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Matemática => Teoría de números => Teorema de Fermat => Mensaje iniciado por: lee_bran en 16 Diciembre, 2018, 12:59 am

Título: UTF, ¿Demostración sencilla? ¡vergüenza me da!
Publicado por: lee_bran en 16 Diciembre, 2018, 12:59 am
Qué bonito sería que la prueba se redujera a unas pocas líneas que se me ocurrieron durante un tedioso viaje sin nada mejor que hacer que pensar en esto. En fin, ¡allá va mi intento de prueba!

Último teorema de Fermat

Si n es un número entero mayor que 2, entonces no existen números enteros positivos x, y  y z tales que se cumpla la igualdad:
 \( x^n + y^n =z^n \)

Demostración:
Procederemos por reducción al absurdo. Supondremos que existen soluciones (x, y, z) enteras positivas tales que \( x^n + y^n =z^n \).

Además nos serviremos del desarrollo del binomio de Newton para \( (x+y)^n \) , donde \( C(n,k) \) representa el coeficiente binomial conocido como \( n \) sobre \( k \)

\( (x+y)^n = x^n +C(n,n-1)x^{n-1} y + … + C(n,1)x y^{n-1} + y^n \)

Como por hipótesis \( C(n, k), x \) e \( y \) son números positivos, eliminando todos los sumandos intermedios de la expresión (que serán valores estrictamente positivos) tendríamos la desigualdad \( x^n+y^n < (x+y)^n \)

Por hipótesis tendríamos alguna solución \( (x, y ,z) \) con valores enteros positivos que satisfaría la igualdad. Distinguiremos 3 casos excluyentes que trataremos de derribar para conseguir demostrar el teorema:

1º) x+y <z. Elevando a \( n \) ambos lados de la desigualdad tenemos \( (x+y)^n < z^n \), y al aplicar el desarrollo de Newton, nos queda que \( x^n+y^n<z^n \), lo que entra en contradicción con que se cumplía la igualdad.

2º) z< x+y. Elevando a \( n \) ambos lados de la desigualdad tenemos que \( z^n< (x+y)^n \), y aplicando el desarrollo de Newton, reordenando los términos (el último sumando lo pasamos al segundo lugar), tenemos que \( z^n < x^n + y^n+ C(n,n-1)x^{n-1} y+... \)

Como por hipótesis dimos por cierta la igualdad \( z^n = x^n + y^n \), al  sustraer esta identidad de la desigualdad anterior, obtendríamos que: \( 0<C(n,n-1)x^{n-1} y+... \), donde la parte derecha de la desigualdad se puede interpretar como un polinomio con coeficientes en \( x \) e \( y \), o sencillamente como un polinomio \( P(x) \) de grado \( n-1 \). Al afirmar que este polinomio es mayor que \( 0 \) para todo valor positivo de \( x \), como consecuencia del teorema fundamental del álgebra estamos afirmando que no tiene raíces reales en \( \mathbb{R^+} \)  ,(es decir que las soluciones del polinomio para  \( x \) no son reales) aunque sí podría tener hasta \( n-1 \) raíces complejas en esta semirrecta. Esto entra en contradicción con que la solución \( (x, y , z) \) tiene valores enteros positivos.

3º) x+y = z. En este caso, el polinomio del apartado anterior \( P(x) \) tomaría el valor \( 0 \) para todos los valores de \( x \) en \( \mathbb{R^+} \), pero esto sólo es posible si \( y=0 \), lo que entra en contradicción con que la solución es un número entero positivo.

Por tanto el resultado tendría que ser necesariamente cierto.

Esta línea de argumentación podría adaptarse sin demasiada dificultad a la conjetura de Beal, así que si alguien consolida mi intento de demostración, tendría un milloncejo de dólares a tiro de piedra. Buena suerte.

Saludos,
Título: Re: UTF, ¿Demostración sencilla? ¡vergüenza me da!
Publicado por: Luis Fuentes en 16 Diciembre, 2018, 10:25 am
Hola

2º) z< x+y. Elevando a \( n \) ambos lados de la desigualdad tenemos que \( z^n< (x+y)^n \), y aplicando el desarrollo de Newton, reordenando los términos (el último sumando lo pasamos al segundo lugar), tenemos que \( z^n < x^n + y^n+ C(n,n-1)x^{n-1} y+... \)

Como por hipótesis dimos por cierta la igualdad \( z^n = x^n + y^n \), al  sustraer esta identidad de la desigualdad anterior, obtendríamos que: \( 0<C(n,n-1)x^{n-1} y+... \), donde la parte derecha de la desigualdad se puede interpretar como un polinomio con coeficientes en \( x \) e \( y \), o sencillamente como un polinomio \( P(x) \) de grado \( n-1 \). Al afirmar que este polinomio es mayor que \( 0 \) para todo valor positivo de \( x \)

De tus hipótesis, es decir, de la posible existencia de una solución a la ecuación de Fermat, no se deduce que ese polinomio sea mayor que cero para TODO valor positivo de \( x \); sino que existe algún valor para el cuál es positivo.

Citar
como consecuencia del teorema fundamental del álgebra estamos afirmando que no tiene raíces reales en \( \mathbb{R^+} \)  ,(es decir que las soluciones del polinomio para  \( x \) no son reales) aunque sí podría tener hasta \( n-1 \) raíces complejas en esta semirrecta. Esto entra en contradicción con que la solución \( (x, y , z) \) tiene valores enteros positivos.

Incluso en ese caso, ¿dónde está la contradicción?. En principio no hay nada contradictorio en que un polinomio no tenga raíces reales positivas.

Y otra cosa más, en ese intento de argumento no usas para nada el carácter entero de las variables. La ecuación de Fermat si tiene soluciones no enteras, por tanto eso es síntoma de que el argumento no podía estar bien.

Saludos.
Título: Re: UTF, ¿Demostración sencilla? ¡vergüenza me da!
Publicado por: lee_bran en 16 Diciembre, 2018, 01:00 pm
Me temo que esos no son contra-argumentos suficientes para tumbar mi demostración.

Hola

2º) z< x+y. Elevando a \( n \) ambos lados de la desigualdad tenemos que \( z^n< (x+y)^n \), y aplicando el desarrollo de Newton, reordenando los términos (el último sumando lo pasamos al segundo lugar), tenemos que \( z^n < x^n + y^n+ C(n,n-1)x^{n-1} y+... \)

Como por hipótesis dimos por cierta la igualdad \( z^n = x^n + y^n \), al  sustraer esta identidad de la desigualdad anterior, obtendríamos que: \( 0<C(n,n-1)x^{n-1} y+... \), donde la parte derecha de la desigualdad se puede interpretar como un polinomio con coeficientes en \( x \) e \( y \), o sencillamente como un polinomio \( P(x) \) de grado \( n-1 \). Al afirmar que este polinomio es mayor que \( 0 \) para todo valor positivo de \( x \)

De tus hipótesis, es decir, de la posible existencia de una solución a la ecuación de Fermat, no se deduce que ese polinomio sea mayor que cero para TODO valor positivo de \( x \); sino que existe algún valor para el cuál es positivo.


Si \( C(n,k) \) e \( y \) son números reales positivos  (enteros en nuestro caso concreto), ¿en qué puntos puede ser un polinomio en \( x \) con \( x \) positiva y coeficientes que sean sumas de productos de \( C(n,k) \) e \( y \) o de sus potencias negativo, o más aún, incluso \( 0 \)?

Es decir, que según usted si:
\( P(x) = C(n,n-1)*y* x^{n-1}+C(n, n-2)*y^2*x^{n-2} +...+C(n,1)* y^{n-1}*x+ C(n,0)* y^n \)

\( y>0 \) por hipótesis.
\( C(n,k) \) porque todos los números combinatorios son positivos.

\( C(n,n-1)*y=A_{n-1}>0 \)
\( C(n, n-2)*y^2=A_{n-2}>0 \)
...
\( C(n,1)* y^{n-1}=A_1>0 \)
\( C(n,0)* y^n=A_0>0 \)

Luego:
\( P(x) = A_{n-1}* x^{n-1}+A_{n-2}*x^{n-2} +...+A_1*x+ A_0 \) con \( A_i>0 \)

Pero \( P(x) \) no es positivo para TODO valor positivo de \( x \), sino tan sólo para algunos valores. !!

Incluso en ese caso, ¿dónde está la contradicción?. En principio no hay nada contradictorio en que un polinomio no tenga raíces reales positivas.

Según digo yo, el polinomio no tiene raíces reales positivas en la semirrecta positiva. Es decir que el conjunto de valores reales de \( x \) para los que \( P(x)=0 \) es el vacío, y habíamos supuesto que había algún valor de \( x \) ENTERO que anulaba la igualdad. Esa es la contradicción.

Y otra cosa más, en ese intento de argumento no usas para nada el carácter entero de las variables.

Equivocado o no, lo que he escrito está convenientemente argumentado.

Que no se use parte de una hipótesis no invalida una demostración: en todo caso se estaría llegando a un resultado más restrictivo. Lo que pasa en este caso es que sí que lo he utilizado, como comentaba en el párrafo anterior...

Para mi el principal escollo que hay es que estoy aplicando una demostración por reducción al absurdo a un enunciado que contiene un natural que podría ser infinito, y según algunas escuelas de pensamiento, esto no es apropiado.

Buenos días.
Título: Re: UTF, ¿Demostración sencilla? ¡vergüenza me da!
Publicado por: Luis Fuentes en 16 Diciembre, 2018, 01:21 pm
Hola

Luego:
\( P(x) = A_{n-1}* x^{n-1}+A_{n-2}*x^{n-2} +...+A_1*x+ A_0 \) con \( A_i>0 \)

De acuerdo; ese polinomio con coeficientes positivos toma valores positivos para cualquier valor positivo de \( x \). Eso es una obviedad y no depende en absoluto de la existencia o no de soluciones para la ecuación de Fermat. Había entendido mal la forma en que planteabas esa afirmación.

Pero sea como sea eso es lo de menos.

Citar
Según digo yo, el polinomio no tiene raíces reales positivas en la semirrecta positiva. Es decir que el conjunto de valores reales de \( x \) para los que \( P(x)=0 \) es el vacío, y habíamos supuesto que había algún valor de \( x \) ENTERO que anulaba la igualdad. Esa es la contradicción.

Sigo sin ver la contradicción. De aquí:


2º) z< x+y. Elevando a \( n \) ambos lados de la desigualdad tenemos que \( z^n< (x+y)^n \), y aplicando el desarrollo de Newton, reordenando los términos (el último sumando lo pasamos al segundo lugar), tenemos que \( z^n < x^n + y^n+ C(n,n-1)x^{n-1} y+... \)

Como por hipótesis dimos por cierta la igualdad \( z^n = x^n + y^n \), al  sustraer esta identidad de la desigualdad anterior, obtendríamos que: \( 0<C(n,n-1)x^{n-1} y+... \), donde la parte derecha de la desigualdad se puede interpretar como un polinomio con coeficientes en \( x \) e \( y \), o sencillamente como un polinomio \( P(x) \) de grado \( n-1 \).

lo que deduces es que ese polinomio toma valores positivos, que es lo obvio. ¿Dónde está la contradicción?.

Y otra cosa más, en ese intento de argumento no usas para nada el carácter entero de las variables.

Equivocado o no, lo que he escrito está convenientemente argumentado.

Que no se use parte de una hipótesis no invalida una demostración: en todo caso se estaría llegando a un resultado más restrictivo. Lo que pasa en este caso es que sí que lo he utilizado, como comentaba en el párrafo anterior...

Un resultado más restrictivo... ¡qué es falso!... porque la ecuación de Fermat SI tiene soluciones no enteras. Eso es lo que desde el principio lleva a pensar que tu "demostración" está mal. Fíjate que te comento esto, porque en el fututo te puede llevar a no perder el tiempo con argumentos que no pueden funcionar. Si  no usas de manera decisiva el carácter entero de las variables y los supuestos argumentos parecen válidos también para números reales, con toda seguridad algo tiene que estar mal.

En cualquier caso, el fallo de tu argumento está apuntado antes. No llegas a ninguna contradicción.

Citar
Para mi el principal escollo que hay es que estoy aplicando una demostración por reducción al absurdo a un enunciado que contiene un natural que podría ser infinito, y según algunas escuelas de pensamiento, esto no es apropiado.

No se que natural dices que puede ser infinito. En primer lugar un natural no es infinito. Así que la frase ya no tiene mucho sentido. Las variables involucradas en la ecuación de Fermat son números naturales (finitos por tanto).

Saludos.
Título: Re: UTF, ¿Demostración sencilla? ¡vergüenza me da!
Publicado por: lee_bran en 16 Diciembre, 2018, 01:42 pm

lo que deduces es que ese polinomio toma valores positivos, que es lo obvio. ¿Dónde está la contradicción?.

La contradicción está en que si \( P(x)>0 \), las raíces de P(x) en \( \mathbb{R^+ } \) (en caso de que las tuviera) son complejas con parte imaginaria no nula y los números complejos con parte imaginaria no nula no son enteros. Habíamos supuesto que x tenía valores enteros, luego hay contradicción.

Citar
No se que natural dices que puede ser infinito. En primer lugar un natural no es infinito. Así que la frase ya no tiene mucho sentido. Las variables involucradas en la ecuación de Fermat son números naturales (finitos por tanto).

Es una forma de hablar coloquial. Léase como, "si n tiende a infinito..."

Último teorema de Fermat
Si n es un número entero mayor que 2, entonces no existen números enteros positivos \( x, y  \) y \( z \) tales que se cumpla la igualdad:
\(  x^n+y^n=z^n \)

Ese n remarcado es el natural al que me refería.
Título: Re: UTF, ¿Demostración sencilla? ¡vergüenza me da!
Publicado por: Luis Fuentes en 16 Diciembre, 2018, 01:58 pm
Hola


lo que deduces es que ese polinomio toma valores positivos, que es lo obvio. ¿Dónde está la contradicción?.

La contradicción está en que si \( P(x)>0 \), las raíces de P(x) en \( \mathbb{R^+ } \) (en caso de que las tuviera) son complejas con parte imaginaria no nula y los números complejos con parte imaginaria no nula no son enteros. Habíamos supuesto que x tenía valores enteros, luego hay contradicción.

Pero vamos a ver, obviamente si \( P(x)>0 \) para \( x>0 \) entonces \( P(x) \) no tiene raíces reales positivas. ¿Y...? De nada de lo que has razonado se deduce que si \( x,y,z \) son soluciones naturales de la ecuación de Fermat, entonces x sea raíz de \( P(x) \). Al contrario, se deduce que \( P(x)> \)0. Entonces no hay ninguna contradicción en que las raíces de \( P(x) \) sean complejas.

Citar
Es una forma de hablar coloquial. Léase como, "si n tiende a infinito..."

Último teorema de Fermat
Si n es un número entero mayor que 2, entonces no existen números enteros positivos \( x, y  \) y \( z \) tales que se cumpla la igualdad:
\(  x^n+y^n=z^n \)

Ese n remarcado es el natural al que me refería.

Con esa interpretación sigo sin saber que quieres decir con:

Citar
Para mi el principal escollo que hay es que estoy aplicando una demostración por reducción al absurdo a un enunciado que contiene un natural que podría ser infinito, y según algunas escuelas de pensamiento, esto no es apropiado.

Para mi no tiene sentido esa frase.

Saludos.
Título: Re: UTF, ¿Demostración sencilla? ¡vergüenza me da!
Publicado por: lee_bran en 16 Diciembre, 2018, 04:38 pm
Debe estar de broma porque no comprendo sus razonamientos:

... si aceptó como válido en el apartado 3º) que \( P(x)=0 \) para todo \( x \) positivo \( \Leftrightarrow{} y=0 \)...

¡Precisamente de lo que he razonado se deduce que si \( (x, y, z) \) es una solución, entonces las soluciones de \( P(x) \) nos dan la solución de x! Y esto es porque \( P(x) \) lo he construido utilizando el desarrollo del binomio de Newton.

Es cuando observamos que \( P(x)>0 \) al aplicar la hipótesis adicional \( 2ª) z< x+y \) que vemos que no puede tener raíces enteras y llegamos a la contradicción, no al revés como dice usted.

Citar
Citar

Para mi el principal escollo que hay es que estoy aplicando una demostración por reducción al absurdo a un enunciado que contiene un natural que podría ser infinito, y según algunas escuelas de pensamiento, esto no es apropiado.

Para mi no tiene sentido esta frase

Pues la cambio por la siguiente:

"Para mi el principal escollo que hay es que estoy aplicando una demostración por reducción al absurdo a un enunciado que contiene un natural que podría tender a infinito, y según algunas escuelas de pensamiento, esto no es apropiado."

¿Mejor?

En este punto recuerdo que el propio enunciado del "teorema fundamental del álgebra" es de este estilo, por lo que si se acepta la validez de la demostración del mismo, se ha de aceptar implícitamente lo que aquí he comentado dado que se apoya en los mismos "principios fundamentales" (a saber, reducción al absurdo sobre un polinomio de grado \( n \)... ¿qué pasa si \( n \) tiende a infinito?).

¿Alguna otra persona cuyo criterio se considere válido para sojuzgar demostraciones matemáticas quiere criticar lo que escribí? Porque me parece que al igual que Luis Fuentes, yo también soy matemático y de momento somos 1 contra 1.
Título: Re: UTF, ¿Demostración sencilla? ¡vergüenza me da!
Publicado por: Luis Fuentes en 16 Diciembre, 2018, 04:50 pm
Hola

Debe estar de broma porque no comprendo sus razonamientos:

... si aceptó como válido en el apartado 3º) que \( P(x)=0 \) para todo \( x \) positivo \( \Leftrightarrow{} y=0 \)...

¡Precisamente de lo que he razonado se deduce que si \( (x, y, z) \) es una solución, entonces las soluciones de \( P(x) \) nos dan la solución de x! Y esto es porque \( P(x) \) lo he construido utilizando el desarrollo del binomio de Newton.

Es cuando observamos que \( P(x)>0 \) al aplicar la hipótesis adicional \( 2ª) z< x+y \) que vemos que no puede tener raíces enteras y llegamos a la contradicción, no al revés como dice usted.

Las condiciones 1)2)3) son excluyentes. Es claro que si \( z^n=x^n+y^n \) para \( n>1 \)  la opción (1) y la opción (3) no pueden darse, es decir, necesariamente tiene que cumplirse que \( z<x+y \).

Que en la opción (3), es decir,cuando \( z=x+y \) entonces \( P(x)=0 \) no tiene nada que ver ni entra en contradicción alguna con que en el caso (2) se tenga \( P(x)>0 \), ya que son condiciones que no se dan simultánemante, son excluyentes.

Citar
"Para mi el principal escollo que hay es que estoy aplicando una demostración por reducción al absurdo a un enunciado que contiene un natural que podría tender a infinito, y según algunas escuelas de pensamiento, esto no es apropiado."

No hay ninguna escuela de pensamiento relevante en matemáticas que considere inapropiado que los naturales no estén acotados superiormente.

Como añadido y si quieres responder:

Si tu argumento estuviese bien. ¿Estarías probando que tampoco hay números reales positivos tales que \( z^n=x^n+y^n \)? ¿Si? ¿No? ¿Por qué? ¿Cuál es la diferencia?¿Y enteros para \( n=2 \)?.

Saludos.
Título: Re: UTF, ¿Demostración sencilla? ¡vergüenza me da!
Publicado por: lee_bran en 16 Diciembre, 2018, 07:51 pm
Uhmm. Empiezo a vislumbrar donde puede haberse usted equivocado.

Voy a modificar el punto en el que mencioné el binomio de Newton:

Citar
Además nos serviremos del desarrollo del binomio de Newton para \( (a+b)^m \), donde \( C(m,k) \) representa el coeficiente binomial conocido como \( m \) sobre \( k \)

\( (a+b)^m= a^m+C(m,m-1)a^{m-1} b + … + C(m,1)a b^{m-1} + b^m \)

2º) \( z < x+y\Rightarrow{} \)
(1)\(  z^n < (x+y)^n \)

Tomamos el binomio de Newton desarrollado en la solución \( (x,y,z) \) que suponemos existe al estar tratando de demostrar por reducción al absurdo el resultado y lo sustituimos en (1).

(2) \( z^n< x^n+ C(n, n-1)x^{n-1}y + ... + C(n,1)x y^{n-1} + y^n \)

Tomamos:
\( C(n,n-1)y = A_{n-1} \)

\( ... \)

\( C(n,1)y^{n-1}= A_1 \)

\( A_i>0 \)

y los sustituimos en (2).

(3)\(  z^n<x^n+P(x)+y^n \)

Dado que por hipótesis \( z^n=x^n+y^n \), (3)\( \Rightarrow{} 0<P(x) \), donde \( P(x) \) es un polinomio en \( x \) (\( x \) de la solución de la igualdad de Fermat). Este polinomio evaluado sobre los reales positivos no tiene raíces reales positivas y ahí tenemos la contradicción (como dije anteriormente).

Citar
No hay ninguna escuela de pensamiento relevante en matemáticas que considere inapropiado que los naturales no estén acotados superiormente.

Durante siglos ha habido escuelas que no aceptaban la demostración dada por Euclides en "Los Elementos" de la infinidad de los números primos porque sigue el mismo procedimiento que el descrito aquí (reducción al absurdo sobre una lista que crece indefinidamente, o de forma no acotada). Tanto es así que hace relativamente poco tiempo(si lo comparamos con el que los triceratops campaban a sus anchas por la superficie terrestre), el matemático Paul Ërdos demostró el mismo hecho mediante un procedimiento totalmente distinto: basándose en cardinales de conjuntos en lugar de la ya consabida demostración clásica.

Citar
Si tu argumento estuviese bien. (1) ¿Estarías probando que tampoco hay números reales positivos tales que \( z^n=x^n+y^n \)? (2)¿Si? (3)¿No? (4)¿Por qué? (5)¿Cuál es la diferencia? (6)¿Y enteros para \( n=2 \)?

Vaya preguntas:

(1) No.
(2) Si.
(3) No.
(4) En las clases de álgebra del instituto se aprende que se puede despejar z calculando la raíz n-ésima de \( x^n+y^n \) para cualesquier dos valores \( x \) e \( y \) reales. Pero también se aprende que esa raíz no es única ya que tenemos n soluciones que coinciden con los vértices de un polígono regular de n lados con el centro en el origen. El resto de raíces son complejas si n es impar, o todas complejas menos una, que es la opuesta de la primera que dimos.

(5) La diferencia estriba en que la raíz n-ésima de un número real es un número real, pero la raíz n-ésima de un número entero no tiene por qué ser entera.

(6) Para n=2 sí que hay soluciones enteras: son las llamadas ternas pitagóricas.

Vale, lo reconozco: no sé que contestar en (2) y (3), pero he acertado 4 de 6. Eso es un aprobado.
Título: Re: UTF, ¿Demostración sencilla? ¡vergüenza me da!
Publicado por: Luis Fuentes en 16 Diciembre, 2018, 08:01 pm
Hola

Uhmm. Empiezo a vislumbrar donde puede haberse usted equivocado.

Al principio había entendido "empiezo a vislumbrar donde puedo haberme equivocado". Tantos mensajes en el foro y todavía peco de ingenuo...  ::)

Voy a modificar el punto en el que mencioné el binomio de Newton:

Citar
Dado que por hipótesis \( z^n=x^n+y^n \), (3)\( \Rightarrow{} 0<P(x) \), donde \( P(x) \) es un polinomio en \( x \) (\( x \) de la solución de la igualdad de Fermat). Este polinomio evaluado sobre los reales positivos no tiene raíces reales positivas y ahí tenemos la contradicción (como dije anteriormente).

No veo que hayas aclarado nada. ¿Dónde está la contradicción?¿Exactamente con que es contradictorio que \( P(x)
 \) tome valores positivos para \( x \) positivos?¿Por qué es contradictorio que no tenga raíces reales positivas?. No contradice nada.

Vaya preguntas:

Citar
(1) No.
(2) Si.
(3) No.
(4) En las clases de álgebra del instituto se aprende que se puede despejar z calculando la raíz n-ésima de \( x^n+y^n \) para cualesquier dos valores \( x \) e \( y \) reales. Pero también se aprende que esa raíz no es única ya que tenemos n soluciones que coinciden con los vértices de un polígono regular de n lados con el centro en el origen. El resto de raíces son complejas si n es impar, o todas complejas menos una, que es la opuesta de la primera que dimos.
(5) La diferencia estriba en que la raíz n-ésima de un número real es un número real, pero la raíz n-ésima de un número entero no tiene por qué ser entera.

(6) Para n=2 sí que hay soluciones enteras: son las llamadas ternas pitagóricas.

Tienes razón en tus respuestas (4),(5) y (6). Pero la clave precisamente es que respondieses a (2) y (3). La cuestión es que tu """demostración""" si estuviese bien probaría lo contrario de lo que has dicho en 4,5 y 6. Entonces la pregunta iba orientada a que, si se supone que crees que tu prueba es correcta, ¿por qué esa misma prueba no estaría probando que la ecuación de Fermat tiene soluciones reales o que tiene soluciones enteras cuando \( n=2 \)?.

Saludos.
Título: Re: UTF, ¿Demostración sencilla? ¡vergüenza me da!
Publicado por: lee_bran en 16 Diciembre, 2018, 08:05 pm
Demuestre que el pecado existe y contesto.
Título: Re: UTF, ¿Demostración sencilla? ¡vergüenza me da!
Publicado por: Luis Fuentes en 16 Diciembre, 2018, 08:15 pm
Hola

Demuestre que el pecado existe y contesto.

Si te refieres al concepto religioso de pecado, no es tema para tratar en un foro de matemáticas y además me declaro incompetente para opinar sobre él.

Si es una metáfora para pedir que te explique cual es tu error en tu argumento, ya lo he hecho. La pelota está en tu tejado. Te he hecho una crítica muy concreta:

No veo que hayas aclarado nada. ¿Dónde está la contradicción?¿Exactamente con que es contradictorio que \( P(x)
 \) tome valores positivos para \( x \) positivos?¿Por qué es contradictorio que no tenga raíces reales positivas?. No contradice nada.

a la que no has contestado. Si tu piensas que ya has respondido a esa crítica, yo entonces no tengo nada más que decir. Suerte.

Saludos.
Título: Re: UTF, ¿Demostración sencilla? ¡vergüenza me da!
Publicado por: lee_bran en 16 Diciembre, 2018, 09:00 pm
Tienes razón en tus respuestas (4),(5) y (6). Pero la clave precisamente es que respondieses a (2) y (3). La cuestión es que tu """demostración""" si estuviese bien probaría lo contrario de lo que has dicho en 4,5 y 6. Entonces la pregunta iba orientada a que, si se supone que crees que tu prueba es correcta, ¿por qué esa misma prueba no estaría probando que la ecuación de Fermat tiene soluciones reales o que tiene soluciones enteras cuando \( n=2 \)?.
Esquema de demostración de lógica de proposiciones para una demostración por reducción al absurdo:

\( A\Rightarrow{}B \Leftrightarrow{}A \) y \( no B \Rightarrow{}falso  \)

A= n es un número entero mayor que 2.
B= no existen números enteros positivos \( x, y, z \) tales que \( x^n+y^n=z^n \)

Tiene soluciones enteras para n=2 porque aunque no lo excluí explícitamente tras comunicar que iba a realizar una demostración por reducción al absurdo, daba por hecho que usted sabía el esquema de dichas demostraciones. NO HACE FALTA DEMOSTRARLO MAS QUE PARA VALORES DE N MAYORES DE 2.

Si quiere que lo demuestre para reales positivos, en lugar de B habría que utilizar la siguiente proposición:
B' = no existen números reales positivos \( x, y, z \) tales que \( x^n+y^n=z^n \)

Esa proposición es falsa: contraejemplo \( x=1, y=1, z=\sqrt[ ]{2} \)

Son proposiciones distintas: una es falsa y la otra es verdadera (si no le vale la que yo doy, recurro a la demostración de Wiles) ¿QUÉ VOY A DEMOSTRAR AHÍ SI SON ENTIDADES LÓGICAS DISTINTAS?
Título: Re: UTF, ¿Demostración sencilla? ¡vergüenza me da!
Publicado por: Luis Fuentes en 16 Diciembre, 2018, 09:41 pm
Hola

Esquema de demostración de lógica de proposiciones para una demostración por reducción al absurdo:

\( A\Rightarrow{}B \Leftrightarrow{}A \) y \( no B \Rightarrow{}falso  \)

A= n es un número entero mayor que 2.
B= no existen números enteros positivos \( x, y, z \) tales que \( x^n+y^n=z^n \)

Tiene soluciones enteras para n=2 porque aunque no lo excluí explícitamente tras comunicar que iba a realizar una demostración por reducción al absurdo, daba por hecho que usted sabía el esquema de dichas demostraciones. NO HACE FALTA DEMOSTRARLO MAS QUE PARA VALORES DE N MAYORES DE 2.

Si quiere que lo demuestre para reales positivos, en lugar de B habría que utilizar la siguiente proposición:
B' = no existen números reales positivos \( x, y, z \) tales que \( x^n+y^n=z^n \)

Esa proposición es falsa: contraejemplo \( x=1, y=1, z=\sqrt[ ]{2} \)

Son proposiciones distintas: una es falsa y la otra es verdadera (si no le vale la que yo doy, recurro a la demostración de Wiles) ¿QUÉ VOY A DEMOSTRAR AHÍ SI SON ENTIDADES LÓGICAS DISTINTAS?

Nada de esto responde a lo que te he preguntado. La cuestión es que aclares que impide aplicar tu mismo argumento a los casos que te indico. No basta que digas simplemente que esos casos los excluyes de la hipótesis; la  pregunta es, ¿si no los excluimos por qué no funcionaría tu """demostración"""?. La respuesta es simplemente que, como te he indicado y argumentado, tu """demostración""" está mal.

Saludos.
Título: Re: UTF, ¿Demostración sencilla? ¡vergüenza me da!
Publicado por: lee_bran en 16 Diciembre, 2018, 10:32 pm
Hola

Esquema de demostración de lógica de proposiciones para una demostración por reducción al absurdo:

\( A\Rightarrow{}B \Leftrightarrow{}A \) y \( no B \Rightarrow{}falso  \)

A= n es un número entero mayor que 2.
B= no existen números enteros positivos \( x, y, z \) tales que \( x^n+y^n=z^n \)

Tiene soluciones enteras para n=2 porque aunque no lo excluí explícitamente tras comunicar que iba a realizar una demostración por reducción al absurdo, daba por hecho que usted sabía el esquema de dichas demostraciones. NO HACE FALTA DEMOSTRARLO MAS QUE PARA VALORES DE N MAYORES DE 2.

Si quiere que lo demuestre para reales positivos, en lugar de B habría que utilizar la siguiente proposición:
B' = no existen números reales positivos \( x, y, z \) tales que \( x^n+y^n=z^n \)

Esa proposición es falsa: contraejemplo \( x=1, y=1, z=\sqrt[ ]{2} \)

Son proposiciones distintas: una es falsa y la otra es verdadera (si no le vale la que yo doy, recurro a la demostración de Wiles) ¿QUÉ VOY A DEMOSTRAR AHÍ SI SON ENTIDADES LÓGICAS DISTINTAS?

Nada de esto responde a lo que te he preguntado. La cuestión es que aclares que impide aplicar tu mismo argumento a los casos que te indico. No basta que digas simplemente que esos casos los excluyes de la hipótesis; la  pregunta es, ¿si no los excluimos por qué no funcionaría tu """demostración"""?. La respuesta es simplemente que, como te he indicado y argumentado, tu """demostración""" está mal.

Saludos.

Para empezar: No los excluyo de la hipótesis ya que algunos de esos casos SON la hipótesis.

\( A\Rightarrow{}B \)
\( A \)= HIPÓTESIS = \( n \) es un número entero mayor que 2
\( \Rightarrow{} \) = SÍMBOLO DE IMPLICACIÓN
\( B \)= CONCLUSIÓN

Si cambia la hipótesis, la conclusión puede variar. OBVIO. Ejemplo: Si lanzo una moneda al aire puede salir cara o cruz. Si lanzo un gato al aire, ¿puede salir cara o cruz? Algo me dice que es mejor no intentarlo.

Para terminar: los otros casos sin embargo no son la hipótesis, sino que son la CONCLUSIÓN.

B= no existen enteros positivos \( x,y,z \) tales que \( x^n+y^n=z^n \)
B'=no existen reales positivos \( x,y,z \) que \( x^n+y^n=z^n \)

La proposición B por si misma no es ni cierta ni falsa: en algunos casos lo será (cuando n=1 o 2) y en otros no (todos los demás).
La proposición B' por si misma es FALSA.

A y no B' = A y no FALSO = A y VERDADERO = A

Pero A por si misma tampoco es falsa ni verdadera, luego con ella sola no puedo demostrar nada.

Su argumentación es equivocada.
Título: Re: UTF, ¿Demostración sencilla? ¡vergüenza me da!
Publicado por: Luis Fuentes en 17 Diciembre, 2018, 07:46 am
Hola

Para empezar: No los excluyo de la hipótesis ya que algunos de esos casos SON la hipótesis.

\( A\Rightarrow{}B \)
\( A \)= HIPÓTESIS = \( n \) es un número entero mayor que 2
\( \Rightarrow{} \) = SÍMBOLO DE IMPLICACIÓN
\( B \)= CONCLUSIÓN

Si cambia la hipótesis, la conclusión puede variar. OBVIO. Ejemplo: Si lanzo una moneda al aire puede salir cara o cruz. Si lanzo un gato al aire, ¿puede salir cara o cruz? Algo me dice que es mejor no intentarlo.

Para terminar: los otros casos sin embargo no son la hipótesis, sino que son la CONCLUSIÓN.

B= no existen enteros positivos \( x,y,z \) tales que \( x^n+y^n=z^n \)
B'=no existen reales positivos \( x,y,z \) que \( x^n+y^n=z^n \)

La proposición B por si misma no es ni cierta ni falsa: en algunos casos lo será (cuando n=1 o 2) y en otros no (todos los demás).
La proposición B' por si misma es FALSA.

A y no B' = A y no FALSO = A y VERDADERO = A

Pero A por si misma tampoco es falsa ni verdadera, luego con ella sola no puedo demostrar nada.

Sigues sin entender; la cuestión es si en tu mensaje inicial eliminas la palabra "entero" de todas partes, ¿qué parte de tu demostración se supone que fallaría? Y no me vale que me digas que si los números no son enteros sabemos que hay contraejemplos; si los hay. Y sabemos de antemano que el resultado es falso en ese caso; pero entonces debería de haber una paso en tu demostración que fallase.

Por otra parte e independientemente de todo esto, no has sido capaz de indicar claramente a que contradicción se supone que llegas con tu argumento.

Saludos.
Título: Re: UTF, ¿Demostración sencilla? ¡vergüenza me da!
Publicado por: lee_bran en 17 Diciembre, 2018, 10:22 am
Su error es que en algún momento desvincula el polinomio \( P(x) \) de la solución del enunciado, de ahí que no vea la contradicción. Eso es un error y aquí se lo muestro:

Último teorema de Fermat

Si n es un número entero mayor que 2, entonces no existen números enteros positivos \( x, y \) y \( z \) tales que se cumpla la igualdad:
 [texx]z^n= x^n + y^n = (x+y)^n -P(x) = (x+y)^n-Q(x,y) = (x+y)^n-R(y)[/texx] siendo \( P(x), Q(x,y), R(y) \) las funciones resultantes de despejar \( x^n + y^n \) de la identidad del binomio de Newton.

¿Que qué parte falla al eliminar la palabra enteros (o sustituirla por reales)? Veámoslo.

Demostración:
Procederemos por reducción al absurdo. SEA n UN ENTERO MAYOR QUE 2. Supondremos que existen soluciones (x, y, z) reales positivas tales que \( x^n+y^n=z^n \).

Estoy suponiendo algo que sé a ciencia cierta que es así, luego estoy cometiendo un error de partida al confundir el concepto de uso de la palabra "suponer".

Saludos.
Título: Re: UTF, ¿Demostración sencilla? ¡vergüenza me da!
Publicado por: Luis Fuentes en 17 Diciembre, 2018, 10:28 am
Hola

Su error es que en algún momento desvincula el polinomio \( P(x) \) de la solución del enunciado, de ahí que no vea la contradicción. Eso es un error y aquí se lo muestro:

Último teorema de Fermat

Si n es un número entero mayor que 2, entonces no existen números enteros positivos \( x, y \) y \( z \) tales que se cumpla la igualdad:
 [texx]z^n= x^n + y^n = (x+y)^n -P(x) = (x+y)^n-Q(x,y) = (x+y)^n-R(y)[/texx] siendo \( P(x), Q(x,y), R(y) \) las funciones resultantes de despejar \( x^n + y^n \) de la identidad del binomio de Newton.

Ahí no muestras nada. Lo que tienes que explicar claramente cuál es la contradicción. En mensajes anteriores dices que la contradicción surge del hecho de que \( P(x)>0 \) para \( x \) positivo. ¿Pero qué contradice eso? ¿En qué otra parte del argumento se supone que se deduce que eso no puede ser?.

Citar
¿Que qué parte falla al eliminar la palabra enteros (o sustituir la por reales)? Veámoslo.

Demostración:
Procederemos por reducción al absurdo. SEA n UN ENTERO MAYOR QUE 2. Supondremos que existen soluciones (x, y, z) reales positivas tales que x^n+y^n=z^n.

Estoy suponiendo algo que sé a ciencia cierta que es así, luego estoy cometiendo un error de partida al confundir el concepto de uso de la palabra "suponer".

Mal. No hay ningún error en suponer cierto algo que sabemos que lo es. Simplemente de esa suposición no debería de llegarse a ninguna contradicción. Y ahí está el problema, no se sabe porque en un caso se supone que llegas a tal contradicción y en otro no.

Saludos.
Título: Re: UTF, ¿Demostración sencilla? ¡vergüenza me da!
Publicado por: feriva en 17 Diciembre, 2018, 10:37 am

¿Alguna otra persona cuyo criterio se considere válido para sojuzgar demostraciones matemáticas quiere criticar lo que escribí? Porque me parece que al igual que Luis Fuentes, yo también soy matemático y de momento somos 1 contra 1.

Hola, lee_bran

Yo no soy matemático, como sabes, y no puedo juzgar si mi criterio es válido o no. Aparte de eso no estoy seguro de entender bien la propuesta de demostración que expones, tendría que mirarla y pensarla más despacio. Lo que sí creo que puedo hacer es interpretar la objeción de Luis.

Supongamos un caso particular, n=3.

\( x^{3}+y^{3}=z^{3}
  \)

Tomemos también estos valores concretos para “x,y”.

\( x=188;\, y=128
  \)

Desarrollando el binomio

\( (x+y)^{3}=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}
  \)

y de ahí

\( x^{3}+y^{3}=(x+y)^{3}-(3x^{2}y+3xy^{2})
  \)

Sustituyendo los valores

\( (188)^{3}+(128)^{3}=(188+128)^{3}-3(188)^{2}(128)-3(188)(128)^{2}
  \)

Esa igualdad va a existir siempre, la cuestión es si la raíz cúbica de eso (de cualquier miembro, porque son iguales) puede ser un entero.

Imaginemos que sólo tuviéramos calculadoras y ordenadores que llegaran a darnos cuatro decimales y no más.

Al hacer los cálculos tendríamos

\( \sqrt[3]{(188)^{3}+(128)^{3}}=206,0000=206
  \); hasta cuatro decimales sí existen “enteros” que cumplen la igualdad (al menos hasta cuatro, porque no sé qué puede pasar buscando más; a lo mejor encuentro hasta cinco, hasta seis... no sé).
Con calculadora (en ese mundo donde sólo hay cuatro decimales) comprobaríamos que sí se cumple la igualdad.

Entonces, la pregunta de Luis digamos que se puede interpretar también así: ¿cómo demuestras que la mantisa no tiene nunca, en ningún caso, infinitos ceros detrás de la parte entera, cuál es el argumento para asegurar eso? Creo que eso, más o menos, es lo que él no ve que demuestres.
Si no tienen nunca infinitos ceros, entonces no habrá tres enteros x,y,z que cumplan la igualdad. Directa o indirectamente, es lo que hay que demostrar.

Saludos.
Título: Re: UTF, ¿Demostración sencilla? ¡vergüenza me da!
Publicado por: lee_bran en 17 Diciembre, 2018, 10:41 am
Cometí un error al escribir el polinomio P(x): no hay ningún término independiente. Lo correcto sería:

\( P(x) = A_{n-1}* x^{n-1}+A_{n-2}*x^{n-2} +...+A_1*x \) con \( A_i>0 \)

De aquí tenemos que \( P(x) =x*P'(x) \). Surge el hecho de que \( P(x)>0 \): pero ¿qué valores anulan el polinomio?

- x=0, que entra en contradicción con que x>0
- valores de x complejos con parte real positiva e imaginaria no nula o no más valores, que entra en contradicción con que x es un valor entero o con que existe alguna solución.
- valores de x reales negativos o valores complejos con parte real negativa e imaginaria no nula o ninguno, que entra en contradicción con que x>0 o con que x es entero positivo o con que existe alguna solución.

Respecto a lo de:

Citar
Mal. No hay ningún error en suponer cierto algo que sabemos que lo es. Simplemente de esa suposición no debería de llegarse a ninguna contradicción. Y ahí está el problema, no se sabe porque en un caso se supone que llegas a tal contradicción y en otro no.

El error no es suponer cierto algo que sabemos que lo es: el error es utilizar la palabra "suponer" en vez de "sea". Seamos rigurosos en el uso del lenguaje.
Título: Re: UTF, ¿Demostración sencilla? ¡vergüenza me da!
Publicado por: Luis Fuentes en 17 Diciembre, 2018, 12:32 pm
Hola

x=0, que entra en contradicción con que x>0
valores de x complejos con parte imaginaria no nula o no más valores, que entra en contradicción con que x es un valor entero.

¡¿Pero por qué dices que eso es una contradicción?!. Es decir, ¿de dónde te sacas que esa \( x \) es entera debe de ser una raíz de \( P(x) \)?. No veo que en ningún punto de tu desarrollo (indica en cual en caso contrario) se tenga que el \( x \) entero de la posible solución de la ecuación de Fermat tenga que verificar que \( P(x)=0 \). Por tanto no hay ninguna contradicción con el hecho de que \( P(x) \) no tenga raíces reales positivas.

Citar
El error no es suponer cierto algo que sabemos que lo es: el error es utilizar la palabra "suponer" en vez de "sea". Seamos rigurosos en el uso del lenguaje.

Insisto; no hay ningún error en suponer que una proposición cierta es cierta. Simplemente en ese caso no se debería de llegar a contradicción alguna.

Saludos.
Título: Re: UTF, ¿Demostración sencilla? ¡vergüenza me da!
Publicado por: lee_bran en 17 Diciembre, 2018, 12:50 pm
Citar
¡¿Pero por qué dices que eso es una contradicción?!. Es decir, ¿de dónde te sacas que esa x es entera debe de ser una raíz de P(x)?.

De aquí:
Citar
Su error es que en algún momento desvincula el polinomio P(x) de la solución del enunciado, de ahí que no vea la contradicción. Eso es un error y aquí se lo muestro:

Último teorema de Fermat

Si n es un número entero mayor que 2, entonces no existen números enteros positivos \( x, y \) y \( z \) tales que se cumpla la igualdad:
 [texx]z^n= x^n + y^n = (x+y)^n -P(x) = (x+y)^n-Q(x,y) = (x+y)^n-R(y)[/texx] siendo \( P(x), Q(x,y), R(y) \) las funciones resultantes de despejar \( x^n + y^n \) de la identidad del binomio de Newton.

...

Citar
Insisto; no hay ningún error en suponer que una proposición cierta es cierta. Simplemente en ese caso no se debería de llegar a contradicción alguna.

Y yo insisto: si sabe que una proposición cierta es cierta, ¿por qué no utiliza "sea" en vez de "supongamos"? No es un error matemático sino de uso de la lengua castellana, que es algo que se pide en las reglas del foro para postear.
Título: Re: UTF, ¿Demostración sencilla? ¡vergüenza me da!
Publicado por: Luis Fuentes en 17 Diciembre, 2018, 12:56 pm
Hola

De aquí:
Citar
Su error es que en algún momento desvincula el polinomio P(x) de la solución del enunciado, de ahí que no vea la contradicción. Eso es un error y aquí se lo muestro:

Último teorema de Fermat

Si n es un número entero mayor que 2, entonces no existen números enteros positivos \( x, y \) y \( z \) tales que se cumpla la igualdad:
 [texx]z^n= x^n + y^n = (x+y)^n -P(x) = (x+y)^n-Q(x,y) = (x+y)^n-R(y)[/texx] siendo \( P(x), Q(x,y), R(y) \) las funciones resultantes de despejar \( x^n + y^n \) de la identidad del binomio de Newton.

De ahí no se deduce que \( P(x)=0 \). Si así fuese en,

\( z^n= x^n + y^n = (x+y)^n -P(x)  \)

se tendría que \( x^n+y^n=(x+y)^n \) lo cual es obviamente falso.

Citar
Y yo insisto: si sabe que una proposición cierta es cierta, ¿por qué no utiliza "sea" en vez de "supongamos"? No es un error matemático sino de uso de la lengua castellana, que es algo que se pide en las reglas del foro para postear.

Sobre esto por mi parte está todo dicho.

Saludos.
Título: Re: UTF, ¿Demostración sencilla? ¡vergüenza me da!
Publicado por: lee_bran en 17 Diciembre, 2018, 03:28 pm
No se deduce que \( P(x)=0 \): EL POLINOMIO ES \( P(x)=0 \).

De todas formas, si no le sirve, para que nos entendamos, tengo otra demostración alternativa, pero es más larga:

Spoiler
Supongamos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que suponemos que la demostración de Andrew Wiles del último teorema de Fermat es correcta. Entonces la demostración de Andrew Wiles del último teorema de Fermat es correcta.
[cerrar]
Título: Re: UTF, ¿Demostración sencilla? ¡vergüenza me da!
Publicado por: Luis Fuentes en 17 Diciembre, 2018, 07:44 pm
Hola

No se deduce que \( P(x)=0 \): EL POLINOMIO ES \( P(x)=0 \).

¿De dónde te sacas que es cero?. Por ejemplo para \( n=3 \):

\( z^3=x^3+y^3=(x+y)^3-(3x^2y+3xy^2) \)

Es decir en ese caso \( P(x)=3x^2y+3xy^2 \). ¿Cómo deduces ahora o de dónde obtienes que \( P(x)=0 \)?.

Saludos.
Título: Re: UTF, ¿Demostración sencilla? ¡vergüenza me da!
Publicado por: mongar en 18 Diciembre, 2018, 06:58 pm
Desde luego sería muy bonito e interesante. A mi modo de ver incurres en un error de concepto utilizas lo definido en la definición, podemos suponer que \( y \) es mayor que \( x \), necesariamente \( z \) ha de ser mayor que \( y \), luego \( z \) es de la forma \( z = y+ p \), ahora \( x^n+y^n=(y+p)^n \). Se hacen los cálculos y se resuelve si se puede. No son tan sencillos. Perdonad que no utilice el LaTeX pero se me borra y no sale publicado. Saludos.
Título: Re: UTF, ¿Demostración sencilla? ¡vergüenza me da!
Publicado por: lee_bran en 21 Diciembre, 2018, 03:33 pm
Hola

No se deduce que \( P(x)=0 \): EL POLINOMIO ES \( P(x)=0 \).

¿De dónde te sacas que es cero?. Por ejemplo para \( n=3 \):

\( z^3=x^3+y^3=(x+y)^3-(3x^2y+3xy^2) \)

Es decir en ese caso \( P(x)=3x^2y+3xy^2 \). ¿Cómo deduces ahora o de dónde obtienes que \( P(x)=0 \)?.

Saludos.


\( P(x)=0 \) porque la única manera de quitarle a un cubo entero de lado \( (x+y) \) algo de la forma \( 3x^2y+3xy^2 \) y seguir teniendo un cubo entero es no quitándole nada.

Spoiler
Imaginemos en el espacio un cubo sólido de lado \( x+y \), ambos valores naturales. ¿Cuántos cubos de tamaño unidad cúbica se le pueden quitar de forma que sigamos teniendo un cubo entero?

Tenemos x+y+1 formas diferentes de quitarle trozos a nuestro cubo y seguir teniendo un cubo entero, a saber:

- Si quitamos "lonchas" al cubo de origen de grosor 1 de tres caras que coincidan en un vértice, estaremos quitando \( 3(x+y)^2-3(x+y)+1 \) unidades cúbicas.

- Si quitamos lonchas de grosor 2 de tres caras que coincidan en un vértice, estaremos quitando \( 3*2(x+y)^2-3*2^2(x+y)+2^3 \) unidades cúbicas.

...

- En general, si quitamos lonchas de grosor \( k \) (\( k \) natural o \( 0 \)) de tres caras que coincidan en un vértice, estaremos quitando \( 3*k(x+y)^2-3k^2(x+y)+k^3 \) unidades cúbicas.

Desarrollando esto e igualando los coeficientes de la \( x \) para esta fórmula y la del polinomio \( P(x) \), llegamos a que \( k=y \), \( y=0 \).
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Citar
A mi modo de ver incurres en un error de concepto utilizas lo definido en la definición, podemos suponer que y es mayor que x...
No sé a que se refiere con la frase anterior: si no puedo utilizar lo definido en la definición, entonces no sé para que lo he definido (si es que lo he definido yo). De todas formas, para que nos entendamos, ¿qué es exactamente "lo definido"?

No obstante, gracias por comentar.
Título: Re: UTF, ¿Demostración sencilla? ¡vergüenza me da!
Publicado por: mongar en 21 Diciembre, 2018, 09:36 pm
Cuando se trata de demostrar un teorema primero se demuestra la proposición directa, es decir partiendo de lo que conocemos llegamos a lo que queremos conocer, en este caso partimos de \( x^n + y^n \) , trabajando sobre esto construimos z, cosa que tú no haces. Ya te he dicho que se llega a \( (y+p)^n \), que es p? es la arista que se adiciona a la arista y para obtener z,por lo tanto, p ha de tomar valores enteros, como varia? p ha de ser mayor que cero y menor que x, como comprenderás x^n, e y^n, son volúmenes , x e y son las aristas, en el problema directo se trata de recubrir a y^n, mediante x^n. He leído que quitas "lonchas a \( z^n \) " eso que haces es intentar resolver el recíproco sin demostrar el directo. Espero haber sido lo suficientemente claro. Saludos.
Título: Re: UTF, ¿Demostración sencilla? ¡vergüenza me da!
Publicado por: lee_bran en 22 Diciembre, 2018, 01:20 am
Buenas,

Si le parece, contesto citando el mensaje original por trozos.

Cuando se trata de demostrar un teorema primero se demuestra la proposición directa, es decir partiendo de lo que conocemos llegamos a lo que queremos conocer,

Disiento: hay varias formas de tratar de demostrar una conjetura (que si se demuestra cierta, pasa a llamarse Teorema, Proposición, Lema, Corolario,... según la importancia del mismo dentro del campo de estudio). La que usted propone es la demostración directa, pero también se puede tratar de demostrar por inducción (si se dan las condiciones adecuadas), por contraposición o reducción al absurdo. En este caso opté por este último tipo de esquema, que expliqué en un post anterior.

en este caso partimos de \( x^n + y^n \) , trabajando sobre esto construimos z, cosa que tú no haces.

Disiento de nuevo:

En las condiciones del enunciado del teorema que propuse, tenemos lo siguiente:

Último teorema de Fermat
Si \( n \) es un número entero mayor que \( 2 \), entonces no existen números enteros positivos \( x, y \)  y \( z \) tales que se cumpla la igualdad: [texx]x^n + y^n =z^n[/texx]

Es decir, la hipótesis es:
A=\( n \) es un número entero mayor que \( 2 \)

La conclusión es:
B= no existen números enteros positivos \( x, y \)  y \( z \) tales que se cumpla la igualdad: [texx]x^n + y^n =z^n[/texx]

Según esto no tenemos que construir \( z \), sino que al estar partiendo de la negación de la conclusión (no B), nos viene dada por la expresión anterior.

Ya te he dicho que se llega a \( (y+p)^n \), que es p? es la arista que se adiciona a la arista y para obtener z,por lo tanto, p ha de tomar valores enteros, como varia? p ha de ser mayor que cero y menor que x,
No le entendí demasiado bien en su intervención anterior, pero si tiene un razonamiento que lleve de forma directa a la demostración del teorema, sin duda este es momento para escribirla.

Por mi parte, al utilizar la igualdad del teorema del binomio de Newton, se cambia la forma de proceder: ahora se parte del hipervolumen de dimensión \( n \) dado por \( (x+y)^n \) y le quitamos hipervolúmenes hasta llegar a \( z^n \).

como comprenderás x^n, e y^n, son volúmenes ,
No es del todo exacto: \( x^n \) e \( y^n \) no son volúmenes salvo que \( n \) sea igual a 3. Si \( n=1 \) es una distancia,  \( n=2 \) es un área y para \( n>3 \) se denominan hipervolúmenes de dimensión \( n \).

x e y son las aristas, en el problema directo se trata de recubrir a y^n, mediante x^n.
No exactamente: se trata de recubrir \( z^n \) mediante la adición de \( x^n \) e \( y^n \).

He leído que quitas "lonchas a \( z^n \) " eso que haces es intentar resolver el recíproco sin demostrar el directo. Espero haber sido lo suficientemente claro. Saludos.
Lo de las "lonchas" es un razonamiento ad hoc para justificar un punto oscuro de un caso concreto propuesto, aunque se podría generalizar para dimensiones superiores si se considerase que el post que abre el hilo no es suficiente para validar mi """demostración""" del UTF.

Saludos.
Título: Re: UTF, ¿Demostración sencilla? ¡vergüenza me da!
Publicado por: mongar en 22 Diciembre, 2018, 08:49 pm
Bien. Te contesto siguiendo tu procedimiento: 1) una cosa es una demostración por reducción al absurdo y otra muy distinta hacer proposiciones absurdas, manera de comprobar sustituye letras por numeros, en esencia la conjetura es eso relación entre numeros. 2) vuelves a incurrir en el mismo error, haz las comprobaciones con números. 3)  no lo entiendes demasiado bien porque no prestas atención a los demás, en esta página he propuesto soluciones, léelas con atención y quizás saques algo en claro.4) te recomiendo que estudies teoría de policoros regulares, claro está en ella se encuentran los hipercubos, observa: lee lo que tengo escrito aquí,  otra forma de abordar...,  y veras como se construyen los recubrimientos.5) andas perdido z es el resultado de los recubrimientos.6) si quieres saber cómo se decapa, se quitan cubrimientos o " lonchas" vuelvo a insistirte que leas con atención mi escritos. Los recubrimientos se pueden hacer para cualquier exponente. Saludos.
Título: Re: UTF, ¿Demostración sencilla? ¡vergüenza me da!
Publicado por: lee_bran en 23 Diciembre, 2018, 12:58 am
Buenas,

Hasta ahora no había leído ninguno de sus escritos respecto al UTF... y me quedo con la resolución del teorema que presenté en el primer post del hilo porque es más compacta y me parece mejor redactada.

Aclaro de nuevo que el tema de los volúmenes lo utilicé únicamente para resolver una duda del caso particular \( n=3 \) que me planteaba Luis Fuentes: en principio no tiene que ver con la demostración propiamente dicha.

Saludos y suerte.
Título: Re: UTF, ¿Demostración sencilla? ¡vergüenza me da!
Publicado por: mongar en 23 Diciembre, 2018, 06:35 pm
Bien, gracias. Suerte en la vida, en matematicas conocimiento e intuicion.
Título: Re: UTF, ¿Demostración sencilla? ¡vergüenza me da!
Publicado por: Luis Fuentes en 26 Diciembre, 2018, 11:44 am
Hola

Hasta ahora no había leído ninguno de sus escritos respecto al UTF... y me quedo con la resolución del teorema que presenté en el primer post del hilo porque es más compacta y me parece mejor redactada.

Lo que pusiste en tu primer post del hilo como te he dicho y argumentado no demuestra nada. No resuelve nada.

Citar
Aclaro de nuevo que el tema de los volúmenes lo utilicé únicamente para resolver una duda del caso particular \( n=3 \) que me planteaba Luis Fuentes: en principio no tiene que ver con la demostración propiamente dicha.

La explicación que das para el caso \( n=3 \) no tiene sentido. Mi crítica no se reduce además al caso \( n=3. \) Tu de repente te has sacado de la manga que el polinomio \( P(x) \) que tu mismo defines como P\( (x)=(x+y)^n-x^n-y^n \) es el polinomio cero. Y claramente no lo es; ni para \( n=2 \), ni para \( n=3 \), ni para \( n=4 \)... para ningún \( n>1 \).

Saludos y suerte.
Título: Re: UTF, ¿Demostración sencilla? ¡vergüenza me da!
Publicado por: feriva en 26 Diciembre, 2018, 12:31 pm


\( P(x)=0 \) porque la única manera de quitarle a un cubo entero de lado \( (x+y) \) algo de la forma \( 3x^2y+3xy^2 \) y seguir teniendo un cubo entero es no quitándole nada.


Pero se trata de saber por qué tendría que ser así.

Con n=2 no es cierto

\( (4+3)^{2}
  \) es el cuadrado de un entero, de \( 7
  \)

Ahora

\( (4+3)^{2}=4^{2}+3^{2}+2\cdot4\cdot3
  \)

\( (4+3)^{2}-2\cdot4\cdot3=4^{2}+3^{2}=25
  \) y sí que también es el cuadrado de un entero; de 5, pero eso no quita que sea distinto de 7.

Luego al ser distintos, si \( f(a+b)=(a+b)^2
  \), se tiene que, en general, no es apliacación lineal \( f(a+b)\neq f(a)+f(b)
  \).

Saludos.
Título: Re: UTF, ¿Demostración sencilla? ¡vergüenza me da!
Publicado por: lee_bran en 26 Diciembre, 2018, 02:43 pm
Citar
La explicación que das para el caso \( n=3 \) no tiene sentido. Mi crítica no se reduce además al caso \( n=3. \) Tu de repente te has sacado de la manga que el polinomio \( P(x) \) que tu mismo defines como P\( (x)=(x+y)^n-x^n-y^n \) es el polinomio cero. Y claramente no lo es; ni para \( n=2 \), ni para \( n=3 \), ni para \( n=4 \)... para ningún \( n>1 \).

Saludos y suerte.

La explicación que he dado para el caso \( n=3 \) SI tiene sentido. Si el cubo grande es el de lado (x+y)...

https://ibb.co/yW09xHQ

Y SI, dado que no encontró ningún punto débil donde atacar, al final basó su crítica en reducirla a los casos \( n=3 \) y \( n=2 \) porque es la respuesta estándar que da a los que intentan demostrar el teorema dado que como ha reconocido en alguna ocasión, tiene prejuicios ante que alguien encuentre una demostración sencilla.

Ya le dije que el caso \( n=2 \) queda excluído porque es una demostración por reducción al absurdo y el caso \( n=3 \) queda justificado con lo que dije y lo que muestro en la imagen.
Título: Re: UTF, ¿Demostración sencilla? ¡vergüenza me da!
Publicado por: feriva en 26 Diciembre, 2018, 03:49 pm

Y SI, dado que no encontró ningún punto débil donde atacar, al final basó su crítica en reducirla a los casos \( n=3 \) y \( n=2 \) porque es la respuesta estándar que da a los que intentan demostrar el teorema dado que como ha reconocido en alguna ocasión, tiene prejuicios ante que alguien encuentre una demostración sencilla.

Ya le dije que el caso \( n=2 \) queda excluído porque es una demostración por reducción al absurdo y el caso \( n=3 \) queda justificado con lo que dije y lo que muestro en la imagen.


No es eso, lee_bran, no dice sólo esos casos. Tú dices que para que esto sea un cubo, o una potencia “n” tal que \( (x+y)^{n}
  \), sólo pude ocurrir \( (x+y)^{n}=x^{n}+y^{n}
  \) si n>2. Y es cierto, porque ya está demostrado que es así, los únicos casos son los triviales, cuando “x=0” ó “y=0” (o los dos) y entonces claro que \( (x+y)^{n}=x^{n}+y^{n}
  \). Pero por qué sólo puede pasar eso, en eso se concretaría la pregunta de Luis.

Saludos.
Título: Re: UTF, ¿Demostración sencilla? ¡vergüenza me da!
Publicado por: lee_bran en 26 Diciembre, 2018, 04:31 pm
Buenas tardes feriva,

No veo que Luis realice ninguna pregunta en su última intervención...

Por cierto: en la imagen que intenté adjuntar, el caso de \( 3^3 \) contiene dos errores de signos. Lo correcto sería:
\( 3x^2y+3xy^2\neq{}3(x+y)^2-3(x+y)+1 \)

Debería estar claro que en ese caso lo que se hace es quitar \( 3 \) caras laterales de grosor 1 que coinciden en un vértice, luego quitamos \( 3 * 1 *(x+y)^2 \) cuadraditos... PEEERO estamos quitando 3 veces el volumen de una arista de grosor 1 y ancho 1, luego se las volvemos a añadir \( 3*1*1*(x+y) \)... PERO con esto el volumen del cubo del vértice se lo hemos quitado 3 veces y puesto 3 veces, luego hay que quitarlo una vez más para llegar al siguiente cubo menor \( +1 \)

Si se quiere particularizar en una dimensión superior a \( 3 \), se razonaría de manera análoga. Pero para algo dí un argumento general: para no tener que particularizar en cada valor posible de la \( n \).

Saludos.
Título: Re: UTF, ¿Demostración sencilla? ¡vergüenza me da!
Publicado por: feriva en 26 Diciembre, 2018, 04:50 pm
Buenas tardes feriva,

No veo que Luis realice ninguna pregunta en su última intervención...


Buenos días y Feliz Navidad a todo esto.

En la última no, pero hay alguna como ésta


¿De dónde te sacas que es cero?. Por ejemplo para \( n=3 \):

\( z^3=x^3+y^3=(x+y)^3-(3x^2y+3xy^2) \)

Es decir en ese caso \( P(x)=3x^2y+3xy^2 \). ¿Cómo deduces ahora o de dónde obtienes que \( P(x)=0 \)?.


Si demuestras eso último demuestras que al menos una variable es cero y con ello demuestras el teorema; pero ahí viene la pregunta, ¿cómo se deduce?

Saludos.
Título: Re: UTF, ¿Demostración sencilla? ¡vergüenza me da!
Publicado por: lee_bran en 26 Diciembre, 2018, 06:36 pm
Vaya feriva, me pone en un serio brete: debido a su trato amable, no quiero ser grosero con usted, pero... hoy no es navidad y tengo por costumbre no felicitarle a nadie esa fecha porque tiene significado religioso judeo-cristiano y yo soy ateo desde que nací. Así que, ... ¡feliz miércoles!

¿Ha visto las imágenes que colgué? Vale que no soy Da Vinci ni Miguel Ángel, pero lo que me pregunta se vé allí bastante claro. No obstante, lo explico por pasos:

(1) A cada cubo de lado entero (bueeeeno... natural) \( n \) hay \( n-1 \) formas de quitarle cubos y seguir teniendo cubos enteros, o lo que es lo mismo: si \( n \) es natural, hay exactamente \( n-1 \) cubos naturales menores de \( n^3 \). ¿De acuerdo con esto?

(2) Cuando se pasa de un cubo de lado \( n \) a uno de lado \( n-1 \), lo que hacemos es quitarle volumen de la forma que describí, que en resumen es quitarle todos los cubitos visibles en el dibujo de la izquierda. ¿Algún problema hasta aquí?

(3) Lo que hago a continuación es dar una fórmula para calcular el número de cubitos a quitar en función del lado y del número de "capas" que eliminemos, que es \( 3∗k(x+y)^2−3k^2(x+y)+k^3 \). Si no se lo creen, demostración por inducción (ejercicio).

(4) Si expandimos la fórmula tenemos \( 3kx^2+3ky+6kxy-3k^2x-3k^2y+k^3 \).

(5) Reordenándolo en función de los coeficientes de las potencias de \( x \), tenemos \( (3k)x^2+(6ky-3k^2)x-3k^2y+3ky+k^3 \)

(6) Por otra parte, estamos diciendo que lo que le podemos quitar al cubo entero original es algo de la forma \( P(x)=(3y)x^2+(3y^2)x \), luego, igualando coeficientes:

(a) \( 3k=3y\Rightarrow{}k=y \)
(b) \( 6ky -3k^2=3y^2 \)
(c) \( -3k^2y+3ky+k^3=0 \)

De (a) deducimos que \( k=y \). Sustituyendo en (b) obtenemos de nuevo que \( k=y \) (o \( -y \), pero eso es descartable porque ambas estaban definidas como naturales), y al sustituir en (c) tenemos que \( y=0 \). Aquí deducimos que al menos una variable es 0 y por tanto \( P(x)=0 \) necesariamente.

¿Alguna pega matemática con algo de este último mensaje?

Sea lo que sea, dimito...

Saludos,
Título: Re: UTF, ¿Demostración sencilla? ¡vergüenza me da!
Publicado por: feriva en 26 Diciembre, 2018, 07:20 pm

Vaya feriva, me pone en un serio brete: debido a su trato amable, no quiero ser grosero con usted, pero... hoy no es navidad y tengo por costumbre no felicitarle a nadie esa fecha porque tiene significado religioso judeo-cristiano y yo soy ateo desde que nací. Así que, ... ¡feliz miércoles!


Tranquilo, retiro lo dicho :D

En cuanto a la demostración, yo sólo interpretaba la pregunta de Luis; no me atrevo a hacer de juez de demostraciones, salvo muy raros casos.

Feliz miércoles o lo que queda de él.
Título: Re: UTF, ¿Demostración sencilla? ¡vergüenza me da!
Publicado por: sqrmatrix en 27 Diciembre, 2018, 11:05 am
Saludos, lee_bran, y al resto de los participantes de este hilo.

Creo que hay una contradicción en tu demostración que te están explicando los demás participantes del foro y que no estás considerando. Espero poder aclararlo y que lo puedas ver.

Cita de: lee_bran
2º) \( z< x+y \). Elevando a \( n \) ambos lados de la desigualdad tenemos que \( z^n< (x+y)^n \), y aplicando el desarrollo de Newton, reordenando los términos (el último sumando lo pasamos al segundo lugar), tenemos que \( z^n < x^n + y^n+ C(n,n-1)x^{n-1} y+... \)

Como por hipótesis dimos por cierta la igualdad \( z^n = x^n + y^n \), al sustraer esta identidad de la desigualdad anterior, obtendríamos que: \( 0<C(n,n-1)x^{n-1} y+... \), donde la parte derecha de la desigualdad se puede interpretar como un polinomio con coeficientes en \( x \) e \( y \), o sencillamente como un polinomio \( P(x) \) de grado \( n-1 \). Al afirmar que este polinomio es mayor que \( 0 \) para todo valor positivo de \( x \), como consecuencia del teorema fundamental del álgebra estamos afirmando que no tiene raíces reales en \( \mathbb{R^+} \)  ,(es decir que las soluciones del polinomio para  \( x \) no son reales) aunque sí podría tener hasta \( n-1 \) raíces complejas en esta semirrecta. Esto entra en contradicción con que la solución \( (x, y , z) \) tiene valores enteros positivos.

Supones que \( z^n=x^n+y^n \), que \( x \), \( y \), \( z \), \( n \), son enteros positivos, y que \( z<x+y \), y teniendo todo eso en cuenta, demuestras que \( C(n,n-1)x^{n-1} y+...>0 \), lo cual es cierto (basta darle valores positivos a cada variable para ver que se cumple siempre). Esto ya nos demuestra que \( C(n,n-1)x^{n-1} y+...\ne0 \), por lo que las soluciones del polinomio \( C(n,n-1)x^{n-1} y+...=0 \), que utilizas como prueba de contradicción, no son aplicables a este caso, ya que has demostrado que \( C(n,n-1)x^{n-1} y+...\ne0 \).

Espero que esto te deje claro el fallo de tu demostración y que te están intentando explicar los demás participantes del hilo.

Un saludo.
Título: Re: UTF, ¿Demostración sencilla? ¡vergüenza me da!
Publicado por: Luis Fuentes en 27 Diciembre, 2018, 11:44 am
Hola

Y SI, dado que no encontró ningún punto débil donde atacar, al final basó su crítica en reducirla a los casos \( n=3 \) y \( n=2 \)

Cualquiera que lea el hilo puede ver que la crítica es general. Es la que acaba de apuntar sqrmatrix. En un momento dado quise poner un ejemplo de ella para \( n=3 \), simplmente por concretar la expresión del polinomio \( p(x) \). Por ejemplo para \( n=4 \),

\( p(x)=(x+y)^4-x^4-y^4=4x^3y+6x^2y^2+4xy^3 \)

y obviamente no es el polinomio cero, como en un momento dado afirmaste.

Citar
porque es la respuesta estándar que da a los que intentan demostrar el teorema dado que como ha reconocido en alguna ocasión,


Si realmente has leído las respuestas que doy a los que intentan demostrar el teorema de Fermat en este foro, verás que argumento de manera detallada y específica los errores de cada uno de ellos. No doy ninguna respuesta estándar.

Citar
tiene prejuicios ante que alguien encuentre una demostración sencilla.

Si, los tengo. Lo veo muy improbable básicamente porque es un tema muy "trillado" y nadie a llegado a nada con métodos elementales. No obstante, en mis respuestas tales prejuicios quedan al margen, en cuanto que como he dicho me limito a describir de manera razonada los errores que se cometen, que suelen ser de bulto.

Citar
Ya le dije que el caso \( n=2 \) queda excluído porque es una demostración por reducción al absurdo y el caso \( n=3 \) queda justificado con lo que dije y lo que muestro en la imagen.

Lo único que estás diciendo en la imagen y en la explicación posterior es que:

\( (x+y)^3-(x+y-k)^3\neq p(x)=(x+y)^3-x^3-y^3 \)

¿y...?¿qué tiene que ver eso con que el polinomio \( p(x) \) sea cero?. ¡Nada!.

Saludos.
Título: Re: UTF, ¿Demostración sencilla? ¡vergüenza me da!
Publicado por: feriva en 27 Diciembre, 2018, 02:34 pm
Hola, sqrmatrix, me alegro de verte por el foro. Y, si me lo permites, feliz Navidad (si no, no he dicho nada).

Saludos, lee_bran, y al resto de los participantes de este hilo.

Creo que hay una contradicción en tu demostración que te están explicando los demás participantes del foro y que no estás considerando. Espero poder aclararlo y que lo puedas ver.

Cita de: lee_bran
2º) \( z< x+y \). Elevando a \( n \) ambos lados de la desigualdad tenemos que \( z^n< (x+y)^n \), y aplicando el desarrollo de Newton, reordenando los términos (el último sumando lo pasamos al segundo lugar), tenemos que \( z^n < x^n + y^n+ C(n,n-1)x^{n-1} y+... \)

Como por hipótesis dimos por cierta la igualdad \( z^n = x^n + y^n \), al sustraer esta identidad de la desigualdad anterior, obtendríamos que: \( 0<C(n,n-1)x^{n-1} y+... \), donde la parte derecha de la desigualdad se puede interpretar como un polinomio con coeficientes en \( x \) e \( y \), o sencillamente como un polinomio \( P(x) \) de grado \( n-1 \). Al afirmar que este polinomio es mayor que \( 0 \) para todo valor positivo de \( x \), como consecuencia del teorema fundamental del álgebra estamos afirmando que no tiene raíces reales en \( \mathbb{R^+} \)  ,(es decir que las soluciones del polinomio para  \( x \) no son reales) aunque sí podría tener hasta \( n-1 \) raíces complejas en esta semirrecta. Esto entra en contradicción con que la solución \( (x, y , z) \) tiene valores enteros positivos.

Supones que \( z^n=x^n+y^n \), que \( x \), \( y \), \( z \), \( n \), son enteros positivos, y que \( z<x+y \), y teniendo todo eso en cuenta, demuestras que \( C(n,n-1)x^{n-1} y+...>0 \), lo cual es cierto (basta darle valores positivos a cada variable para ver que se cumple siempre). Esto ya nos demuestra que \( C(n,n-1)x^{n-1} y+...\ne0 \), por lo que las soluciones del polinomio \( C(n,n-1)x^{n-1} y+...=0 \), que utilizas como prueba de contradicción, no son aplicables a este caso, ya que has demostrado que \( C(n,n-1)x^{n-1} y+...\ne0 \).

Y aunque no lo hubiera demostrado. De hecho no hace falta, pues si el teorema se enuncia bien, debe añadir como condición de la propia conjetura que “x,y,z” son enteros positivos distintos de cero (cosa que Wikipedia no hace en el cuadrito donde escribe la afirmación).

Partiendo de que hay que ajustarse a las condiciones de la hipótesis, no se puede asumir que ese polinomio “P(x)” es cero, ya que, equivale a asumir indirectamente que “x” ó “y” sean cero (lo implica) y, por tanto, considerarlo cero equivale a no respetar de partida una condición del propio enunciado.

Es como si intentamos demostrar que es falso tomando “n=2”; pues no se puede, porque el enunciado indica que debemos tomar “n>2”, demostraremos otra cosa, no el Teorema.

Es decir, considerando P(x)=0, se debe llegar a la conclusión de que el teorema (que deja de ser exactamente el de Fermat) es falso y no verdadero, ya que sí existe la igualdad con esa condición.

Saludos.
Título: Re: UTF, ¿Demostración sencilla? ¡vergüenza me da!
Publicado por: sqrmatrix en 27 Diciembre, 2018, 02:58 pm
Saludos, feriva.

Yo también me alegro de hablar contigo. Y, por supuesto, feliz Navidad a tí también, y a todos los usuarios del foro.

Y aunque no lo hubiera demostrado. De hecho no hace falta, pues si el teorema se enuncia bien, debe añadir como condición de la propia conjetura que “x,y,z” son enteros positivos distintos de cero (cosa que Wikipedia no hace en el cuadrito donde escribe la afirmación).

Partiendo de que hay que ajustarse a las condiciones de la hipótesis, no se puede asumir que ese polinomio “P(x)” es cero, ya que, equivale a asumir indirectamente que “x” ó “y” sean cero (lo implica) y, por tanto, considerarlo cero equivale a no respetar de partida una condición del propio enunciado.

No se me había ocurrido esta forma de verlo. Simplemente repasé la demostración en busca de la equivocación, y ví esa contradicción. Pero claro, como bien dices, esa demostración está implícita en la conjetura y, por tanto, no se puede considerar que se cumpla \( C(n,n-1)x^{n-1} y+...=0 \). De hecho, si lo miramos bien, no se puede afirmar que \( C(n,n-1)x^{n-1} y+...=0 \) si trabajamos con enteros positivos, independientemente de que estemos considerando el Último Teorema de Fermat, o cualquier otro teorema, o incluso de forma aislada, ya que la suma de enteros positivos es siempre un entero positivo, nunca \( 0 \).

Un saludo.
Título: Re: UTF, ¿Demostración sencilla? ¡vergüenza me da!
Publicado por: feriva en 27 Diciembre, 2018, 05:13 pm
Saludos, feriva.

Yo también me alegro de hablar contigo. Y, por supuesto, feliz Navidad a tí también, y a todos los usuarios del foro.

Y aunque no lo hubiera demostrado. De hecho no hace falta, pues si el teorema se enuncia bien, debe añadir como condición de la propia conjetura que “x,y,z” son enteros positivos distintos de cero (cosa que Wikipedia no hace en el cuadrito donde escribe la afirmación).

Partiendo de que hay que ajustarse a las condiciones de la hipótesis, no se puede asumir que ese polinomio “P(x)” es cero, ya que, equivale a asumir indirectamente que “x” ó “y” sean cero (lo implica) y, por tanto, considerarlo cero equivale a no respetar de partida una condición del propio enunciado.

No se me había ocurrido esta forma de verlo. Simplemente repasé la demostración en busca de la equivocación, y ví esa contradicción. Pero claro, como bien dices, esa demostración está implícita en la conjetura y, por tanto, no se puede considerar que se cumpla \( C(n,n-1)x^{n-1} y+...=0 \). De hecho, si lo miramos bien, no se puede afirmar que \( C(n,n-1)x^{n-1} y+...=0 \) si trabajamos con enteros positivos, independientemente de que estemos considerando el Último Teorema de Fermat, o cualquier otro teorema, o incluso de forma aislada, ya que la suma de enteros positivos es siempre un entero positivo, nunca \( 0 \).

Un saludo.

Cierto, siempre caigo en lo mismo, se me olvida que el cero no es signado, no es positivo ni negativo, y ya con eso queda descartado. No obstante, convendría que lo dijeran en el enunciado, para los despistados como yo.

Saludos.