[lordaeron]

Hola compañeros, aquí de nuevo encontré otro ejercicio que no puedo terminar. Alguna idea? Saludos

\( \displaystyle\lim_{h \to{}0}{\displaystyle\frac{h}{\sqrt[ ]{1+h^2}-1}}=\displaystyle\frac{h .( \sqrt[ ]{1+h^2}+1)}{(\sqrt[ ]{1+h^2})^2-1^2}=\displaystyle\frac{h .( \sqrt[ ]{1+h^2}+1)}{h^2}=\displaystyle\lim_{h \to{}0}{\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{1+h^2}+1}{h}} \)

[Ignacio Larrosa]

Pero ese límite ya no es indeterminado. El numerador tiende a 2, y el denominador a 0, por lo que el cociente tiende a infinito. El signo depende del signo de h, por lo que los límites laterales van a ser distintos:

\( \displaystyle\lim_{h \to{}0}{\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{1+h^2}+1}{h}} = \displaystyle\lim_{h \to{}0}{\displaystyle\frac{2}{h}} \)

Cuando \( h\rightarrow{}0^- \), el cociente es negativo y el límite es \( -\infty \), mientras que si \( h\rightarrow{}0^+ \), el cociente es positivo y el límite es \( +\infty \):

\( \displaystyle\lim_{h \to{}0^-}{\displaystyle\frac{2}{h}} = -\infty \)

\( \displaystyle\lim_{h \to{}0^+}{\displaystyle\frac{2}{h}} = +\infty \)

Saludos,

[Samir M.]

Hola.

Pero los límites laterales son disitntos, luego el límite no existe, ¿no?

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Pero los límites laterales son disitntos, luego el límite no existe, ¿no?

Cierto.

Saludos.

[Fernando Revilla]

Pero los límites laterales son disitntos, luego el límite no existe, ¿no?

Matizaría:

• No existe en \( \mathbb{R} \) porque alguno de los límites laterales no existe en \( \mathbb{R} \) (en este caso los dos).
• No existe en la compactificación de \( \mathbb{R} \) por dos puntos i.e. no existe en \( \mathbb{R}\cup \left\{{-\infty,+\infty}\right\} \) pues aunque los límites laterales existen, no son iguales.
• Existe límite en la compactificación de \( \mathbb{R} \) por un punto (compactificación de Alexandroff) i.e. existe en \( \mathbb{R}\cup\left\{{\infty}\right\} \).

[Ignacio Larrosa]

Pero los límites laterales son disitntos, luego el límite no existe, ¿no?

Matizaría:

• No existe en \( \mathbb{R} \) porque alguno de los límites laterales no existe en \( \mathbb{R} \) (en este caso los dos).
• No existe en la compactificación de \( \mathbb{R} \) por dos puntos i.e. no existe en \( \mathbb{R}\cup \left\{{-\infty,+\infty}\right\} \) pues aunque los límites laterales existen, no son iguales.
• Existe límite en la compactificación de \( \mathbb{R} \) por un punto (compactificación de Alexandroff) i.e. existe en \( \mathbb{R}\cup\left\{{\infty}\right\} \).

Totalmente de acuerdo con todo. Pero aun en \( \mathbb{R} \), decir simplemente que el límite no existe me parece una respuesta excesivamente pobre. Algo similar a decir que existe si ambos límites laterales son \( +\infty \), lo que además estrictamente hablando sería erróneo en \( \mathbb{R} \). Yo cuando ejercía, siempre pedí que en estos casos se diesen los dos límites laterales.

Saludos,

[Fernando Revilla]

Totalmente de acuerdo con todo.

Eso es lo que más me importa. 

Pero aun en \( \mathbb{R} \), decir simplemente que el límite no existe me parece una respuesta excesivamente pobre. Algo similar a decir que existe si ambos límites laterales son \( +\infty \), lo que además estrictamente hablando sería erróneo en \( \mathbb{R} \). Yo cuando ejercía, siempre pedí que en estos casos se diesen los dos límites laterales.

Entiendo tu actitud pedagógica. Mis matices, claro está, iban en un sentido topológico estricto.

[Ignacio Larrosa]

Hola.

Pero los límites laterales son disitntos, luego el límite no existe, ¿no?

Saludos.

Releyendo mi primer mensaje, veo que la segunda frase puede resultar un tanto equívoca, aunque creo que el resto del mensaje aclara su sentido. Lo que quise decir es que, a la vista de la expresión obtenida por lordaeron, es obvio que no hay límite finito, pues me daba la impresión de que eso él no lo tenía claro.

Pero insisto, para mi una respuesta correcta, suponiendo el enunciado 'Estudiar el límite ...', deberia incluir ambos límites laterales.

Saludos,

[feriva]

encontré otro ejercicio que no puedo terminar. Alguna idea?

Cuando no sepas seguir, piensa que, a veces, las letras que aparecen en las expresiones nos pueden estar sugiriendo la forma de proceder, como en este caso la “h”, que tanto se usa en la definición de derivada, parece estar invitándonos a comprobar los límites laterales (son aspectos psicológicos quizá, pero que también intervienen a la hora de tener éxito en la resolución de problemas).

Saludos.   

[Buscón]

Mi modesta opinión es que    \( \displaystyle\frac{h}{\sqrt[ ]{1+h^2}-1} \)    diverge cuando    \( h\longrightarrow{0} \),    es decir, no existe    \( \displaystyle\lim_{h \to{0}}{\displaystyle\frac{h}{\sqrt[ ]{1+h^2}-1}} \).


Saludos.