El problema es encontrar la función f que hace extremo el valor:
[texx] S[f]=\displaystyle\int_a^b L(f(x),f'(x),x) dx [/texx]
Para las f que tienen fijos [texx] f(a) [/texx] y [texx] f(b) [/texx]
Había leído previamente una deducción que consiste en considerar que [texx] f(x)=h(x)+\epsilon \delta(x) [/texx] donde h es una función que hace extremo el valor de S, [texx] \epsilon [/texx] es un parámetro, y [texx] \delta(x) [/texx] es una función que se anula en a y b. Sustituyendo esta f en S, se obtiene una función:
[texx] S(\epsilon)=S[h(x)+\epsilon \delta(x)] [/texx]
Que además alcanza su valor extremo (junto al funcional) en [texx] \epsilon=0 [/texx]. Por lo que el problema es equivalente a resolver:
[texx] \frac{dS}{d\epsilon}\vert_{\epsilon=0}=0 [/texx]
Y de aquí, junto con ciertas hipótesis sobre h y L de continuidad y derivabilidad (que no las detallo porque ahora mismo no recuerdo). Se obtiene:
[texx] \frac{d}{dx}(\frac{\partial L}{\partial f'})-\frac{\partial L}{\partial f}=0 [/texx]
Esta demostración es más estándar, en lo que se refiere a libros de física.
Más recientemente he visto otra que utiliza los conceptos de norma en espacio de funciones, límite y derivada funcional. Creo que es mucho más formal y general.
Mi duda es si, la demostración que menciono al principio, es correcta desde un punto de vista formal.
Gracias, saludos.
