Rincón Matemático

Matemática => Matemáticas Generales => Mensaje iniciado por: Lauram en 09 Octubre, 2018, 11:34 pm

Título: Integral
Publicado por: Lauram en 09 Octubre, 2018, 11:34 pm
¿Alguien podría explicarme que pasos se han dado? Esta hecha bien pero no la entiendo.  ??? ???

\( \displaystyle\int_0^xx^{-1/2}\;\mathrm dx=\beta\int_0^t\mathrm dt \)

Sol: \( x=\dfrac{1}{4}\beta^2t^2 \)

Mensaje corregido desde la administración.
Título: Re: Integral
Publicado por: manooooh en 10 Octubre, 2018, 12:55 am
Hola Lauram, bienvenida al foro!!

Recordá leer y seguir las reglas (http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=678.0) del mismo así como el tutorial del \( \LaTeX \) (http://rinconmatematico.com/instructivolatex/formulas.htm) para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

Acá no estamos para resolver la tarea sino para ayudar a comprender qué no se entiende.

Además los títulos deben ser descriptivos. Considerá que uno elige qué preguntas leer de acuerdo a su título, así que un mensaje titulado "Integral"... Por favor tené en cuenta estas consideraciones para la próxima.

Con respecto al ejercicio, entiendo que la igualdad es

\( \displaystyle\int_0^xx^{-1/2}\;\mathrm dx=\beta\int_0^t\mathrm dt \)

y tenemos que verificar que se cumple con \( x=\frac14\beta^2t^2 \), ¿cierto?



Es posible que me equivoque, pero por otro lado, al tener una igualdad de integrales podemos derivar miembro a miembro y utilizar el Primer teorema fundamental del Cálculo (https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_fundamental_del_c%C3%A1lculo#Primer_teorema_fundamental_del_c%C3%A1lculo) (si se cumplen las condiciones). De estoy no estoy tan seguro.

De todas maneras haciendo las cuentas llego a que la igualdad no se cumple ::) ???.

Esperá a que alguien venga al rescate.

Saludos
Título: Re: Integral
Publicado por: feriva en 10 Octubre, 2018, 01:36 am
La integral de la izquierda queda así

\( \dfrac{x^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1}=\dfrac{x^{\frac{1}{2}}}{(\frac{1}{2})}=2x^{\frac{1}{2}}=2\sqrt{x}
  \)

La de la derecha queda \( \beta t
  \)

Por tanto

\( 2\sqrt{x}=\beta t
  \)

Elevando ambos lados al cuadrado

\( 4x=\beta^{2}t^{2}
  \)

\( x=\dfrac{\beta^{2}t^{2}}{4}
  \)

Saludos.

(Con el teorema fundamental tampoco sé si se puede hacer eso).
Título: Re: Integral
Publicado por: manooooh en 10 Octubre, 2018, 01:53 am
Hola

La integral de la izquierda queda así

\( \dfrac{x^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1}=\dfrac{x^{\frac{1}{2}}}{(\frac{1}{2})}=2x^{\frac{1}{2}}=2\sqrt{x}
  \)

La de la derecha queda \( \beta t
  \)

Por tanto

\( 2\sqrt{x}=\beta t
  \)

Elevando ambos lados al cuadrado

\( 4x=\beta^{2}t^{2}
  \)

\( x=\dfrac{\beta^{2}t^{2}}{4}
  \)

(Con el teorema fundamental tampoco sé si se puede hacer eso).

Pff... era más fácil de lo que creía. ¡Eres nuestro rescatista!

Saludos
Título: Re: Integral
Publicado por: delmar en 10 Octubre, 2018, 02:22 am
Hola Lauram

Bienvenida al foro

Lo que ha hecho feriva es correcto.

Respecto a aplicar el 1º Teorema fundamental del cálculo, se puede hacer a cada miembro por separado; pero la igualdad de los resultados no necesariamente se da. Para que haciendo algo semejante se de hay que tener en cuenta que la expresión de la izquierda es una función de x y la de la derecha de t, la igualdad de ambas expresiones implica una relación funcional entre x y t, es decir x=f(t), con ese conocimiento la derivación de la expresión de la izquierda respecto a t ha de ser igual a la derivación de la expresión de la derecha respecto a t. Es en la derivación en la que se aplica el primer teorema y en la de la izquierda ha de utilizarse la regla de la cadena además.


Saludos

Nota : Es conveniente que escribas las fórmulas en Latex y que muestres el avance que has hecho en la resolución del problema.
Título: Re: Integral
Publicado por: feriva en 10 Octubre, 2018, 01:14 pm

Pff... era más fácil de lo que creía. ¡Eres nuestro rescatista!

Saludos

Pues apañados vais a ir como tenga que ser yo el rescatista :D

Saludos.
Título: Re: Integral
Publicado por: Masacroso en 10 Octubre, 2018, 01:37 pm
¿Alguien podría explicarme que pasos se han dado? Esta hecha bien pero no la entiendo.  ??? ???

\( \displaystyle\int_0^{\color{red}{x}}x^{-1/2}\;\mathrm {\color{red}{dx}}=\beta\int_0^{\color{green}{t}}\mathrm {\color{green}{dt}} \)

Sol: \( x=\dfrac{1}{4}\beta^2t^2 \)


Lo marcado no tiene mucho sentido, a no ser que se interpreten los límites de integración como variables diferentes, aunque con el mismo nombre, de las de los integrandos.