Hola

Yo empezaría con un buen repaso sobre la teoría de conjuntos, espacios métricos y de topología básica.

Saludos.

Spoiler

La altura inicial de cada perla debe ser \( h(k) = \frac{1}{2}g(\Delta_t k)^2 = L_0 k^2 \)
siendo \( \Delta_t \) el intervalo entre golpes y \( L_0 \) la distancia entre las dos primeras perlas.

Entonces la distancia entre perlas debe ser:  \( L_k = h(k+1) - h(k) = L_0(2k+1) \)

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Eso es Una idea equivalente es estudiar qué pasa en \( h(t+n)-h(t+(n-1)) \) y ver por inducción que las alturas varían como \( a\left(t+\dfrac{2n-1}{2}\right) \)


Saludos.

 Hola.

Es bastante inmediato. ¿Qué has intentado?

Saludos.

Creo que hay un despiste con los signos. Para \( E(t) =  (x')^2 +x^2 + x^4/2 \) tenemos
\( E'(t)=2x'x''+2xx'+2x^3x'=2x'(x''+x+x^3)=2x'\cdot 0=0 \).
Entonces, \( F(x,y)=y^2+x^2+x^4/4 \) es integral primera del sistema asociado  \( \begin{cases} x' = y \\ y' =-x-x^3 \end{cases} \) pues \( \left<{\nabla}F,v\right>=0 \) siendo \( v \) el vector campo asociado al sistema.

Hola,

sí muchas gracias, corregido.

Aprovecho para añadir para jorge: fíjate que \( J(x,y)\neq 0 \) y que \( \mbox{det}(J(0,0) - \lambda I_2) = 0 \) nos da valores \( \lambda \in \mathbb{C} \) luego el punto es no hiperbólico. Esta ecuación me sonaba anoche de haberla estudiado pero no caía. Ahora sí, se conoce como ecuación de Duffing.

Saludos.

Hola.

Para los extremos de \(  \displaystyle f(x,y)= \frac{xy+x\sin(y)}{(x^2+y^2)^{\alpha} } \) con \( (x,y) \neq 0 \) tienes que \( \dfrac{\partial f}{\partial x} = (y+\sin (y))\left(-\left((2 {\alpha}-1) x^{2}-y^{2}\right)\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)^{-{\alpha}-1} = 0 \iff (2{\alpha}-1) x^{2}-y^{2} = 0  \) lo que implica que \( \alpha > \dfrac{1}{2} \) y que \( y = \pm \sqrt{2\alpha-1} x \). Para \( f_y \) no sé, no veo cómo resolverlo sin llevarlo al cálculo numérico.

Saludos.

Hola.

Supongamos que tenemos una función \( f:U\to \mathbb{R} \) y un punto \( (x,y,z) \) de ésta que recorre la curva \( \gamma \) dada por las ecuaciones \( \phi(x,y,z) = 0 \) y \( \varphi(x,y,z)=0 \) (sí, dos restricciones). Si en un cierto punto \( P \) de la curva tenemos un extremo, entonces la variación de \( f \) en \( P \) según la dirección de la tangente a la curva será nula (pues si no fuese así, \( f \) crecería o decrecería al mover el punto \( (x,y,z) \) por \( \gamma \) contradiciendo la suposición de extremo). Es decir, la derivada de \( f \) según el vector tangente \( t \) a la curva en \( P \) es \( 0 \), que es lo mismo que decir que \( \nabla f(P) \) ha de ser perpendicular al vector \( t \). Pero observa que \( t \) es perpendicular a las normales de las superficies \( \phi \) y \( \varphi \), o sea que \( t \) es perpendicular a \( \nabla \phi(P) \) y \( \nabla \varphi (P) \) .Para ver esto intuitivamente, supón que las dos superficies \( \varphi \) y \( \phi \) son planos, y observa cómo la tangente de la recta de la intersección de éstos es perpendicular al vector normal de cada plano. Una vez veas esto, piensa que las superficies originales \( \phi \) y \( \varphi \) se pueden aproximar localmente por planos tangentes y concluye. Ilustración de ésto (supón que \( h \) y \( g \) son \( \phi \) y \( \varphi \).) Puesto que \( \nabla f(P) \) es también perpendicular a \( t \), entonces \( \nabla f(P) \) está en el plano generado por \( \nabla \phi(P) \) y \( \nabla \varphi (P) \)  y por ende, es combinación lineal de éstos: \( \nabla(f) + \lambda \nabla(\phi) + \mu \nabla(\varphi) = 0, \) para \( \lambda,\mu \in \mathbb{R} \), y junto con las ecuaciones \( \phi(x,y,z) = 0 \) y \( \varphi(x,y,z)=0 \) tienes 5 incógnitas\(  (x,y,z,\lambda,\mu) \) y 5 ecuaciones. (Esto supondría la condición necesaria para la existencia de los multiplicadores de Lagrange, hay que exigir un poco más para la suficiencia pero vaya, con la condición necesaria ya se entiende de sobra la idea de los multiplicadores de Lagrange).

Saludos.

Por último, dar las gracias a todos los que han contestado, me habeis ayudado a encontrar una explicación de este método.
Y no se si alguien me ha intentado explicar lo que acabo de escribir antes, si es así no lo he entendido.

Me da la sensación de que no lees, o lees en diagonal, nuestras respuestas. En particular, el post de GeómetraCat, Luis Fuentes o el mío explican con y sin variables tu último post y lo que vienes preguntando desde el principio. Puedes indicarnos las dudas en concreto sobre qué no entiendes de tales respuestas, será más útil para nosotros y para ti.

Saludos.

Hola.

Como ya te han comentado, debes tener claro cómo interpretas a \( a^x \) cuando \( x\in \mathbb{R} \). Supongamos que \( a<0 \) y \( x\in \mathbb{R} \). Entonces puedes definir la función \( f(x) = a^x  \) como \( f:\mathbb{R}\to\mathbb{C} \) tal que \( a^x\mapsto |a|^xe^{i\pi x} \). En ese caso, \( (-1)^x = (e^{\pi i})^x = e^{i \pi x} = \cos(\pi x) + i \sin(\pi x) \) que simplemente oscila. Si suponemos que \( a<0 \) y restringimos \( x\in \mathbb{N} \), fíjate que si \( a_x = 3 + (-1)^x \) entonces \( a_{2x} = 4 \) y \( a_{2x+1} = 2 \).  Como las subsucesiones tienen límites distintos, \( a_x \) no converge. También puedes analizar el caso \( x = \dfrac{a}{b} \) con \( b \) impar.

Respecto a tu segunda pregunta, creo que queda respondida en la primera. Como curiosidad, también puedes mirar este resultado.

Saludos.

Hola.

¿Pero y por qué no lo planteas con la fuerza de Lorentz? Tienes que  \( E + \dfrac{1}{c}v \times B = \dfrac{m}{e} v' \)...

Si no lo que puedes hacer es, en vez de desarrollar el rotacional, usar el teorema de Stokes y reescribir la ecuación de maxwell en forma integral.

Saludos.

Hola.

Depende. Si trabajas en un espacio de estados 2-dimensional, entonces sí: la energía, en general, combinando la primera y segunda ley de la termodinámica, se expresa como \( dE = T dS - PdV \), siendo todas las variables, variables de estado. Así, trabajando en un espacio 2 dimensional (ej, una sustancia de un sólo compuesto cuya masa es conocida) necesita sólamente dos de esas variables para definir todas las demás, y perfectamente puedes escribir \( E=f(S,V) \) aunque no resulte nada adecuado (pues es mucho más fácil medir el volumen. presión, o temperatura de un sistema).

Saludos.