[elias0612]

Hola a todos tengo este ejercicio .

Si \( T:X\rightarrow{X} \) tiene un subespacio invariante en K (campo de los complejos) entonces T tiene un valor propio.

Párese que ya esta resuelto el problema de los espacios invariantes en espacios de Hilbert quisiera conocer ese tratado si alguien sabe donde lo puedo encontrar o si me lo puede proporcionar se le agradecerá.

[Héctor Manuel]

Falso. Supongamos \( X=\ell_2 \) y \( T:X\to X \) dado por \( T(x_1,x_2,x_3,\cdots)=(0,x_1,x_2,\cdots) \). Sea \( V \) el conjunto de sucesiones complejas tales que tienen una cantidad finita de entradas no cero.

Es claro que \( V \) es \( T \)-invariante.

Sea \( \lambda\in\mathbb{C} \) eigenvalor de \( T \).  Entonces existe \( (x_1,x_2,x_3,\cdots) \) sucesión no nula tal que

\( \begin{eqnarray*}
(0,0,0,\cdots)&=&(T-\lambda I)(x_1,x_2,x_3,\cdots)\\
&=&(0,x_1,x_2,\cdots,)-(\lambda x_1,\lambda x_2,\lambda x_3,\cdots)\\
&=&(-\lambda x_1,x_1-\lambda x_2,x_2-\lambda x_3)
\end{eqnarray*} \)

Por tanto \( \lambda=0 \). Pero entonces \( (0,0,\cdots)=(T-\lambdaI)(x_1,x_2,x_3,\cdots)=T(x_1,x_2,x_3,\cdots)=(0,x_1,x_2,\cdots) \). Por tanto \( \{x_i\} \) es el vector nulo, lo cual contradice su elección.

Esto muestra que \( T \) no tiene eigenvectores.

Saludos.

PD: Lo del problema de von Neumann fue un error: http://es.scribd.com/doc/123907626/Cowen-and-Gallardo-s-letter