respondido.

Pero ocurre como hemos visto al principio que:  \( z^2=x^2+y^2-d’^2 \) .  Y módulo 3:  \( 1=0+1-1 \) .  Lo que no puede ser. Siendo esto una contradicción.

  Creo que no está bien. De todo lo anterior lo que deduces es que \( d’ \) es múltiplo de \( 3 \) y no hay contradicción ninguna por tanto.

Saludos.
Título: Re: Intento n = 4 sin descenso
Publicado por: Fernando Moreno en 28 Diciembre, 2018, 08:32 am
Hola Luis. Gracias

Me maravillo de cómo no me he dado cuenta de que podía ser múltiplo de 3. ¡Qué ceguera! jaja. Supongo que si el amor no fuera ciego, sería otra cosa,
Título: Re: Intento n = 4 sin descenso
Publicado por: Luis Fuentes en 28 Diciembre, 2018, 09:16 am
Hola

Me maravillo de cómo no me he dado cuenta de que podía ser múltiplo de 3. ¡Qué ceguera! jaja. Supongo que si el amor no fuera ciego, sería otra cosa,

Lo curioso es que en el fondo tu mismo demuestras que lo es.  ;)

Como:  \( z^2=p^2+q^2 \)  -y-  \( 3\nmid z \) ;  entonces, módulo 3:  \( 1=1+0 \)  -ó-  \( 1=0+1 \) . Es decir, que  “ \( 3 \) “  debe dividir á  “ \( q^2 \) “  -ó-  “ \( p^2 \) “  y tampoco  “ \( y^2 \) “ \( =p^2-q^2 \)  podrá ser por tanto múltiplo de 3. En concreto debe dividir á  “ \( q^2 \) “ ;  puesto que:  \( p^2=z^2-q^2 \)   \( \wedge \)   \( p^2=y^2+q^2 \)  -y- módulo 3:   \( 1=1-0 \)   \( \wedge \)   \( 1=1+0 \) ; no lo contrario.

Ahí pruebas que \( q \) es múltiplo de \( 3 \). Y antes tenías:

De esta forma:  \( d=2q(p-q) \)  será un cuadrado -y-:  \( d=d’^2 \) .

Por tanto \( d \) que es múltiplo de \( q \), es múltiplo de \( 3 \).

Saludos.