Rincón Matemático

Matemática => Análisis Matemático => Análisis Real - Integral de Lebesgue => Mensaje iniciado por: Rocket en 14 Septiembre, 2018, 10:14 pm

Título: Conjunto de Medida Cero
Publicado por: Rocket en 14 Septiembre, 2018, 10:14 pm
Hola, necesito ayuda para resolver el siguiente ejercicio:
CORREGIDO
Supongamos que se tiene una sucesión creciente de enteros positivos \( \left\{{n_k}\right\} \). Sea \( E \) el conjunto de los \( x\in (-\pi,\pi) \) tales que \( \left\{{\sen(n_k x)}\right\} \) converge.
Demuestre que \( m(E)=0 \)
 :banghead: :banghead: :banghead:

Cualquier orientación será bien recibida.
Título: Re: Conjunto de Medida Cero
Publicado por: Masacroso en 14 Septiembre, 2018, 11:07 pm
Hola, necesito ayuda para resolver el siguiente ejercicio:

Supongamos que se tiene una sucesión creciente de enteros positivos \( [tex]\left\{{n_k}\right\} \)[/tex]. Sea \( E \) el conjunto de los \( x\in (-\pi,\pi) \) tales que \( \left\{{sen(n_k x)}\right\} \) converge.

 :banghead: :banghead: :banghead:

Cualquier orientación será bien recibida.

¿Cuál es la pregunta del ejercicio?
Título: Re: Conjunto de Medida Cero
Publicado por: Rocket en 15 Septiembre, 2018, 05:15 am
Cierto. Lo olvidé.  :banghead:

La cuestión es: Demuestre que \( m(E)=0 \)
Título: Re: Conjunto de Medida Cero
Publicado por: Masacroso en 15 Septiembre, 2018, 10:54 am
Supongo que la sucesión \( \{n_k\} \) es siempre la misma (sea la que sea).

En ese caso creo que hay que mostrar que \( E \) es contable. Si no me equivoco si la sucesión de senos converge entonces los \( x\in E \) son de la forma \( q\pi \), donde los valores de \( q \) son racionales y dependen de la sucesión \( n_k \).

Creo que por ahí deben ir los tiros, habría que probar a ver si es así o no.
Título: Re: Conjunto de Medida Cero
Publicado por: Fernando Revilla en 15 Septiembre, 2018, 12:27 pm
Supongamos que se tiene una sucesión creciente de enteros positivos \( \left\{{n_k}\right\} \). Sea \( E \) el conjunto de los \( x\in (-\pi,\pi) \) tales que \( \left\{{\sen(n_k x)}\right\} \) converge.

Mira en Solutions Manual to Walter Rudin's Principles of Mathematical Analysis (https://minds.wisconsin.edu/handle/1793/67009) (capítulo 11, ejercicio 11.16).
Título: Re: Conjunto de Medida Cero
Publicado por: Rocket en 15 Septiembre, 2018, 06:18 pm
Ya revisé. Iré copiando por acá los detalles para verificar.
Título: Re: Conjunto de Medida Cero
Publicado por: Rocket en 15 Septiembre, 2018, 07:05 pm
Sea \( A\subset E \), por el Lema de Riemman-Lebesgue se tienen los siguientes resultados:

\( \displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{\displaystyle\int_A{sen(n_kx)dx}}=0 \),

\( \displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{\displaystyle\int_A{cos(2n_kx)dx}}=0 \)

De este último resultado, se obtiene que:

\( \displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{2\displaystyle\int_A{(sen(n_kx))^2dx}}=\displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{\displaystyle\int_A{(1-cos(2n_kx))dx}}=\displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{\displaystyle\int_A{1dx}}-\displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{{\displaystyle\int_A{cos(2n_kx)dx}}}=m(A)-0=m(A) \).


Definamos

\( f(x)=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{sen(n_kx)},\, x\in E \)

Sabemos que \( |sen(n_kx)|\leq 1 \) para cada \( x\in E \), usando el Teorema de Convergencia Dominada de Lebesgue,


\( \displaystyle\int_E{f(x)dx}=\displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{\displaystyle\int_E sen(n_kx)dx} \). De dónde se justifica la integración término a término siguiente y usando el hecho que \( \displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{2\displaystyle\int_A{(sen(n_kx))^2dx}}=m(A) \). :

\( \displaystyle\int_A{(f^2(x)-\frac{1}{2})dx}=\displaystyle\int_A{(f^2(x))dx}-\displaystyle\int_A{(\frac{1}{2})dx}=\frac{m(A)}{2}-\frac{m(A)}{2}=0 \)


Usando el siguiente resultado: Si \( \displaystyle\int_A f d\mu=0  \) para cada subconjunto \( A \) del conjunto medible \( E \) se tiene que \( f(x)=0 \) casi en todas partes en \( E \), de donde se tiene que:

\( f^2(x)-\frac{1}{2}=0 \) casi en todas partes en \( E \), esto es \( f(x)=\pm\frac{1}{\sqrt{2}} \) casi en todas partes en \( E \).






Título: Re: Conjunto de Medida Cero
Publicado por: Rocket en 15 Septiembre, 2018, 08:21 pm
Ahora, pregunto, si considero \( A \) el subconjunto de \( E \) tal que \( f(x)=\frac{1}{\sqrt{2}} \), ¿por qué puedo asegurar que \( \displaystyle\int_Af(x)dx=0 \)?
Título: Re: Conjunto de Medida Cero
Publicado por: Fernando Revilla en 18 Septiembre, 2018, 09:07 am
Ahora, pregunto, si considero \( A \) el subconjunto de \( E \) tal que \( f(x)=\frac{1}{\sqrt{2}} \), ¿por qué puedo asegurar que \( \displaystyle\int_Af(x)dx=0 \)?

¿Cuál es valor de la integral de la función nula sobre cualquier conjunto medible?
Título: Re: Conjunto de Medida Cero
Publicado por: Rocket en 19 Septiembre, 2018, 04:41 am
Pero tengo que \( f(x)=\frac{1}{\sqrt{2}} \) casi en todas partes sobre \( E \), no he conseguido que sea la función nula aún.
Título: Re: Conjunto de Medida Cero
Publicado por: Fernando Revilla en 19 Septiembre, 2018, 07:47 am
Pero tengo que \( f(x)=\frac{1}{\sqrt{2}} \) casi en todas partes sobre \( E \), no he conseguido que sea la función nula aún.

Tu función no es la \( f \) del resultado teórico, sino \( f^2(x)-\displaystyle\frac{1}{2}. \)
Título: Re: Conjunto de Medida Cero
Publicado por: Rocket en 21 Septiembre, 2018, 04:35 am
 ;D

¡Muchas gracias!