Rincón Matemático

Revista, Técnicas, Cursos, Problemas => Discusiones semi-públicas => Mensaje iniciado por: Luis Fuentes en 16 Marzo, 2018, 12:08 pm

Título: Subaditividad
Publicado por: Luis Fuentes en 16 Marzo, 2018, 12:08 pm
Hola

 Sea:

 \( w(p)=e^{-(-ln(p))^a} \)
 \( g(p)=w(p)+w(b-p) \)

 Se trata de demostrar que el mínimo de \( g(p) \) se alcanza o bien en \( p=0 \) ó en \( p=b/2 \).

 Dado que \( g'(b/2)=0 \) es claro que en \( b/2 \) hay un extremo local, aunque no es un mínimo para cualquier valor de \( b \).

 Gráficamente se puede ver que \( g(p) \) puede tener un único punto crítico más en \( [0,p/2] \) pero que en ningún caso es un mínimo. Se trata de verificar esto analíticamente.

 Tenemos que:

\(  g'(p)=w'(p)-w'(b-p) \) 

 Los puntos críticos verifican \( w'(p)=w'(b-p) \). Operando:

\(  w'(p)=\dfrac{ae^{-(-ln(p))^a}(-ln(p))^{a-1}}{p} \)

 Si llamamos:

\(  f(p)=ln(w'(p)/a)=-(-ln(p))^a+(a-1)ln(-ln(p))-ln(p) \)

 Los puntos críticos soluciones de \( g'(p)=0 \) equivalen a las soluciones de \( t(p)=f(p)-f(b-p) \).

 Se tiene que \( f'(p)=-\dfrac{1}{p}+\dfrac{a(-ln(p))^{a-1}}{p}+\dfrac{a-1}{pln(p)} \), pero no es cierto que \( f'(p) >0 \) ó \( f'(p)<0 \) en el intervalo \( [0,b/2] \) sino que en ese intervalo pueda cambiar de signo, como puede verse en la gráfica:

(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=102346.0;attach=19567)

Saludos.
Título: Re: Subaditividad
Publicado por: Quema en 16 Marzo, 2018, 01:31 pm
A mi me da otra cosa, para \( a=0.5 \) claramante \( f'(p) \) es negativa en todo el intervalo. Mmm. capaz que en el gráfico, lo que pienso que es \( p=0 \) no lo es.
Título: Re: Subaditividad
Publicado por: Luis Fuentes en 16 Marzo, 2018, 01:43 pm
Hola

A mi me da otra cosa, para \( a=0.5 \) claramante \( f'(p) \) es negativa en todo el intervalo. Mmm. capaz que en el gráfico, lo que pienso que es \( p=0 \) no lo es.

Pero antes de nada. ¿Qué función estás graficando? Pongámonos de acuerdo en que hablamos de las mismas funciones; la que veo en el PDF no me parece que sea la que yo he indicado en mi primer mensaje.

Saludos.
Título: Re: Subaditividad
Publicado por: Quema en 16 Marzo, 2018, 02:30 pm
Hola

En realidad yo expreso (creo que es lo mismo).

\( t(p)=(-ln(b-p))^a+(1-a)ln(-ln(b-p))+ln(b-p)-(-ln(p))^a-(1-a)ln(-ln(p))-ln(p) \)


Y quiero probar que solamente tiene dos raíces para \( p\in[0,b/2] \), una de las cuales es la trivial que es \( p=b/2 \). Ahora, una forma de probar que hay solamente otra raíz, es probando que \( t(p) \) es convexa.

Entonces me queda

\( t''(p)=m(b-p)-m(p) \) siendo

\( m(p)=\frac{(log(p) (-a (-log(p))^a + a - 1) + (a - 1) (a (-log(p))^a + 1) - log^2(p))}{(p^2 log^2(p))} \)

Y como \( t''(0)>0 \) y \( t''(b/2)=0 \) probando que \( -m'(b-p)-m'(p)<0 \) pruebo que \( t(p) \) es convexa. Que es equivalente a probar que \( m'(p)>0 \) para todo \( p\in[0,b]. \)

Ahora, \( m'(p)=\frac{(a - 1) (a^2 (-log(p))^a - 2 a (-log(p))^a - 2) + 2 log^2(p) (a ((-log(p))^a - 1) + 1) - 3 (a - 1) log(p) (a (-log(p))^a + 1) + 2 log^3(p)}{p^3 log^3(p)} \)

Y esto, creo que es positivo, para \( a=0.5 \) me queda como el adjunto. Me estoy dando cuenta que tengo mal este razonamiento, pues tengo que probar además que \( m'(p)>0 \) para \( p\in(b/2,b) \) y eso no se cumple. Me suena que debe tener que poder usarse alguna propiedad de una función impar (pues \( m(p) \) es impar respecto al eje \( p=b/2 \)) o algo similar.



Título: Re: Subaditividad
Publicado por: Luis Fuentes en 16 Marzo, 2018, 04:13 pm
Hola

Hola

En realidad yo expreso (creo que es lo mismo).

\( t(p)=(-ln(b-p))^a+(1-a)ln(-ln(b-p))+ln(b-p)-(-ln(p))^a-(1-a)ln(-ln(p))-ln(p) \)


Y quiero probar que solamente tiene dos raíces para \( p\in[0,b/2] \), una de las cuales es la trivial que es \( p=b/2 \). Ahora, una forma de probar que hay solamente otra raíz, es probando que \( t(p) \) es convexa.

Entonces me queda

\( t''(p)=m(b-p)-m(p) \) siendo

\( m(p)=\frac{(log(p) (-a (-log(p))^a + a - 1) + (a - 1) (a (-log(p))^a + 1) - log^2(p))}{(p^2 log^2(p))} \)

Y como \( t''(0)>0 \) y \( t''(b/2)=0 \) probando que \( -m'(b-p)-m'(p)<0 \) pruebo que \( t(p) \) es convexa. Que es equivalente a probar que \( m'(p)>0 \) para todo \( p\in[0,b]. \)

Ahora, \( m'(p)=\frac{(a - 1) (a^2 (-log(p))^a - 2 a (-log(p))^a - 2) + 2 log^2(p) (a ((-log(p))^a - 1) + 1) - 3 (a - 1) log(p) (a (-log(p))^a + 1) + 2 log^3(p)}{p^3 log^3(p)} \)

Y esto, creo que es positivo, para \( a=0.5 \) me queda como el adjunto. Me estoy dando cuenta que tengo mal este razonamiento, pues tengo que probar además que \( m'(p)>0 \) para \( p\in(b/2,1) \) y eso no se cumple. Me suena que debe tener que poder usarse alguna propiedad de una función impar (pues \( m(p) \) es impar respecto al eje \( p=b/2 \)) o algo similar.

Ah, tu estabas representando todavía dos derivadas más, es decir, con mi notación no \( f'(p) \) sino \( f'''(p) \), ya que \( m(p)=-f''(p). \)

Y como dices tu argumento de momento no es concluyente; además incluso cuando dices que \( m'(p) \) es positiva, ¿lo has comprobado analíticamente o e un gráfico?. Por que en todo este problema gráficamente todo cumple lo que debe; la cosa es probarlo.

Saludos.
Título: Re: Subaditividad
Publicado por: Quema en 16 Marzo, 2018, 04:26 pm
No, solamente por un gráfico, por eso incluyo la palabra "creo". Alguna propiedad de funciones impares no se podrá usar?

A lo bruto, debo probar que

\( [log(b-p) (-a (-log(b-p))^a + a - 1) + (a - 1) (a (-log(b-p))^a + 1)
- log^2(b-p)](p)^2(ln(p))^2-[log(p) (-a (-log(p))^a + a - 1) + (a - 1) (a (-log(p))^a + 1) - log^2(p)](b-p)^2(ln(b-p))^2 \) es positivo.

He intentado reexpresar agrupando términos para que me quedara positivo, no se si este camino es viable.
Título: Re: Subaditividad
Publicado por: Luis Fuentes en 16 Marzo, 2018, 05:47 pm
Hola

No, solamente por un gráfico, por eso incluyo la palabra "creo". Alguna propiedad de funciones impares no se podrá usar?

No se.

Citar
A lo bruto, debo probar que

\( [log(b-p) (-a (-log(b-p))^a + a - 1) + (a - 1) (a (-log(b-p))^a + 1)
- log^2(b-p)](p)^2(ln(p))^2-[log(p) (-a (-log(p))^a + a - 1) + (a - 1) (a (-log(p))^a + 1) - log^2(p)](b-p)^2(ln(b-p))^2 \) es positivo.

He intentado reexpresar agrupando términos para que me quedara positivo, no se si este camino es viable.

No sé que quieres decir con si es viable; es una posibilidad, pero digamos que la viabilidad queda determinada por el éxito. Si eres capaz de reagrupar de forma que todos los sumandos sepamos que son positivos, perfectos.

Saludos.
Título: Re: Subaditividad
Publicado por: Quema en 19 Marzo, 2018, 12:52 am
Hice la cuenta larga de \( t''(p) \) y me da la siguiente, si copié bien del Mathematica,

\( my^2(x^2+x-1+a-ax-a(a+x-1)x^a)-cx^2(y^2+y-1+a-ay-a(a+y-1)y^a) \) siendo \( m=(b-p)^2,c=p^2,x=-lnp,y=-ln(b-p) \)

En las simulaciones que hice me da que \( (m-c)x^2y^2=b(b-2p)x^2y^2 \) es mayor que el resto de la suma de los demás sumandos, cuya suma da negativa, haciendo la derivada segunda positiva.
Título: Re: Subaditividad
Publicado por: Quema en 19 Marzo, 2018, 04:41 pm
No se puede estudiar los mínimos de la función

\( F(x,y)=e^{-y/2}y^2(x^2+x-1+a-ax-a(a+x-1)x^a)-e^{-x/2}x^2(y^2+y-1+a-ay-a(a+y-1)y^a) \) sujeto a \( e^{-x}+e^{-y}=b \), haciendo un lagrangiano y ver si es una función positiva?

Título: Re: Subaditividad
Publicado por: Luis Fuentes en 20 Marzo, 2018, 01:03 pm
Hola

No se puede estudiar los mínimos de la función

\( F(x,y)=e^{-y/2}y^2(x^2+x-1+a-ax-a(a+x-1)x^a)-e^{-x/2}x^2(y^2+y-1+a-ay-a(a+y-1)y^a) \) sujeto a \( e^{-x}+e^{-y}=b \), haciendo un lagrangiano y ver si es una función positiva?



Positiva supongo con la restricción añadida de \( x\geq y \) que equivale a \( p\leq b/2 \).

Poder se puede plantear; ahora cuando nos pongamos a calcular los puntos críticos previsiblemente saldrá una ecuación que no se puede resolver de manera explícita porque aparecerán \( x \) e \( y \) mezcladas en exponentes y en polinomios.

Entonces lo que no tengo claro es que arreglemos algo.

Saludos.
Título: Re: Subaditividad
Publicado por: Quema en 01 Abril, 2018, 02:58 pm
Otra forma de ver el problema, se me ocurre lo siguiente:

\( w(p) \) es una función creciente, cóncava en \( [0,c] \) y convexa en \( [c,b] \). En el segmento cóncavo \( w \) es subaditiva. Para el segmento convexo, como \( w(c)=w(1/e)>0 \) no podemos aplicar la desigualdad de Petrovic directamente.  Sabemos que aplicando esta desigualdad a \( f(x)=w(x)-w(1/e) \) que

\( w(x+y)\geq{}w(x)+w(y)-w(1/e) \) para todo \( x,y \in[1/e,b/2] \).

De alguna forma debemos probar que

\( w(x)+w(y)\geq{}w(x+y) \) para todo \( x,y \in[1/e,b/2] \). 

Defino \( g(x,y)=w(x)+w(y)-w(x+y) \) y sin pérdida de generalidad supongo que \( x\geq{}y \) entonces por convexidad de \( w \) sabemos que \( w'(x+y)\geq{}w'(x)\geq{}w'(y). \)

Ahora \( g(1/e,1/e)=2w(1/e)-w(2/e)>0, \) y \( g(b/2,b/2)=2w(b/2)-w(b)=0 \) por la condición necesaria de subaditividad. Ahora,

\( \displaystyle\frac{dg(x,y)}{dx}=w'(x)-w'(x+y)\leq{}0 \), \( \displaystyle\frac{dg(x,y)}{dy}=w'(y)-w'(x+y)\leq{}0 \) y \( \displaystyle\frac{d^2g(x,y)}{dydx}=-w''(x+y)\leq{}0 \)


por lo tanto

\( g(x,y)\geq{}0 \) para todo \( x,y \in[1/e,b/2]. \)








Título: Re: Subaditividad
Publicado por: Luis Fuentes en 03 Abril, 2018, 12:16 pm
Hola

Otra forma de ver el problema, se me ocurre lo siguiente:

\( w(p) \) es una función creciente, cóncava en \( [0,c] \) y convexa en \( [c,b] \). En el segmento cóncavo \( w \) es subaditiva. Para el segmento convexo, como \( w(c)=w(1/e)>0 \) no podemos aplicar la desigualdad de Petrovic directamente.  Sabemos que aplicando esta desigualdad a \( f(x)=w(x)-w(1/e) \) que

\( w(x+y)\geq{}w(x)+w(y)-w(1/e) \) para todo \( x,y \in[1/e,b/2] \).

De alguna forma debemos probar que

\( w(x)+w(y)\geq{}w(x+y) \) para todo \( x,y \in[1/e,b/2] \). 

Defino \( g(x,y)=w(x)+w(y)-w(x+y) \) y sin pérdida de generalidad supongo que \( x\geq{}y \) entonces por convexidad de \( w \) sabemos que \( w'(x+y)\geq{}w'(x)\geq{}w'(y). \)

Ahora \( g(1/e,1/e)=2w(1/e)-w(2/e)>0, \) y \( g(b/2,b/2)=2w(b/2)-w(b)=0 \) por la condición necesaria de subaditividad. Ahora,

\( \displaystyle\frac{dg(x,y)}{dx}=w'(x)-w'(x+y)\leq{}0 \), \( \displaystyle\frac{dg(x,y)}{dy}=w'(y)-w'(x+y)\leq{}0 \) y \( \displaystyle\frac{d^2g(x,y)}{dydx}=-w''(x+y)\leq{}0 \)


por lo tanto

\( g(x,y)\geq{}0 \) para todo \( x,y \in[1/e,b/2]. \)

Pero eso no llega porque deberíamos de probar la desigualdad para \( x,y,x+y\in [0,b] \). ¿No?.

Saludos.
Título: Re: Subaditividad
Publicado por: Quema en 03 Abril, 2018, 02:23 pm
Creo que deberíamos probar que

\( f(\displaystyle\frac{b}{2}-x)+f(x)\geq{}f(\displaystyle\frac{b}{2}) \) para todo \( x \in[\displaystyle\frac{1}{e},\displaystyle\frac{b}{2}] \) Pues \( f \) es subaditiva en \( [0,\displaystyle\frac{1}{e}] \)
Título: Re: Subaditividad
Publicado por: Luis Fuentes en 04 Abril, 2018, 11:17 am
Hola

\( f(\displaystyle\frac{b}{2}-x)+f(x)\geq{}f(\displaystyle\frac{b}{2}) \) para todo \( x \in[\displaystyle\frac{1}{e},\displaystyle\frac{b}{2}] \) Pues \( f \) es subaditiva en \( [0,\displaystyle\frac{1}{e}] \)

¿Qué resultado justifica que eso llega?.

Saludos.
Título: Re: Subaditividad
Publicado por: Quema en 04 Abril, 2018, 07:42 pm
No se puede aplicar el teorema 5 del trabajo adjunto de esta forma.

Para \( n=2,a=b \) entonces debo probar que

\( w(\displaystyle\frac{kb}{2})+w(\displaystyle\frac{(2-k)b}{2})\geq{}w(b) \)
Para todo \( k=0,1,2 \).

Para \( k=0 \) queda \( w(b)=w(b) \)

Para \( k=1 \) tenemos \( w(\displaystyle\frac{b}{2})+w(\displaystyle\frac{b}{2})\geq{}w(b) \) que es la condición necesaria para la subaditividad.

Para \( k=2 \) tenemos \( w(b)\geq{}w(b) \).

Entonces \( w(x) \) es subaditiva en \( [0,b/2] \) que es el resultado que queríamos buscar.
Título: Re: Subaditividad
Publicado por: Luis Fuentes en 04 Abril, 2018, 07:52 pm
Hola

No se puede aplicar el teorema 5 del trabajo adjunto de esta forma.

Para \( n=2,a=b \) entonces debo probar que

\( w(\displaystyle\frac{kb}{2})+w(\displaystyle\frac{(2-k)b}{2})\geq{}w(b) \)
Para todo \( k=0,1,2 \).

Para \( k=0 \) queda \( w(b)=w(b) \)

Para \( k=1 \) tenemos \( w(\displaystyle\frac{b}{2})+w(\displaystyle\frac{b}{2})\geq{}w(b) \) que es la condición necesaria para la subaditividad.

Para \( k=2 \) tenemos \( w(b)\geq{}w(b) \).

Entonces  \( w(x) \) es subaditiva en \( [0,b/2] \) que es el resultado que queríamos buscar.


¿No queremos ver que es subaditiva en \( [0,b] \)?.

Saludos.
Título: Re: Subaditividad
Publicado por: Quema en 04 Abril, 2018, 08:31 pm
Eso está explicado por tu mismo acá

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=99090.msg401524#msg401524
Título: Re: Subaditividad
Publicado por: Luis Fuentes en 05 Abril, 2018, 10:24 am
Hola

Eso está explicado por tu mismo acá

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=99090.msg401524#msg401524

No lo veo claro (y no es una afirmación capciosa; no veo claramente donde se supone que explico eso pero no descarto a 100% que no lo esté viendo).

Allí en un momento invoco cierto resultado que permite reducir el problema de la subaditividad en \( [0,b] \) a comprobar que el mínimo de una cierta función en \( [0,b/2] \) cumpla cierta condición; pero ojo eso no quiere decir que reduzca el problema de la subaditividad en \( [0,b] \) al problema de la subaditividad en \( [0,b/2] \).

Saludos.
Título: Re: Subaditividad
Publicado por: Quema en 05 Abril, 2018, 02:31 pm
Hola

A ver por simetría, \( w \) es subaditiva en \( [0,b] \) si

\( w(b-x)+w(x)\geq{}w(b/2) \) para todo \( x\in[0,b/2] \), de acuerdo?

Es decir, debemos probar, en ese intervalo del dominio, que:

\( w(b-x)+w(x)-w(b/2)\geq{}0 \)

Ahora, por el teorema 5 sabemos que \( w \) es subaditiva en \( [0,b/2] \), es decir

\( w(b/2-x)+w(x)\geq{}w(b/2) \) para todo \( x\in[0,b/2] \), de acuerdo?

Como \( w \) es creciente, tenemos que

\( w(b-x)+w(x)-w(b/2)\geq{}w(b/2-x)+w(x)-w(b/2)\geq{}0 \) para todo \( x\in[0,b/2] \) y por lo tanto se cumple la desigualdad

\( w(b-x)+w(x)\geq{}w(b/2) \) para todo \( x\in[0,b/2] \).


Título: Re: Subaditividad
Publicado por: Luis Fuentes en 05 Abril, 2018, 03:35 pm
Hola

 A vuelapluma uno sospecha que algo tiene que fallar ahí. Sólo usando que \( w \) es creciente parece que mejoras el intervalo de subaditividad que propociona el teorema 5.

 Mirando con calma:

A ver por simetría, \( w \) es subaditiva en \( [0,b] \) si

\( w(b-x)+w(x)\geq{}\color{red}w(b/2)\color{black} \) para todo \( x\in[0,b/2] \), de acuerdo?

Es:

\( w(b-x)+w(x)\geq{}\color{red}w(b)\color{black} \)

Saludos.
Título: Re: Subaditividad
Publicado por: Quema en 05 Abril, 2018, 03:54 pm
No estoy de acuerdo, lo que está fallando, creo, es que la condición \( w(b)=2w(b/2) \) es condición necesaria y además suficiente para subaditividad.


Es

\( w(b-x)+w(x)\geq{}w(b) \) para todo \( x\in [0,b] \), pero

\( w(b-x)+w(x)\geq{}w(b/2) \) para todo \( x\in [0,b/2] \)

Fíjate en el gráfico.

Título: Re: Subaditividad
Publicado por: Luis Fuentes en 05 Abril, 2018, 04:16 pm
Hola

No estoy de acuerdo,

No entiendo nada. No sé exactamente con lo que no estás de acuerdo.

Citar
lo que está fallando, creo, es que la condición \( w(b)=2w(b/2) \) es condición necesaria y además suficiente para subaditividad.

Es

\( w(b-x)+w(x)\geq{}w(b) \) para todo \( x\in [0,b] \), pero

\( w(b-x)+w(x)\geq{}w(b/2) \) para todo \( x\in [0,b/2] \)

No entiendo que quieres decir. ¿Cuándo dices: "es ... una condición para \( x\in [0,b] \) pero... otra condición para \( x\in [0,b/2] \)?. Esas condiciones son para garantizar... ¿qué cosa?.

Desde luego y según el Teorema 3 del Trabajo de Bruckner para garantizar la subaditividad en \( [0,b] \) (que es lo que queremos) necesitamos que:

\( w(b-x)+w(x)\geq{}w(b) \) para todo \( x\in [0,b] \)

Tu otra condición es mucho más débil porque \( w(b)>w(b/2) \).

Citar
Fíjate en el gráfico.

No sé que quieres decirme con ese gráfico.

Si estamos escogiendo \( b \) tal que \( 2w(b/2)=w(b) \) desde luego en \( x=b/2 \) se cumple \( w(b-x)+w(x)\geq w(b) \) (se cumple la igualdad). En el gráfico parece que es "un poquito" negativa; eso puede ser bien porque no estás cogiendo el valor exacto de b o bien porque a veces (y ojo con eso) el Mathematica no pone el eje en \( y=0 \).

Saludos.
Título: Re: Subaditividad
Publicado por: Quema en 05 Abril, 2018, 05:28 pm
Si, tienes razón, déjame pensarlo. De todas formas, me interesaría ver un contraejemplo donde a pesar que \( w(b)=2w(b/2), \) \( w \) no sea subaditiva en \( [0,b] \)
Título: Re: Subaditividad
Publicado por: Luis Fuentes en 05 Abril, 2018, 07:46 pm
Hola

Si, tienes razón, déjame pensarlo. De todas formas, me interesaría ver un contraejemplo donde a pesar que \( w(b)=2w(b/2), \) \( w \) no sea subaditiva en \( [0,b] \)

Pero precisamente nosotros estamos intentando demostrar que no hay tal contraejemplo; que la condición  \( w(b)=2w(b/2), \) es suficiente para garantizar la subaditividad en \( [0,b] \).

Y parece que va a cumplirse.

(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=102346.0;attach=19628)


En está gráfica está representado:

\( w(b-p)+w(p)-w(b) \)

con \( w(p)=e^{-(-log(p))^a} \), \( a\in [0,1] \) y para cada \( a \), \( b \) tal que \( 2w(b/2)=w(b) \) y parece que siempre da positivo.

Saludos.
Título: Re: Subaditividad
Publicado por: Quema en 05 Abril, 2018, 09:12 pm
Puede ser también que estemos dentro de las condiciones del test de Boas, ver adjunto. 

Además, me llama la atención que estos tests no utilicen el dato del punto de inflexión.
En nuestro caso tenemos que estudiar el signo de

\( T(x)=w(b-x)+w(x)-w(b) \) para \( x\in[0,b/2] \)

\( T''(x)=w''(b-x)+w''(x) \) y los intervalos de interés son

\( A=(0,1/e),B=[1/e,b/2],C=[b-1/e,b] \) y de esa forma estudiar la concavidad
Título: Re: Subaditividad
Publicado por: Luis Fuentes en 06 Abril, 2018, 11:24 am
Hola

Puede ser también que estemos dentro de las condiciones del test de Boas, ver adjunto. 

Además, me llama la atención que estos tests no utilicen el dato del punto de inflexión.

No entiendo que quieres decir con lo del dato del punto de inflexión. ¿Qué dato? ¿Y en que sentido un test lo usa y otro no?.

Citar
En nuestro caso tenemos que estudiar el signo de

\( T(x)=w(b-x)+w(x)-w(b) \) para \( x\in[0,b/2] \)

\( T''(x)=w''(b-x)+w''(x) \) y los intervalos de interés son

\( A=(0,1/e),B=[1/e,b/2],C=[b-1/e,b] \) y de esa forma estudiar la concavidad

No entiendo porque consideras esa función \( T(x) \). ¿Qué tiene que ver con el test de Boas?. ¿No tendríamos que intentar aplicarlo a \( w(x) \)?.

Saludos.
Título: Re: Subaditividad
Publicado por: Quema en 06 Abril, 2018, 08:29 pm
Una forma de probar que una función \( f \) es subaditiva con \( x>0 \) es que \( \displaystyle\frac{f(x)}{x} \) no sea creciente.

Para nuestra función, como \( w'(p)=f'(p)w(p) \) con \( f(p)=-(-lnp)^a \)

Entonces debemos probar que \( w'(p)\leq{\displaystyle\frac{w(p)}{p}} \) o lo que es lo mismo

\( f'(p)p\leq{}1. \)

Ahora,

\( f'(p)p=af(p)(-lnp)^{a-1}. \)

En alguna parte tiene que aparecer la condición \( w(b)=2w(b/2). \)

En algo falla éste método pq tendría que ser subaditiva para un \( b\approx{}0.977 \) y la raíz de \( f'(p)p-1 \) es bastante menor a ese valor. Capaz que el método es válido, pero no halla el intervalo máximo para el cual la función es subaditiva.


Título: Re: Subaditividad
Publicado por: Quema en 28 Enero, 2019, 06:42 pm
Hola

En esta pregunta más abajo, Luis Fuentes dice que parece ser que la función \( w(p)=e^{-(-log(p))^a} \) es subaditiva en \( [0,b] \) para todo \( a \in (0,1] \) con \( 2w(b/2)=w(b). \)

Me interesa verificar si el máximo intervalo de subaditividad se da en \( [0,b] \) o puede serlo para un intervalo menor. Necesito tener certeza, y no "me parece". La respuesta la necesito lo más analítica posible.

Lo mismo para estas funciones:

i) Una versión más general que la anterior

\( w(p)=e^{-\beta(-\ln p)^{\alpha}} \) con \( \alpha \in (0,1], \beta>0. \)

ii) \( w(p)=\frac{p^{\gamma}}{[p^{\gamma}+(1-p)^{\gamma}]^{\alpha}} \) con \( 0<\gamma<1, \alpha>0. \)

Saludos