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Mensajes - Samir M.

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Variable compleja y Análisis de Fourier / Re: Logaritmo Complejo
« en: 24 Septiembre, 2017, 09:28 pm »
Actualicé mi respuesta después de que respondieras. Una vez la leas, borraré este mensaje que tiene el único objetivo de forzar la notificación en el foro.

Saludos.

122
Geometría Diferencial - Variedades / Re: Superficie regular vs superficie paramétrica regular
« en: 24 Septiembre, 2017, 09:24 pm »
Hola.

Mhmm, más o menos sí, pero se me antoja poco preciso. Míralo de esta forma: Una superficie regular es simplemente un subconjunto \( M \subset \mathbb{R}^3 \) que es una 2-variedad suave. Si existe una función diferenciable \( f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3 \) tal que \( f(\mathbb{R}^2) = M \), entonces \( f \) es una parametrización de \( M \) y el par \( (M,f) \) es una superficia regular paramétrica. Una definición aún más explícita la tienes en el punto 3.1.1 de estas notas.

Pd: Esta definición está sacada del libro de M.A. Cifre.

Saludos.

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Variable compleja y Análisis de Fourier / Re: Logaritmo Complejo
« en: 24 Septiembre, 2017, 08:49 pm »
Cita de: Masacroso en 24 Septiembre, 2017, 12:26 pm
Samir, el logaritmo complejo (tomado como valor principal) me parece que es continuo en \( \Bbb C\setminus(-\infty,0] \). Cuando no es continuo es tomando el dominio \( \Bbb C\setminus\{0\} \).

Sí, así es. Pero no entiendo a qué viene el comentario. Por \( \mbox{Log}(z) \) se entiende el logaritmo complejo tomado como valor principal.

--

Ah, ya entiendo a qué te refieres. Yo es que defino el logaritmo complejo como una función \( f : \mathbb{C}\setminus \{0\} \to \mathbb{C} \) dada por \( f(z) = \mbox{Log}(z) \) que, vaya, yo creía que era la usual.  Con esa definición, el logaritmo complejo no es continuo en el semieje real negativo. Si tomamos \( z=x_0+iy \) para algún \( x_0<0 \) fijado, en cada punto de éste \( \mbox{Arg(z)} \) tiende a \( \pi \) y \( -\pi \) dependiendo por dónde nos acercamos al semieje. Es decir, si \( y \searrow  0 \) entonces \( \mbox{Arg(z)} \searrow \pi \) mientras que si \( y\nearrow 0 \) entonces \( \mbox{Arg(z)} \nearrow -\pi \). Lo que sí es cierto es que \( z \mapsto \log|z| \) sí que es continua en \( \mathbb{C} \setminus \{0\} \).


Saludos.

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Cálculo Avanzado (espacios métricos - convergencia uniforme - Integral de Stieltjes) / Re: Ejercicio normas
« en: 24 Septiembre, 2017, 06:38 am »
Cita de: Ignacio Larrosa en 23 Septiembre, 2017, 06:39 pm
Es que entendí, como parece que le paso a algún otro participante en la discusión de stackexchange, que se cumplía \( \forall{}x, y \in{}X,  \left\|{x+y}\right\|= \left\|{x}\right\| + \left\|{y}\right\| \). Así que como la cuestión de la suma estaba trivialmente resuelta, me centre en el producto por reales, olvidando que está es una de las propiedades que definen una norma. Y tampoco vi hasta ahora el final de la primera respuesta de Masacroso ...

Es que tal como está la pregunta, está mal planteada. Debería ser:

Sea \( X \) un espacio normado. Entonces, fijados \( x, y \in X \) cumpliéndose para éstos que \( \|x+y\|=\|x\|+\|y\| \), demuestra que para todo \( \alpha, \beta, \geq 0 \) se cumple que \( \|\alpha x+\beta y\| = \alpha\|x\| + \beta\|y\| \).

Saludos.

125
Cálculo de Varias Variables / Re: Conjuntos abiertos (Topologia)
« en: 24 Septiembre, 2017, 06:28 am »
Hola.

Debes añadir más información a este tipo de pregundas, como qué definiciones manejas. Por ejemplo, tu problema se puede resolver definiendo la aplicación continua \( T((x,y)) = x+y \) y viendo que es sobreyectiva. También viene bien añadir tus intentos, o en qué encuentras dificultades. Un camino más general es observar que dado \( a+b \in A + B \) entonces \( B(\epsilon,a)+b\subset A+b\subset A+B \) es una bola abierta que contiene a \( a+b \).

Saludos.

126
Ecuaciones diferenciales / Re: Ecuaciones de orden superior
« en: 24 Septiembre, 2017, 06:13 am »
Hola.

Lo primero, te has olvidado de escribir el determinante igual a 0, pues sólo puede ser una ecuación diferencial homogénea (en otro caso el resultado no es cierto).

El coeficiente es, obviamente, \( W(f_1,f_2,f_3) \), es decir, el wronksiano de \( f_1 \), \( f_2 \), y \( f_3 \). Por otro lado. ¿con qué nociones partes? Se puede usar el teorema de Liouville para probarlo. Es muy inmediato si ya has visto la teoría relativa a las EDOS de orden superior: puesto que en el determinante dos columnas van a ser iguales, éste será nulo, luego la ecuación

\( \begin{vmatrix} f_{1}(x) & f_{2}(x) & f_{3}(x) & y\\  f_{1}'(x) & f_{2}'(x) & f_{3}'(x) & y' \\ f_{1}''(x) & f_{2}''(x) & f_{3}''(x) & y''\\  f_{1}'''(x) & f_{2}'''(x) & f_{3}'''(x) & y'''\end{vmatrix} = 0 \)

queda satisfecha trivialmente y el conjunto \( \{f_1, f_2, f_3\} \) es un conjunto fundamental de soluciones.

Saludos.

127
Variable compleja y Análisis de Fourier / Re: Logaritmo Complejo
« en: 24 Septiembre, 2017, 05:42 am »
Hola.

Si definimos el semieje real negativo como \( S = \{ z\in\mathbb{C} : \mbox{Re}(z) \leq 0 \text{ y } \mbox{Im}(z) = 0\} \) entonces \( \mbox{Log}(z) \) es análitica en \( \mathbb{C}\setminus S \), donde, ni siquiera es continua. Para probar este hecho depende de si te han probado cuál es la derivada de esta función. Si no te la han demostrado, deberás tirar de la definición de diferenciabilidad. En caso contrario, con las ecuaciones C-R y un par de hipótesis más es suficiente (existencia y continuidad de las primeras derivadas parciales).

Saludos.

128
Cálculo 1 variable / Re: Calcular límite 3
« en: 24 Septiembre, 2017, 05:24 am »
Hola.

Cita de: Ignacio Larrosa en 23 Septiembre, 2017, 01:12 pm
Pero insisto, para mi una respuesta correcta, suponiendo el enunciado 'Estudiar el límite ...', deberia incluir ambos límites laterales.

Sí, desde luego. Mi post fue a raíz del primer comentario en el sentido que propones; se podía entender como que formulabas que el límite existía.

Cita de: Fernando Revilla en 23 Septiembre, 2017, 10:47 am

Matizaría:

  • No existe en \( \mathbb{R} \) porque alguno de los límites laterales no existe en \( \mathbb{R} \) (en este caso los dos).
  • No existe en la compactificación de \( \mathbb{R} \) por dos puntos i.e. no existe en \( \mathbb{R}\cup \left\{{-\infty,+\infty}\right\} \) pues aunque los límites laterales existen, no son iguales.
  • Existe límite en la compactificación de \( \mathbb{R} \) por un punto (compactificación de Alexandroff) i.e. existe en \( \mathbb{R}\cup\left\{{\infty}\right\} \).

En efecto, mucho más preciso/riguroso.

Saludos.


129
Ecuaciones diferenciales / Re: Ejercicio de Fourier
« en: 23 Septiembre, 2017, 09:58 am »
Hola.

Mira ejercicio 6 de la sección 5.3 de estas notas.

Saludos.

130
Cálculo 1 variable / Re: Calcular límite 3
« en: 23 Septiembre, 2017, 09:42 am »
Hola.

Pero los límites laterales son disitntos, luego el límite no existe, ¿no?

Saludos.

131
Ecuaciones diferenciales / Re: Ec Diferenciales Masa/resorte
« en: 23 Septiembre, 2017, 09:40 am »
Hola.

De la segunda ecuación de Newton se deduce que \( t \) es la constante del resorte, la cual varía en el tiempo. Puesto que cuando \( t\to\infty \), el resorte se vuelve más 'rígido', es de esperar que las oscilaciones aumenten en frecuencia ( \( f\to \infty \))  pero que su amplitud tienda a cero \( A \to 0 \)). Con esto te puedes hacer una idea de la gráfica.

Saludos.

132
Análisis Matemático / Re: Cálculo variacional: sobre una deducción de las ecuaciones Euler-Lagrange
« en: 14 Septiembre, 2017, 03:18 pm »
Hola.

Para saber si es correcta, debes aportar todos los detalles, por superfluos que parezcan. En su momento yo vi una partiendo de una idea similar y era rigurosa.

Saludos.

133
Cálculo 1 variable / Re: Suma de Oresme
« en: 14 Septiembre, 2017, 05:39 am »
Gracias, corregida.

Saludos.

134
Cálculo 1 variable / Re: Suma de Oresme
« en: 13 Septiembre, 2017, 08:35 pm »
Hola.

Otra forma similar, sabiendo que converge:

Si \( \displaystyle S=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{3n}{4^n} \) entonces \( \displaystyle 4S=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3n}{4^{n-1}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{3(n+1)}{4^n} \)

Entonces, \( \displaystyle 4S-S=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{3}{4^n}=3\cdot \dfrac{1}{1-\dfrac{{\color{red}{1}}}{4}}=\dfrac{12}{3} \) luego \( S = \dfrac{4}{3} \)

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Cálculo 1 variable / Re: Ejercicio inecuación con valor absoluto dentro de otro valor absoluto
« en: 12 Septiembre, 2017, 09:20 pm »
Debes analizar cada valor absoluto. Por ejemplo, supongamos que \( x<1 \). El término de la izquierda es \( |x+1 - |x-3|| \). Si \( x<1 \) tenemos que \( x-3<0 \) luego \( |x-3| = -x+3 \), por tanto, el término de la izquierda queda \( |x+1 - |x-3|| = |2x-2| \). Como \( x<1 \), \( 2x-2 < 0 \) y así \( |2x-2| = -2x+2 \). En definitiva, para \( x<1 \) el término de la izquierda queda como \( -2x+2 \). En definitiva, se va analizando cada valor absoluto, lógicamente, 'desde dentro hacia fuera'.

Saludos.

136
Cálculo 1 variable / Re: Ejercicio inecuación con valor absoluto dentro de otro valor absoluto
« en: 12 Septiembre, 2017, 09:08 pm »
Hola.

Analiza los casos \( x>3 \), \( 2<x<3 \), \( 1<x<2 \) y \( x<1 \). Verás que te saldrá que la inecuación es cierta para \( x > 7/2 \) y \( x<3/2 \).

Saludos.

137
Ecuaciones diferenciales / Re: Continuidad de solución de Cauchy
« en: 12 Septiembre, 2017, 02:03 am »
Hola.

La solución \( \varphi \) que das es incorrecta, revisa los cálculos. Para hallar la forma de \( D \), primero halla el intervalo maximal de solución. Después halla el intervalo en el que \( f \) y \( g \) son continuas. No tienes más que seguir el desarrollo del apartado \( a) \).

pd: ahora sí que lo es.

Saludos.

138
Cálculo de Varias Variables / Re: Interpretación del Vector gradiente
« en: 11 Septiembre, 2017, 11:51 pm »
Quizá te ayude esto: http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=98081.0

Saludos.

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Cálculo de Varias Variables / Re: Definición Epsilon-Delta
« en: 10 Septiembre, 2017, 05:13 pm »
Sí, y sí. Aunque escogiendo \( \delta^3 = \epsilon \) también vale.

Saludos.

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Cálculo de Varias Variables / Re: Definición Epsilon-Delta
« en: 10 Septiembre, 2017, 01:08 pm »
Hola.

Observa que como \( (a-b)^2 \geq 0  \) entonces desarrollando \( a^2 + b^2  \geq 2ab \), luego, en particular, \( 2ab \leq a^2+b^2+c^2 \) para \( c \in \mathbb{R} \). Esto implica que \( \left|\dfrac{xyz}{x^2+y^2+z^2}\right| \leq \dfrac{|z|}{2} \leq \dfrac{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}{2} \).

Saludos.

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