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Matemática => Análisis Matemático => Análisis Real - Integral de Lebesgue => Mensaje iniciado por: Anasanchez en 17 Febrero, 2018, 07:09

Título: Coordenadas cilíndricas
Publicado por: Anasanchez en 17 Febrero, 2018, 07:09
Como se utiliza el cambio a coordenadas cilíndricas para calcular la siguiente integral:
\[ \displaystyle\int_{-2}^{2}\displaystyle\int_{0}^{\sqrt[ ]{(4-x^2)}}\displaystyle\int_{0}^{\sqrt[ ]{(x^2+y^2)}} zdzdydx \]

Título: Re: Coordenadas cilíndricas
Publicado por: ingmarov en 17 Febrero, 2018, 20:55
Hola Ana

El volumen a calcular es la mitad de la diferencia del volumen de un cilindro con base radio 2 altura 2 menos el volumen del cono de base radio 2 altura 2.

El volumen del medio cilindro es:

\[ \displaystyle\int_{0}^{\bf\color{blue}\pi}\displaystyle\int_{0}^{2}\displaystyle\int_{0}^{2}r\; dz\; dr\; d\varphi \]

El volumen del medio cono es

\[ \displaystyle\int_{0}^{\bf\color{blue}\pi}\displaystyle\int_{0}^{2}\displaystyle\int_{r}^{2}r\; dz\; dr\; d\varphi \]


La diferencia de estas nos resulta en el volumen de la región a integrar


\[ V=\displaystyle\int_{0}^{\bf\color{blue}\pi}\displaystyle\int_{0}^{2}\displaystyle\int_{0}^{2}r\; dz\; dr\; d\varphi-\displaystyle\int_{0}^{\bf\color{blue}\pi}\displaystyle\int_{0}^{2}\displaystyle\int_{r}^{2}r\; dz\; dr\; d\varphi \]


Creo que solo falta añadir la zeta del integrando

\[ {\bf\color{blue}I}=\displaystyle\int_{0}^{\bf\color{blue}\pi}\displaystyle\int_{0}^{2}\displaystyle\int_{0}^{2}{\bf\color{blue}z}\;r\; dz\; dr\; d\varphi-\displaystyle\int_{0}^{\bf\color{blue}\pi}\displaystyle\int_{0}^{2}\displaystyle\int_{r}^{2}{\bf\color{blue}z}\;r\; dz\; dr\; d\varphi \]


Espera que un compañero del foro le "eche un ojo"



Saludos
Título: Re: Coordenadas cilíndricas
Publicado por: delmar en 17 Febrero, 2018, 22:38
Hola

Es un problema que se puede resolver de varias formas, es conveniente un dibujo que muestre la región de integración. Lo que ha hecho ingmarov es correcto.

Saludos
Título: Re: Coordenadas cilíndricas
Publicado por: Ignacio Larrosa en 17 Febrero, 2018, 23:02

\[ {\bf\color{blue}I}=\displaystyle\int_{0}^{\bf\color{blue}\pi}\displaystyle\int_{0}^{2}\displaystyle\int_{0}^{2}{\bf\color{blue}z}\;r\; dz\; dr\; d\varphi-\displaystyle\int_{0}^{\bf\color{blue}\pi}\displaystyle\int_{0}^{2}\displaystyle\int_{r}^{2}{\bf\color{blue}z}\;r\; dz\; dr\; d\varphi \]


Espera que un compañero del foro le "eche un ojo"



Pero eso se puede escribir como una sola integral triple, bien directamente o bien restando esas dos:

\[ I=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\displaystyle\int_{0}^{2}\displaystyle\int_{0}^{2}{z}\;r\; dz\; dr\; d\varphi-\displaystyle\int_{0}^{\pi}\displaystyle\int_{0}^{2}\displaystyle\int_{r}^{2}{z}\;r\; dz\; dr\; d\varphi = \displaystyle\int_{0}^{\pi}\displaystyle\int_{0}^{2}\displaystyle\int_{0}^{r}{z}\;r\; dz\; dr\; d\varphi \]

Y es más sencillo de evaluar.

Saludos,