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Matemática => Análisis Matemático => Análisis Real - Integral de Lebesgue => Mensaje iniciado por: josefa en 29 Noviembre, 2018, 03:07 pm

Título: Función medible finita c.s.
Publicado por: josefa en 29 Noviembre, 2018, 03:07 pm
Alguien puede ayudarme a resolver esto: sea \( f \) una función medible, tal que \( |f| \) es finita c.s. entonces para todo \( \epsilon \) existen \( M \) tal que \( \left\{{x:f(x)\geq{M}}\right\} \) tiene medida menor que \( \epsilon \)
Me parece que es cierto pero no sé cómo empezar...
Título: Re: Función medible finita c.s.
Publicado por: Luis Fuentes en 29 Noviembre, 2018, 08:16 pm
Hola

Alguien puede ayudarme a resolver esto: sea \( f \) una función medible, tal que \( |f| \) es finita c.s. entonces para todo \( \epsilon \) existen \( M \) tal que \( \left\{{x:f(x)\geq{M}}\right\} \) tiene medida menor que \( \epsilon \)
Me parece que es cierto pero no sé cómo empezar...

Por reducción al absurdo. Supón que existe \( \epsilon>0 \) tal que para todo \( M \) se cumple \(  \mu\{x|f(x)\geq M\}\geq \epsilon \). En particular para \( n\in \mathbb{N} \):

\( A_n=\{x|f(x)\geq n\} \) cumple \( \mu(A_n)\geq \epsilon \)

Pero \( \{A_n\} \) es una sucesión decreciente de conjuntos medibles.

\( A=\displaystyle\bigcap A_n=\{x|f(x)=\infty\} \)

y \( mu(A)=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}\mu(A_n)\geq \epsilon \) lo cual contradice que \( |f| \) sea finita c.s.

Saludos.
Título: Re: Función medible finita c.s.
Publicado por: josefa en 13 Enero, 2020, 10:34 pm
Gracias Luis, por tu respuesta. Un poco tarde para agradecerte pero ahí va...