Rincón Matemático

Matemática => Álgebra => Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) => Mensaje iniciado por: zimbawe en 11 Junio, 2018, 11:05 pm

Título: Subconjunto generador.
Publicado por: zimbawe en 11 Junio, 2018, 11:05 pm
Hola tengo el siguiente problema, que no he podido resolver:
1) Sea \( V \) un espacio vectorial de dimensión \( n \) y sea \( S \) un subconjunto de \( V \) que genera a \( V \)

a) Demostrar que \( S \) contiene al menos \( n \) elementos.
b) Demostrar que un subconjunto de \( S \) es una base para \( V \) (tenga cuidad de no suponer que S es finito)

Gracias.
Título: Re: Subconjunto generador.
Publicado por: Luis Fuentes en 11 Junio, 2018, 11:20 pm
Hola

Hola tengo el siguiente problema, que no he podido resolver:
1) Sea \( V \) un espacio vectorial de dimensión \( n \) y sea \( S \) un subconjunto de \( V \) que genera a \( V \)

Sería bueno saber que resultados previos tienes probados hasta ahora. Normalmente previamente se prueba el Teorema de Steiniz (https://en.wikipedia.org/wiki/Steinitz_exchange_lemma):

- Si \( \{a_1,\ldots,a_m\} \) son vectores independientes y \( \{b_1,\ldots,b_n\} \) una base entonces \( m\leq n \) y pueden sustiuitse m vectores de la base por los independientes iniciales y el conjunto sigue siendo base.

De ahí se demuestra que dos bases de un subespacio tienen el mismo número de elementos y se llama dimensión del espacio vectorial a ese número.

Citar
a) Demostrar que \( S \) contiene al menos \( n \) elementos.

Si \( S \) tuvera menos elementos de \( n \), eliminando los dependientes tendríamos \( m<n \) elementos independientes que generan \( V \). Pero entonces tendríamos una base con menos de \( n \) elementos: imposible.

Citar
b) Demostrar que un subconjunto de \( S \) es una base para \( V \) (tenga cuidad de no suponer que S es finito)

Ahí supongo que quisiste poner:

"b) Demostrar que existe un subconjunto de \( S \) que es una base para \( V \) (tenga cuidad de no suponer que S es finito)"

La idea es: se toma un elemento \( u_1 \) de \( S \) no nulo. Si genera \( V \) ya es base, en caso contrario existe otro elemento \( u_2\in S \) que no es combinación lineal de él.

Entonces \( \{u_1,u_2\} \) son independientes. Si generan \( V \) ya son base, en caso contrario existe \( u_3\in S \) independiente de ellos.


Entonces \( \{u_1,u_2,u_3\} \) son independientes. Si genera \( V \) son base, sino.... etcétera

Seguimos el proceso inductivamente. Cuando llegamos a \( n \) vectores independientes, por el Teorema de Steiniz son base, ya que no puede haber \( n+1>dim(V) \) vectores independientes.

Saludos.
Título: Re: Subconjunto generador.
Publicado por: zimbawe en 11 Junio, 2018, 11:38 pm
Hola Luis. En el libro si prueban ese Lema, no llaman al teorema cono ese nombre. Muchas gracias, es muy constructiva la demostración.